Интегралы 12 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-12Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-12Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Обозначим:. Получаем:. Получаем:tiGTU.ruВоспользуемся формулой интегрирования по частямОбозначим:осanВоспользуемся формулой интегрирования по частяманЗадача Кузнецов Интегралы 3-12Условие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеЗамена:. Получаем:U.ruПолучаем:Обратная замена:tiGTЗадача Кузнецов Интегралы 4-12Условие задачиВычислить определенный интеграл:аносanРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 5-12СкачУсловие задачиВычислить неопределенный интеграл:РешениеПод интегралом неправильная дробь.

Выделим целую часть:U.ruПолучаем:осantiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачанПрибавим ко второй строке первую умноженную на 2:Тогда получаем:Задача Кузнецов Интегралы 6-12U.ruУсловие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеосanРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачанВычтем из третьего уравнения четвертое:Вычтем из третьего уравнения второе:Прибавим к третьему уравнению первое:U.rutiGTanосТогда:Задача Кузнецов Интегралы 7-12анУсловие задачиНайти неопределенный интеграл:СкачРешениеРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTanПрибавим к третьему уравнению второе:аносВычтем из второго уравнения четвертое:СкачПрибавим ко второму уравнению первое:U.ruосantiGTТогда:Задача Кузнецов Интегралы 8-12анУсловие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеВоспользуемся универсальной подстановкой:Откуда:U.rutiGTПодставим:аносanРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачВычтем из третьего уравнения первое:Прибавим ко второму уравнению третье:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 9-12Условие задачиanТогда:осВычислить определенный интеграл:Решение №1анРешениеСкачДокажем лемму:Обозначим:Д.Ч.Т.tiGTU.ruПриступим к непосредственному решению:Используя лемму, получаем:Воспользуемся подстановкой:СкачанПодставим:осОткуда:anРешение №2Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTanосСкачанПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 10-12Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruаносantiGTРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 11-12Условие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеВведем подстановку:U.ruТогдаПриПриtiGTПолучаем:осanПод интегралом неправильная дробь.

Выделим целую часть:СкачанПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 12-12Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruРешениеtiGTЗамена:anПолучаем:Условие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 13-12СкачРешениеанНайти неопределенный интеграл:Под интегралом дифференциальный бином, откудаТак, как, где- знаменатель дроби- целое, то используем замену:.U.ruТ.е. в нашем случае замена имеет вид:Условие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 14-12antiGTПолучаем:Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:СкачанРешениеНайдем точки пересечения графиков функций:Теперь найдем площадь образовавшейся фигуры:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 15-12Условие задачиtiGTВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.anРешениеаносНайдем точки пересечения:СкачНас интересует интервалВычисляем площадь:. Тогда абсциссы точек пересечения будут:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 16-12Условие задачиanВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.СкачаносРешениеПоскольку фигура симметрична, то считаем площадь в I и IV четвертях (т.е.

дляумножим на 2:)иU.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 17-12Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.anРешениеосДлина дуги кривой, заданной уравнениемНайдем производную данной функции:анТогда:СкачТогда по вышеприведенной формуле получаем:, определяется формулойосанСкачЗаметим, чтоU.rutiGTanU.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 18-12Условие задачиРешение:СкачанНайдем производные поосanВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.Задача Кузнецов Интегралы 19-12Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.РешениеU.ruДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулойДля кривой, заданной уравнением, найдем:СкачаносantiGTПолучаем:Условие задачиВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.В сечении данной фигуры плоскостьюantiGTРешениеU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 20-12находится эллипс:СкачанНайдем радиуса эллипса:осПлощадь эллипса описываемого формулой:равнаЗадача Кузнецов Интегралы 21-12U.ruУсловие задачиВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.tiGTРешениеИтак, даны две функции:Так какрадиусanи- уравнение окружности видаравен 1.осСледовательно, функция определена и интегрируема на.Объем тела, образованного вращением, находится по формуле:андля осиСкачВычислим объем данной фигуры как разность объемов двух функций:, то ееtiGTU.ruУсловие задачиanЗадача Кузнецов Интегралы 22-12т,РешениеосОпределить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли навысотукм. Масса спутника равнат, радиус Земликм. Ускорение свободного2падения у поверхности Земли положить равным 10 м/с .км.анПо определению элементарная работа, гдеСкачН*м*м / (кг*кг)-сила притяжения на высотеосанСкачU.rutiGTan(Дж).