Интегралы 11 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-11Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-11анУсловие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеОбозначим:. Получаем:U.ru. Получаем:tiGTВоспользуемся формулой интегрирования по частямanОбозначим:аносВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-11Условие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеЗадача Кузнецов Интегралы 4-11. Получаем:Условие задачиU.ruВычислить определенный интеграл:осantiGTРешениеанЗадача Кузнецов Интегралы 5-11Условие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTанТогда получаем:осanПрибавим ко второй строке первую умноженную на 4:СкачЗадача Кузнецов Интегралы 6-11Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:U.ruРешениеantiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:осВычтем из третьего уравнения четвертое:СкачанВычтем из третьего уравнения второе:Прибавим к третьему уравнению первое:U.rutiGTУсловие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 7-11anТогда:РешениеанНайти неопределенный интеграл:СкачРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.ruanПрибавим к четвертому уравнению второе:tiGTПрибавим ко второму уравнению первое умноженное на 2:осПрибавим к третьему уравнению четвертое:СкачанВычтем из третьего уравнения первое:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 8-11Условие задачиantiGTТогда:анРешениеосВычислить определенный интеграл:СкачВоспользуемся универсальной подстановкой:Откуда:Подставим:U.rutiGTУсловие задачиanЗадача Кузнецов Интегралы 9-11РешениеаносВычислить определенный интеграл:СкачВоспользуемся подстановкой:Откуда:U.rutiGTПодставим:Условие задачиСкачанРешениеосВычислить определенный интеграл:anЗадача Кузнецов Интегралы 10-11U.rutiGTУсловие задачиРешениеСкачанЗамена:осВычислить определенный интеграл:anЗадача Кузнецов Интегралы 11-11Получаем:U.rutiGTЗамена:anПолучаем:Условие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 12-11СкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Замена:Получаем:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 13-11Условие задачиanНайти неопределенный интеграл:РешениеанТак, как, где- знаменатель дробиСкачТ.е.

в нашем случае замена имеет вид:Получаем:, откудаосПод интегралом дифференциальный бином.- целое, то используем замену:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 14-11Условие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:СкачаносanРешениеФункциюТ.к.можно представить как:при любыхфигура ограничена графикамиНайдем пределы интегрирования:то будем использовать функциют.е.

нужнаяU.ruСделаем подстановкутогда получаем:илиСледовательно пределы интегрированияtiGTТогда:.иосanНайдем площадь фигуры как разность площадейЗадача Кузнецов Интегралы 15-11анУсловие задачиСкачВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.tiGTU.ruРешениеanНайдем точки пересечения:длинойВозьмемили. Тогда:.анна отрезкепериодичны (с периодомосТак как функцииСкачПлощадь фигуры найдем по формуле:), то берем любой отрезокU.ruТеперь из площади под кривой надо вычесть площадь прямоугольника, ограниченного прямымиПриtiGTПриТ.е. оставшиеся две стороны, ограничены прямымиИ в результате получимЗадача Кузнецов Интегралы 16-11anУсловие задачиВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.СкачаносРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 17-11U.ruУсловие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.РешениеНайдем производную данной функции:осanТогда по вышеприведенной формуле получаем:, определяется формулойtiGTДлина дуги кривой, заданной уравнениемЗадача Кузнецов Интегралы 18-11анУсловие задачиСкачВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.РешениеДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойU.ruИз уравнений кривой находим:осantiGTПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 19-11анУсловие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.СкачРешениеДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулойНайдемU.ruосantiGTПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 20-11Условие задачиСкачРешениеанВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.Основание рассматриваемой области - полуэллипс, в которомU.ruприприТо есть,tiGTРассмотрим поверхностьосanТеперь рассмотрим площадь основания и найдем объем данного тела:Ответ:анЗадача Кузнецов Интегралы 21-11Условие задачиСкачВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.tiGTU.ruРешениеявляется осью вращения, то объём находится по формуле:Найдем пределы интегрирования:anПоскольку осьСкачаносНайдем объём тела, как разность объёмов двух тел вращения:Задача Кузнецов Интегралы 22-11Условие задачиОпределить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли навысотукм.

Масса спутника равнат, радиус Земликм. Ускорение свободногопадения у поверхности Земли положить равным 10 м/с2.км.РешениеПо определению элементарная работа, гдеU.ruт,Н*м*м / (кг*кг)tiGTсила притяжения на высотеanсила притяжения на поверхности ЗемлиСкачаносДж.