Феоктистова О.П., Гартиг Е.Б., Пожалостин А.А., Панкратов А.А. - Кинематика точки и простейшие движения твердого тела, страница 2

Для этого исключим из системы уравнений (1) время t. Так какπ12 π1 − cos t ;sin t =242π11xy22 π= sin t =1 − cos t =1−,942225то10 2· y = 5 − x.9Таким образом, траекторией точки M является часть параболы:10x = 5 − y 2 ; −5 x 5; −3 y 3.915Координаты точки М при t = 0 c:x = 5 м; y = 0 м.Координаты точки М при t = 1 c:x = 5 cos√ππ= 0 м; y = 3 sin = 1, 5 2 = 2, 121 м.24Скорость точки M найдем по формулеv̄ = vx ī + vy j̄,где ī, j̄ — орты координатных осей Ox, Oy.Проекция скорости точки М на ось Ox:vx = ẋ = −2,5π sinπt.2Проекция скорости на ось Oy:vy = ẏ = 0, 75π cosπt.4При t = 1 c0,75 πvx = −2,5π = −7,85 м/c; vy = √ = 1,665 м/c;2v=vx2 + vy2 = 8, 02 м/c.Ускорение точки Мā = ax ī + ay j̄.Проекция ускорения на ось Oxax = ẍ = −1, 25π2 cosπt.2Проекция ускорения на ось Oyay = ÿ = −0, 1875π2 sin16πt.4При t = 1 cax = 0;ay = −a=0,1875 π2√= −1,307 м/c2 ;2a2x + a2y = 1, 307 м/c2 .Рассмотрим движение точки М в полярной системе координат.Полярный радиус, м,r = OM = x2 + y 2 .Полярный угол, рад,yϕ = arctg .xПри t = 1 cr = y = 2,1213 м; ϕ = arctgСкорость точки Мπy= рад = 90◦ .x2v̄ = vr r̄0 + vp p̄0 ,где r̄0 — единичный вектор, направленный от точки O к точке M ;p̄0 — единичный вектор, направление которого соответствует повороту r̄0 на 90◦ в положительном направлении отсчета угла ϕ.Проекция скорости v на радиальную ось:x · vx + y · vy1.(2x · ẋ + 2y · ẏ) =vr = ṙ = r2 x2 + y 2Проекция скорости v на трансверсальную ось:x · vy − y · vx1ẏ · x − ẋ · y.vp = r ϕ̇ = r=r1 + (y/x)2x2При t = 1 c0 + yvyvr == vy = 1,665 м/c;r−yvx= −vx = −7,85 м/c;rv = vr2 + vp2 = 8,02 м/c.vp =17Проекция ускорения a на радиальную осьxax + yay.rПроекция ускорения a на трансверсальную осьar = r̈ − r ϕ̇2 =ap = 2ṙ ϕ̇ + r ϕ̈ =xay − yax.rПри t = 1 car =0 + yay−yax= ay = −1,307 м/c2 ; ap == 0,rra = a2r + a2p = 1,307 м/c2 .Для определения касательной составляющей ускорения a τ == s̈ τ (где a τ = s̈ — проекция ускорения на касательную ось; τ̄ —единичный вектор, направленный по касательной к траектории вположительном направлении координаты s), получим проекциюускорения точки М на ось, совпадающую по направлению со скоростью точки:dv vx ax + vy ay.=av =vdtДля t = 1 cav =−7,85 · 0 + (+1,665) · (−1,307)= −0,271 м/c2 ;8,02ā = a τ τ̄ + an n̄,причeм |av | = |a τ |.Нормальное ускорение точки М vx ay − vy ax −7,85 · (−1,307) − 0 = 1,28 м/c2 ,an = =8,02vилиan = a2 − a2v = 1,28 м/c2 ,где an =18v2.ρОтсюда найдем в момент времени t = 1 c радиус кривизнытраектории:8,022v2= 50,3 м.=an1,28Найденные составляющие скорости и ускорения точки M строимна чертеже с изображением траектории точки M (рис.

5).ρ=Рис. 5Исследуем кинематику простейших движений твердого тела(см. рис. 4).πtДано: s = −3 sin .4Звено 1 совершает поступательное движение. Определим скорость звена 1:πt3πv1τ = ṡ = −cos .44При t = 1 с√3 2πṡ = −≈ −1,67 м/c; v1 = |ṡ| = 1,67 м/c.819Знак «−» у проекции вектора скорости v 1 на положительное направление оси s означает, что вектор v 1 скорости звена 1 в моментвремени t = 1 с направлен в сторону, противоположную положительному направлению координаты s(t) (рис.

6).Рис. 6Найдем ускорение звена 1:a1τ = s̈ =20πt3 π2sin .416При t = 1 с√3 2 π2≈ 1,31 м/c2 ; a1 = |s̈| .s̈ =32Знаки у проекции скорости v1τ и у проекции ускорения a1τ разные, поэтому векторы скорости v 1 и ускорения a1 направлены вразные стороны, т. е. звено 1 в момент времени t = 1 с движетсязамедленно.Звено 2—3 (двухступенчатый блок) совершает вращательноедвижение (см. рис. 4). Ввиду отсутствия проскальзывания звена 1по звену 2—3 скорости и касательные составляющие ускоренийточек контакта этих тел равны, поэтомуω2 =радv1 1,67≈ 2,1≈с0,8r2— модуль угловой скорости звена 2—3;ε2 =радa1 1,31≈ 1,64 2≈с0,8r2— модуль углового ускорения звена 2—3.Точка A3 принадлежит звену 2—3.Модуль скорости точки A3vA3 = ω2 r3 ≈ 2,1 · 0,4 ≈ 0,84 м/c.Ускорение точки A3τāA3 = āA+ ānA3 .3Модуль касательной составляющей ускорения точки A3 τ a = ε2 r3 ≈ 1,64 · 0,4 ≈ 0,66 м/c2 .A3Модуль нормального ускорения точки A3anA3 = ω22 · r3 ≈ 2,12 · 0,4 ≈ 1,76 м/c2 .Модуль ускорения точки A3τ )2 + (an )2 ≈ 1,88 м/c2 .aA3 = (aAA33Звено 4 совершает вращательное движение.

Точка A4 принадлежит звену 4. Ввиду отсутствия проскальзывания звеньев 4 и 2—321имеемv A4 = v A3 ;vA4 = vA3 = ω4 r4 = 0,84 м/c2 .Следовательно, модуль угловой скорости звена 4радvA0, 84= 1,4.ω4 = 4 ≈с0, 6r4Ускорение точки A4τāA4 = āA+ ānA4 .4Ввиду отсутствия проскальзывания звеньев 2—3 и 4 имеемττāA= āA.43Модуль касательной составляющей ускорения точки A4ττ|aA| = |aA| = ε4 r4 .43Отсюда находим модуль углового ускорения звена 4ε4 =τ|aA| 0,66рад4= 1,1 2 .=0,6сr4Направления угловых скоростей и угловых ускорений тел механизма, совершающих вращательное движение, показываем начертеже круговыми стрелками, согласовывая их направления с направлениями векторов скоростей и касательных ускорений соответствующих точек контакта тел (см. рис.

6).Нормальное ускорение точки A4anA4 = ω24 r4 = 1,18 м/c2 .Модуль ускорения точки A4τ )2 + (an )2 = 1,35 м/c2 ,aA4 = (aAA44для точек Ai контакта тел найденные скорости, ускорения и их составляющие строим на схеме механизма в соответствующем масштабе (cм. рис. 6).232425262728293031323334353637ЛИТЕРАТУРАВиноградов А.Н., Пилюгина Н.Н., Феоктистова О.П. Кинематикаточки и простейшие движения твердого тела: Метод.

указания. М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1994. 38 с.Лапшин В.В. Кинематика точки и простейших движений твердоготела: Метод. указания к выполнению курсовой работы. М.: Изд-воМГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. 36 с.Кинематика точки и простейшие движения твердого тела: Метод. указания / Я.А. Болотникова, А.А. Панкратов, А.А. Пожалостин,П.М. Шкапов.

М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1991. 53 с.Курс теоретической механики: Учеб. для вузов / Под ред. К.С. Колесникова, В.В. Дубинина. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011.760 с.ОГЛАВЛЕНИЕВведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Кинематика точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Кинематика простейших движений твердого тела . . . . . . . . . . . . . . .3. Примеры выполнения курсового задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.

Схемы и варианты курсового задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34552338Учебное изданиеФеоктистова Ольга ПавловнаГартиг Елена БорисовнаПожалостин Алексей АлексеевичПанкратов Александр АлексеевичКИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯТВЕРДОГО ТЕЛАМетодические указанияРедактор О.М. КоролеваКорректор О.В. КалашниковаКомпьютерная верстка В.И. ТовстоногПодписано в печать 24.12.2012. Формат 60×84/16.Усл. печ. л. 2,33. Тираж 1500 экз. Изд. № 9.ЗаказИздательство МГТУ им.

Н.Э. Баумана.Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5..