Теория вероятностей. Задачи для подготовки к экзамену

Теория вероятностей.Задачи для подготовки к экзамену.Составители Руденская И.Н., Малыгина О.А.1. На трех карточках написаны буква А, на двух буква Н и на одной буква С. Найтивероятность того, что при случайном выборе карточек (последовательно) получитсяслово АНАНАС.2. Найти вероятность того, что из шести разноцветных шаров, случайным образомразложенных в линию два определенных шара окажутся рядом.3.

Два игрока по очереди подбрасывают монетку, выигрывает тот игрок, у которогопервым выпадет герб. Найти вероятность выигрыша игрока, бросающего первым.4. Из колоды карт (52 карты) вынимается одна карта. Рассматриваются следующиесобытия: А – появление карты красной масти, В – появление бубнового туза, Споявление десятки.

Зависимы или независимы пары событий А и В, В и С, А и С?5. Наугад взяты два положительных числа Х и У, каждое меньше или равно 1. Найтивероятность того, что их сумма меньше или равна 1, а произведение больше илиравно 0,09.6. В одной урне 1 красный и 7 черных шаров, в другой 2 и 6 соответственно. Изпервой коробки во вторую переложили два шара, затем из второй достали два шара.Вычислить вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы один красный.7. Случайная величина ξ имеет геометрическое распределение с параметром р = 1/3.Построить ряд распределения случайной величины η = (-1)ξ.8. Дискретная случайная величина ξ - номер шара, полученный при извлеченииодного из четырех пронумерованных от 1 до 4 шаров, дискретная случайнаявеличина η принимает значение (-1) с вероятностью 0,25 и значение 1 свероятностью 0,75.

Величины ξ и η независимы. Построить ряд распределенияслучайной величины ξ-η и найти ее математическое ожидание и дисперсию.9. Случайная величина ξ принимает значения от 1 до 8 с равной вероятностью.Выписать производящую функцию случайной величины η = ‫׀‬ξ - 4‫׀‬.10. С помощью производящей функции найти математическое ожидание идисперсию дискретной случайной величины, распределенной по показательномузакону с параметром р.11.

Непрерывнаяслучайнаявеличинаимеетплотностьраспределенияf ( x) =1− ( x −10 ) 28.e2 2πа) Найти математическое ожидание, дисперсию случайной величины ξ ивероятность попадания в интервал (5, 12).б) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины η = 5ξ – 2.12. Непрерывная случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [-2, 8].Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины η = ‫׀‬ξ‫׀‬.13. В 1-й урне 4 белых и 6 черных шаров, а во второй – 3 белых и 9 черных шаров.

Изкаждой урны вынимается по одному шару.а) Найти вероятность события А – извлеченные шары одного цвета.б) Найти вероятность того, что при 200 повторных опытах событие А появится от100 до 110 раз.14. Случайный вектор (ξ, η) равномерно распределен в треугольнике, вершиныкоторого имеют координаты (0, 1); (1, 0) и (-1, 0). Определить плотностьсовместного распределения случайного вектора и плотности распределения егокомпонент.

Зависимы ли ξ и η?15. Компонентами случайного вектора являются независимые случайные величины ξ иη, распределенные по показательному закону с параметрами λ1=2и λ2=3соответственно. Найти вероятность Р{( ξ, η)∈D}, где D: {0≤ х ≤1; 0≤ у ≤1}.η16. Независимые случайные величины ξ и η распределены по показательному закону спараметрами λ1 и λ2 соответственно. Найти плотность распределения случайнойвеличины θ = ξ + η.17. Плотностьраспределениянепрерывногослучайноговектораππcos x cos y, x ∈ [0, 2 ], y ∈ [0, 2 ]Найти плотности распределенияf ( x, y) = 0, остальные( х, у)компонент случайного вектора, выяснить зависимы ли они.

Найти вероятностьпопадания в область Д: (0 ≤ х ≤ π/4; 0 ≤ у ≤ π/4).18. Плотностьраспределениянепрерывногослучайноговектора1, ( x, y ) ∈ DA 2, D – круг радиусом 1 с центром в началеf ( x, y ) = x + y20, ( x, y ) ∉ Dкоординат. Найти параметр А, математическое ожидание и дисперсию компонентслучайного вектора.19. Плотностьраспределениянепрерывнойслучайнойвеличиныξx ∉ ( −1,1)0,f ξ ( x) = 1, x ∈ ( −1,1)2π 1 − xНайти плотность распределения и математическое ожидание случайной величины= | | 320.

Покажите, что из некоррелированности двух нормальных случайных величинследует их независимость.21. Случайный вектор (ξ, η) равномерно распределен в области D: {‫׀‬x‫≤׀‬1; ‫׀‬y‫≤׀‬1}. Найтиплотность распределения случайной величины θ = ξ + η.22. Плотностьраспределениянепрерывногослучайноговектора A( x + y ), ( x, y ) ∈ DD: {0≤х≤1; 0≤у≤1}Найти коэффициентf ( x, y) = 0, ( x, y) ∉ Dкорреляции rξη. 13 23 0 23. Дана матрица переходных вероятностей системы за 1 шаг P(1) =  0 0 1 0 1 2  3 3rРаспределение вероятностей в начальный момент времени p (0) = (0,2; 0,5; 0,3) .rНайти распределение вероятностей на 2-м шаге p ( 2) , предельное распределениевероятностей.

Проверить, эргодична ли цепь Маркова. 12 0 12 24. Дана матрица переходных вероятностей системы за 1 шаг P(1) =  0 1 0 1 0 233Найти стационарное распределение вероятностей. Проверить, эргодична ли цепьМаркова.25. Даны плотности перехода системы λ12 = 1; λ21 = 1; λ 23 = 2; λ31 = 3; λ32 = 1 .Построить граф состояний системы, написать уравнения Колмогорова и найтираспределение вероятностей в любой момент времени с начальным распределениемrp (0) = (1; 0; 0) . Найти стационарное распределение.26. Даны плотности перехода системы λ12 = 1; λ31 = 2; λ23 = 3; λ32 = 1 .Построить граф состояний системы, написать уравнения Колмогорова и найтистационарное распределение.27. На АЗС в среднем за 1 час прибывает 10 машин.

Найти вероятность того, что:а) в течение 5 минут прибудет 1 машина;б) в течение 20 минут подъедут менее трех машин;в) за 15 минут подъедет более трех машин.28. По двум каналам связи на телефонную станцию передается два независимыхпуассоновских потока сообщений, один с интенсивностью три сообщения в минуту,другой – два сообщения в минуту. Найти вероятность того, что за минуту поступитровно два сообщения.29. В процессе работы некоторой системы поток отказов пуассоновский синтенсивностью 1 отказ в сутки. При отказе системы сразу начинается ремонт.Время ремонта распределено по показательному закону. Среднее время ремонта 2часа.

В начальный момент времени система исправна. Найти вероятность того, что вмомент времени t система исправна, найти предельные вероятности состояний.η(t),заданного30. Найти дисперсию и корреляционную функцию процессаканоническим разложением 4 ,Dξ1 = Dξ 2 = 2 , Dξ 3 = Dξ 4 = 331. Случайный процесс t≥0, случайная величина равномернораспределена на [2, 4].Найти характеристики случайного процесса исечение при t = π/6.32. Найти корреляционную функцию, математическое ожидание и дисперсию процессаη(t), если , ,  , ! 5.33. Найти корреляционную функцию, математическое ожидание и дисперсию процессаη(t), если # $ %&3$'$ , , 3 3 , ! .34.

Задано каноническое разложение случайного процесса X(t) = %& ,( 3, ( 5. Найти корреляционную функцию, математическое ожидание и*дисперсию процесса .35. При каких дисперсиях ( и ( случайный процесс + %&+будет стационарным. ( и центрированные и некоррелированные)..