Феоктистова О.П., Гартиг Е.Б., Пожалостин А.А., Панкратов А.А. - Кинематика точки и простейшие движения твердого тела

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаКИНЕМАТИКА ТОЧКИИ ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯТВЕРДОГО ТЕЛАМетодические указанияк выполнению курсового заданияМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2012УДК 531.1ББК 22.21К41Рецензент Г.А. ТимофеевК41Кинематика точки и простейшие движения твердоготела : метод.

указания к выполнению курсового задания /О.П. Феоктистова, Е.Б. Гартиг, А.А. Пожалостин, А.А. Панкратов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. – 37, [3] с. :ил.Представлен комплекс курсовых заданий по теоретической механике. Приведены примеры выполнения курсового задания.Для студентов первого курса машиностроительных и приборныхспециальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана.Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН МГТУим. Н.Э. Баумана.УДК 531.1ББК 22.21c МГТУ им.

Н.Э. Баумана, 2012ВВЕДЕНИЕКурсовое задание по разделу теоретической механики «Кинематика точки и простейшие движения твердого тела» является первым при изучении курса «Теоретическая механика». Оно позволяетстуденту усвоить основные понятия кинематики точки и простейших движений твердого тела. Курсовое задание содержит 30 вариантов задач (разд. 4). Каждому варианту задания соответствуетодна схема механизма (на схемах — 1—5 — звенья механизма).Указанная на схемах механизма точка M может принадлежатьзвену или совершать движение относительно него. Начало и положительное направление отсчета координат s(t), x(t), y(t), r(t), ϕ(t)и ψ(t) также указаны на схемах.Кроме того, на схемах механизмов приведены исходные данные для всех вариантов задания и единицы измерения исходныхвеличин: длина — в метрах, время — в секундах, угол — в радианах.В точках соприкосновения звеньев механизма проскальзывание отсутствует, нити и ремни считаются нерастяжимыми и относительно шкивов не скользят.Курсовое задание состоит из двух частей: 1) кинематика точки;2) простейшие движения твердого тела.1.

КИНЕМАТИКА ТОЧКИВ первой части курсового задания нужно исследовать движение точки M и определить основные характеристики этого движения.Требуется:1) по заданному движению механизма (см. варианты заданий)получить уравнения движения точки M координатным способом(в декартовой или полярной системе координат, указанной на схемеварианта);2) определить траекторию движения точки M для момента времени t = t1 ;3) найти скорость v и ускорение a точки M ;4) определить проекции скорости v и ускорения a точки M наоси декартовой системы координат;5) найти касательную a τ и нормальную an составляющие ускорения, радиус кривизны ρ траектории в данном положении точки M ;6) найти радиальную vr и трансверсальную v ρ составляющиескорости. Начало полярной системы координат нужно поместитьв начало декартовой, направив полярную ось по оси Ox;7) в выбранном масштабе выполнить чертеж с изображениемтраектории движения точки M .

На чертеже указать все составляющие скорости и ускорения точки M в момент времени t = t1 .42. КИНЕМАТИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙТВЕРДОГО ТЕЛАВо второй части курсового задания требуется определить:1) вид движения звеньев механизма для момента времениt = t1 ;2) угловые скорости ω и угловые ускорения ε звеньев механизма, совершающих вращательное движение, указать на чертежекруговыми стрелками их направления, характер движения тел (замедленный или ускоренный);3) скорости v и ускорения a тел при поступательном движении;4) для точек контакта тел Ai (i — номер звена) скорости, ускорения и изобразить их на схеме механизма в соответствующеммасштабе (см.

разд. 4).Примечания. 1. Радиусы ступеней i-го зубчатого колеса обозначены Ri и ri .2. Законы движения звеньев в ряде механизмов справедливы для ограниченного промежутка времени, включающего моментt = t1 .3. Для тела при вращении его вокруг оси Oz:ϕ — угол поворота тела. Положительное направление отсчета угла ϕ принято против хода часовой стрелки, если смотреть сположительного направления оси Oz;ω̄ — угловая скорость тела — скользящий вектор на оси вращеdϕния, ω̄ = ωz k̄0 , где k̄0 — единичный орт оси Oz; ωz == ϕ̇ —dtпроекция вектора ω на ось Oz;ε̄ — угловое ускорение тела — скользящий вектор на оси вращения Oz, ε̄ = εz k̄0 , где εz — проекция вектора ε̄ на ось Oz:εz =d2 ϕ d ωz= ϕ̈.=dt2dt3.

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОГО ЗАДАНИЯПример 1. Исследовать кинематику движения точки и кинематику движений твердого тела (рис. 1). Определить:5траекторию движения точки M и для момента времени t = 1 с:1) скорость v и ускорение a;2) радиальные и трансверсальные составляющие скорости иускорения;3) касательную a τ и нормальную an составляющие ускоренияточки M .Выполнить чертеж с изображением движения траектории точкиM . Указать ее положение для момента времени t = 1 с, найденныескорости и ускорения, а также их составляющие.Найти угловые скорости ω и ускорения ε звеньев 1 — 3 механизма (см. рис. 1), скорости и ускорения точек Ai и для моментавремени t = 1 с указать их на чертеже.2Дано: r(t) = beht −1 , м; ϕ(t) = ht2 − 1, рад; b = 1 м, h = 1 рад/с2 ;R1 = 0,4 м; R2 = 0,2 м; r2 = 0,1 м.Исследуем кинематику движения точки M .

Движение точки Mзадано координатным способом (в полярной системе координат).Рис. 16Полярную ось считаем совмещенной с осью Ox; OM = r(t) —полярный радиус ϕ(t) — полярный угол.Найдем траекторию точки M . Исключив время t, получимуравнение траектории движения точки M в полярной системе координат:r = eϕ.Это логарифмическая спираль. Так как t 0, траекторией движения точки M будет часть логарифмической спирали:r = e ϕ (−1 ϕ < ∞; r e−1 ).Координаты точки M при t = 0 с:ϕ = −1 рад = −57,3◦ ; r = 0,368 м.Координаты точки M при t = 1 с:ϕ = 0 рад = 0◦ ; r = 1 м.Определим скорость точки М :v̄ = vr r̄0 + vp p̄0 ,где r̄0 — единичный вектор, направленный от полюса O к точке M ;p̄0 — единичный вектор, направленный по трансверсали (поворотr̄0 на 90◦ по направлению круговой стрелки ϕ).Проекция вектора скорости v на радиальную ось:2 −1vr = ṙ = 2tet.Проекция вектора скорости v на трансверсальную ось:2 −1vp = r ϕ̇ = 2tet.Для момента времени t = 1 c√vr = vp = 2 м/c; v = vr2 + vp2 = 2 2 = 2,828 м/c.Определим ускорение точки M :ā = ar r̄0 + ap p̄0 .Проекция ускорения a на радиальную ось2 −1ar = r̈ − r ϕ̇2 = 2et2 −1+ 4t2 et2 −1− 4t2 et2 −1= 2et.7Проекция ускорения a на трансверсальную ось2 −1ap = 2ṙ ϕ̇ + r ϕ̈ = 8t2 et2 −1+ 2etДля момента времени t = 1 car = 2 м/c2 ; ap = 10 м/c2 ; a =2 −1= 2et(4t2 + 1).a2r + a2p = 10,2 м/c2 .Радиальную и трансверсальную составляющие скорости иускорения строим на чертеже с изображением траектории движения точки M (рис.

2).Рис. 28Зададим движение точки М естественным способом.Траекторией движения точки М является часть логарифмической спирали:r = eϕ,где −1 ϕ < ∞; r e−1 .Начало отсчета дуговой координаты s (натурального параметра) выберем в положении точки M при t = 0 с ϕ0 = −1 рад == −57,3◦ ; r = 0,368 м. Положительное направление отсчета координаты s выберем в сторону движения точки M от точки M0 .Определим зависимость s = s(t), положив v τ = v из соотношенияtv τ dt =s=0t vr2 + vp2 dt,0которое удобно преобразовать к видуϕ drs=( )2 + r2 dϕ,dϕϕ0ϕϕ √√ ϕ√dr2e2ϕ dϕ = 2 e dϕ = 2 (e ϕ −= eϕ; s =где r = e ϕ ;dϕϕ0ϕ0√√2ϕ0ϕ−1t−e ) = 2 (e − e ), т.

е. s(t) = 2 (e − 1)/e.Скорость точки Мv̄ = v τ τ̄,где | τ̄| = 1; τ̄ — единичный вектор, направленный в сторону положительных значений s по касательной к траектории движенияточки M ;√√ 2√2v τ = ṡ = 2 e ϕ ϕ̇ = 2 et −1 2t = 2 2 tet −1— проекция скорости на касательную к траектории движения точки M .Для t = 1 c√v τ = 2 2 ≈ 2,82 м/c.9Ускорение точки Мā = a τ τ̄ + an n̄,где |n̄| = 1; n̄ — единичный вектор, направленный по главной нормали к траектории движения точки М .Проекция ускорения на ось, касательную к траектории движения точки М :√ 2√2a τ = s̈ = 2 2 et −1 + 4 2 t2 et −1 .Для момента времени t = 1 c√a τ = 6 2 = 8,485 м/с2 .Проекция ускорения на нормаль к траектории движения точки M :√√√an = a2 − a2τ = 104 − 72 = 32 = 4 2 = 5,675 м/с2 ;an =v2.ρОтсюда√v28= √ = 2 ≈ 1,41 м,an 4 2где ρ — радиус кривизны траектории движения точки M приt = 1 c.Для проверки полученного значения найдем av — проекциюускорения на ось, совпадающую со скоростью v точки M :vr ar + vp apdvd 2=vr + vp2 =.av =dtdtvρ=Для момента времени t = 1 cav =√2 · 2 + 2 · 10√= 6 2 ≈ 8,46 м/с2 .2 2Вектор ā τ ≡ āv направлен по касательной к траектории движения точки M .10Зададим движение точки М в декартовой системе координат:x = r cos ϕ;y = r sin ϕ.При t = 1 cx = 1 · cos 0 = 1 м; y = 1 · sin 0 = 0 м.Скорость точки Мv̄ = vx ī + vy j̄,где ī, j̄ — oрты координатных осей Ox, Oy.Проекции скорости точки М на оси Ox, Oy:vx = ẋ = ṙ cos ϕ − r ϕ̇ sin ϕ = vr cos ϕ − vp sin ϕ;vy = ẏ = ṙ sin ϕ + r ϕ̇ cos ϕ = vr sin ϕ + vp cos ϕ.При t = 1 cvx = vr = 2 м/c; vy = vp = 2 м/c.При t = 1 cvx = 2 м/c; vy = 2 м/c; v =√vx2 + vy2 = 2 2 ≈ 2,82 м/c.Ускорение точки Мā = ax ī + ay j̄.Проекции ускорения точки M на оси Ox, Oy:ax = r̈ cos ϕ − ṙ ϕ̇ sin ϕ − ṙ ϕ̇ sin ϕ − r ϕ̈ sin ϕ − r ϕ̇2 cos ϕ == (r̈ − r ϕ̇2 ) cos ϕ − (2ṙ ϕ̇ + r ϕ̈) sin ϕ;ax = ar cos ϕ − ap sin ϕ;ay = r̈ sin ϕ + ṙ ϕ̇ cos ϕ + ṙ ϕ̇ cos ϕ + r ϕ̈ cos ϕ − r ϕ̇2 sin ϕ == (r̈ − r ϕ̇2 ) sin ϕ + (2ṙ ϕ̇ + r ϕ̈) cos ϕ;ay = ar sin ϕ + ap cos ϕ.При t = 1 cax = ar = 2 м/с2 ; ay = ap = 10 м/с2 ; a =a2x + a2y = 10,2 м/с2 .11Исследуем кинематику простейших движений твердого тела.Звенья 1, 2 совершают вращательное движение, звено 3 — поступательное движение.Для звена 1ω1z = ϕ̇ = 0,5t + 1,75.При t = 1 cω1z = 2,25 рад/с; ω1 = |ω1z |;ε1z = ϕ̈ = 0,5 рад/с2 = const; ε1 = |ε1z |.При t = 1 c ω1z > 0 и ε1z > 0 направления круговых стрелок угловой скорости и углового ускорения соответствуют положительномунаправлению отсчета угла ϕ.Звено 1 вращается равноускоренно.

Так как проскальзываниемежду телами 1 и 2 отсутствует, у точек контакта звеньев 1 и2 одинаковые скорости и касательные составляющие ускорения.Тогдаω1 R1 = ω2 r2 .Отсюдаω1 R1 2,25 · 0,4= 9 рад/с.=0,1r2Направления круговых стрелок угловых скоростей согласованыс направлениями скоростей точек контакта тел.Модуль угловой скорости тела 2ω2 = 8 рад/с.ω2 =Из равенства касательных составляющих ускорений точек контакта тел 1 и 2 следуетε1 R1 = ε2 r2 ,отсюдаε1 R1 2 · 0, 4= 8 рад/с2 .=0, 1r2Направления круговых стрелок угловых ускорений согласованы с направлениями касательных составляющих ускорений точекконтакта тел.Звено 2 вращается равноускоренно (рис. 3).Точка A2 принадлежит звену 2, точка A3 — звену 3. У этих точекодинаковые скорости и касательные составляющие ускорения.ε2 =12Рис. 3Скорости точек A2 , A3 и тела 3vA2 = ω2 R2 = 9 · 0, 2 = 1, 8 м/с = vA3 = v3 = vD .Ускорение точки A2τāA2 = āA+ ānA2 ;2ττ= ε2 R2 = 8 · 0, 2 = 1,6 м/c2 ; aA3 = a3 = aD3 = |aA|;aA22aA2anA2 = ω22 R2 = 64 · 0,2 = 12,8 м /с2 ;τ )2 + (an )2 == (aA1, 62 + 12,82 = 12,9 м/с2 .A22Вычисленные угловые скорости тел механизма, совершающихвращательные движения, изобразим на чертеже (см.

рис. 3) круго13выми стрелками, направляя их в сторону вращения тел при t = 1 c.Угловые ускорения тел также обозначим круговыми стрелками, направляя их в сторону круговых стрелок угловых скоростей приускоренном вращении и в противоположную сторону при замедленном вращении. Найденные скорости и ускорения точек механизма изобразим на схеме (см. рис. 3) в соответствующем масштабе.Пример 2 (рис.

4).Рис. 4Дано: s = D sin Et, l = C cos 2Et; C = 5 м, D = −3 м, E == π/4 рад/с; r2 = 0,8 м, r3 = 0,4 м, r4 = 0,6 м.Задать движение точки М координатным способом, найти траекторию точки M и для момента времени t = 1 c:141) определить положение точки M , скорость v и ускорение aточки M , радиальную и трансверсальную составляющие скоростии ускорения точки M , касательную a τ и нормальную an составляющие ускорения точки M ;2) выполнить рисунок с изображением траектории точки M , накотором указать положение точки M при t = 1 c и изобразить всенайденные составляющие скорости и ускорения точки M ;3) oпределить вид движения тел механизма, угловые скоростиω и угловые ускорения ε пронумерованных звеньев механизма,скорости и ускорения точек А3 , А4 , указанные на рис. 4;4) для момента времени t = 1 c указать найденные величинына схеме механизма, угловые скорости и угловые ускорения телобозначить круговыми стрелками.Исследуем кинематику движения точки M .Уравнения движения точки М легко получить в декартовойсистеме координат, так какх = l(t),y = −s(t).Таким образом, система уравнений, определяющих движениеточки в декартовой системе координат, имеет вид⎧π⎪⎨ x = 5 cos t;2(1)⎪⎩ y = 3 sin π t,4где x(t), y(t) — в м.Определим траекторию точки M .