Программа теории для РК для факультета ИБМ

Линейная алгебра. Часть 2(Линейная алгебра и ФНП)1.2.3.4.Программа по теории Для ИБМ2016 г.Линейное пространство (аксиомы, примеры), линейно зависимые векторы,линейно независимые векторы, базис и размерность линейного пространства(с примерами), координаты вектора данном базисе, матрица перехода отодного базиса к другому.Евклидово пространство (аксиомы, примеры), скалярное произведение инорма вектора в евклидовом пространстве, ортогональные векторы,ортонормированный базис.Неравенства (а) Коши – Буняковского и (б) треугольника в евклидовомпространстве.

Определение нормы в евклидовом пространстве. Свойстванормы. Формулы для координат вектора, скалярного произведения и нормывектора в ортонормированном базисе. Линейная независимость ортогональнойсистемы ненулевых векторов. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта(построения ортонормированного базиса подпространства из произвольногобазиса).Координатная и матричная форма записи квадратичной формы. Изменениематрицы квадратичной формы при переходе к другому базису. КритерийСильвестра. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методомЛагранжа.

Закон инерции квадратичных форм. Нахождение ранга и проверказнакоопределённости квадратичной формы, имеющей канонический вид.5. Метрика в R n . Окрестности точек. Граница множества. Открытые изамкнутые множества. Связные и несвязные множества. Область. Примеры.6. Определение функции нескольких переменных (ФНП) Определение линий иповерхностей уровня для функций двух и трех переменных, примеры.7.

Определение предела и непрерывности ФНП в точке. Сформулироватьарифметические теоремы о пределах ФНП в точке.8. Определение прерывности ФНП на множестве. Сформулировать свойстваФНП, непрерывной на: (а) замкнутом и ограниченном множестве; (б) связноммножестве.9. Определение частных производных первого порядка, их геометрическаяинтерпретация для функции двух переменных.10. Частные производные высших порядков ФНП.

Теорема о частныхпроизводныхвысшихпорядков,полученныхразнымпорядкомдифференцирования. Матрица Хессе.11. Определение дифференцируемости ФНП в точке. Теорема о связи междунепрерывностью и дифференцируемостью ФНП.12. Сформулировать и доказать (а) необходимое условие; (б) достаточноеусловие дифференцируемости ФНП.13.

Дифференциал первого порядка ФНП. Доказать инвариантность формыдифференциала первого порядка ФНП.14. Сложная ФНП. Вывести формулы для вычисления частных производныхсложной ФНП. Полная производная сложной ФНП.15. Неявные ФНП. Теорема о существовании и дифференцируемости неявнойФНП. Вывести формулы для частных производных первого порядка неявнойФНП.16. Определение дифференциалов высших порядков ФНП. Вывести формулудля дифференциала второго порядка функции: (а) двух; (б) несколькихнезависимых переменных, связь с матрицей Хессе.17.

Определение градиента ФНП, его физический смысл. Направлениеградиента ФНП относительно линий (поверхностей) уровня функции двух(трех) переменных.18. Определение производной по направлению. Вывести формулы длявычисления производной по направлению функции двух и трёх переменных.Связь производной по направлению с градиентом.19. Дать определения касательной плоскости и нормали к поверхности.Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.20. Определение экстремума ФНП. Вывести необходимые условия экстремумаФНП. Сформулировать достаточные условия.21. *Условный экстремум ФНП, постановка задачи. Геометрическаяинтерпретация для функций двух переменных.

Функция Лагранжа.Сформулировать: (а) необходимое условие и (б) достаточное условиеусловного экстремума, доказать необходимое условие для функции двухпеременных..