Программа теории модуля 2 «ФНП»

Линейная алгебра и ФНППрограмма теории модуля 2 «ФНП»Для МТ, РК и Э-52016 г.1. Метрика в R n . Окрестности точек. Граница множества. Открытые и замкнутыемножества. Связные и несвязные множества. Область. Примеры.2. Определение функции нескольких переменных (ФНП) Определение линий иповерхностей уровня для функций двух и трех переменных, примеры.3. Определение предела и непрерывности ФНП в точке. Сформулировать арифметическиетеоремы о пределах ФНП в точке.4. Определение прерывности ФНП на множестве. Сформулировать свойства ФНП,непрерывной на: (а) замкнутом и ограниченном множестве; (б) связном множестве.5. Определение частных производных первого порядка, их геометрическая интерпретациядля функции двух переменных.6.

Частные производные высших порядков ФНП. Теорема о частных производныхвысших порядков, полученных разным порядком дифференцирования. Матрица Хессе.7. Определение дифференцируемости ФНП в точке. Доказать теорему о связи междунепрерывностью и дифференцируемостью ФНП.8. Сформулировать и доказать (а) необходимое условие; (б) достаточное условиедифференцируемости ФНП.9. Дифференциал первого порядка ФНП.

Доказать инвариантность формы дифференциалапервого порядка ФНП.10. Сформулировать необходимое и достаточное условие того, что выражениеP ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy является полным дифференциалом, доказать необходимость.11. Сложная ФНП. Вывести формулы для вычисления частных производных сложнойФНП. Полная производная сложной ФНП.12. Неявные ФНП. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной ФНП.Вывести формулы для частных производных первого порядка неявной ФНП.13. Определение дифференциалов высших порядков ФНП. Вывести формулу длядифференциала второго порядка функции: (а) двух; (б) нескольких независимыхпеременных, связь с матрицей Хессе.14.

Определение градиента ФНП, его физический смысл. Направление градиента ФНПотносительно линий (поверхностей) уровня функции двух (трех) переменных.15. Определение производной по направлению. Вывести формулы для вычисленияпроизводной по направлению функции двух и трёх переменных. Связь производной понаправлению с градиентом.16.

Дать определения касательной плоскости и нормали к поверхности. Уравнениякасательной плоскости и нормали к поверхности.17. Определение экстремума ФНП. Вывести необходимые условия экстремума ФНП.Сформулировать достаточные условия.18. Условный экстремум ФНП, постановка задачи. Геометрическая интерпретация дляфункций двух переменных. Функция Лагранжа. Сформулировать: (а) необходимое условиеи (б) достаточное условие условного экстремума, доказать необходимое условие дляфункции двух переменных..