Условие типового расчёта по ФНП

ТР ФНП Вариант 1. Антонов Никита ВладимировичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в областиp определенияpфункции g(x, y).f (x, y) = |x| − y, g (x, y) = x2 + y 2 − 1 + 1 − x2 − 2y − y 2Задача 2. Для функции заданной неявно найти ∂z/∂x и ∂z/∂y.F (ln x, ln y, ln z) = 0Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .π√ 2f (x, y, z) = ln z + y − cos x · sin y + 5, M1; 0; 22πp; −1g (x, y) = y · sin2 x − 3 xy 2 , M23Задача 4.

Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая√ y∂z∂zфункция.−= 0, z = fxe2x∂x ∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциаломфункции, и если да, то найти ее: некоторой11 −2 65a) x 1 + y 3 dx + y 3 x + 1 dy3!2p2yxyyb) pdx −x2 + y 2 − pdy2 −222(1 + y )x +yx2 + y 2Задача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальнойy производной в точке A.yzf (x, y, z) = tg (xyz) + 2e · arcsin− 1 , A (−1; −1; 0) , B (0; −3; 2)xЗадача 7. Для заданной поверхности z = 2x2 + y 2 найти точку (точки),в которых касательная плоскость к поверхности параллельна плоскости4x−2y−z+9 = 0.

Написать уравнения касательной плоскости и нормалик поверхности в найденной точке (точках).Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) xy 2 − x2 y − 2y 2 − 2x2 + 5xy + 6x − 6y − 4b) 4x3 − 60x2 + 13y 2 + 4z 2 − 8yz + 252x + 32y − 32z + 2ТР ФНП Вариант 2. Ворошилов Владимир РудольфовичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определения функции g(x, y).f (x, y) = (x − 2)2 + (y + 1)2 , g (x, y) = arcsin (x − y) + arccos xЗадача 2.

Для функции заданной неявно найти dz.xx + yz − 2z 2 + arctg = 0yЗадача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .1 π2f (x, y, z) = z · arcsin x − y sin z − 5, M1 0; − ;2 2 y 21 12 3g (x, y) = 6x y − ln, M2 − ; −x2 3Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая 3∂z √ ∂zфункция.− x·= 0, z = f x 2 + y 32y 2∂x∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторой функции, и если да, то найти! ее:√1122e−y dx − 2y x + x e−y + √a) 1 + √√ 2 dy2 x2 y 1+ yb) tg (yex ) dx + x2 ydyЗадача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направленияp максимальнойпроизводной в точке A.22f (x, y, z) = arcctg (xyz)+ 1 + xy·ln x + z , A (0; −1; −1) , B (3; 5; −3)Задача 7.

Для заданной поверхности x2 + 2y 2 + 3z 2 = 21 найти точку(точки), в которых касательная плоскость к поверхности параллельнаплоскости x + 4y + 6z = 0. Написать уравнения касательной плоскостии нормали к поверхности в найденной точке (точках).Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) − xy 2 + 2y 2 − 4xy + x2 − 4x + 8yb) 3z 3 + 9x2 + 5y 2 − 9z 2 − 6xy − 84x + 44y − 27z + 7ТР ФНП Вариант 3. Гладышев Егор ДмитриевичЗадача 1.

С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определения функции g(x, y).py−2, g (x, y) = 1 − x2 + y 2 + arcsin yf (x, y) =x+3Задача 2. Для функции заданной неявно найти dz.3 cos (5x + 3y − 8z) = 5x + 3y − 8zЗадача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .π π; ; −1f (x, y, z) = cos x sin y · z 3 − 3 + 2, M1 4 411/33/2−2 3/2g (x, y) = x ln y − 2x y , M2 −1;2Задача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая√√ ∂z∂zфункция.−y·= 0, z = fx + ln y2 x·∂x∂yЗадача 5.

Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторой функции, и если да, то найти ее:√√a) (2x y + cos (2x + 1)) dx + x2 ( y + 1) dy√yxctgyb) ctgydx −−− √dysin2 y sin2 y 2 yЗадача 6. В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направлениямаксимальнойпроизводной в точке A.zf (x, y, z) = arcsin (xyz)+cos·ln y 2 + z 2 , A (1; −1; 0) , B (7; −3; −3)yЗадача 7. Для заданной поверхности (z 2 − x2 ) xyz−y 5 = 5 в M0 (1; 1; 2)написать уравнения касательной плоскости и нормали.Задача 8.

Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) x3 + 2x2 y − 3xy 2 + 12x2 − 12xyb) 3z 3 + 10x2 + 5y 2 − 2z 2 − 10xy − 30x − 144z + 2ТР ФНП Вариант 4. Долгов Никита ВитальевичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определенияфункции g(x, y).p222f (x, y) = (x + 2) + 4y , g (x, y) = 2 − x − y 2 − |x2 − y 2 |Задача 2. Для функции заданнойнеявнонайти ∂z/∂x и ∂z/∂y.yF z, ln=0xЗадача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .1 11xyz;− ;1f (x, y, z) = sin + e − 6, M1x 3 π 2yg (x, y) = y 2 cos x − ln, M2 (π; 1)x3Задача 4.

Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая√∂z∂zфункция.− (y ln y)= 0, z = fx ln y2x∂x∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторой функции, и если да, то найти ее:p1a) x2 + y 2 dx + pydy2 x2 + y 212dyb) (2x + 1) cos y dx − x + x · sin y +y (1 + ln |y|)2Задача 6.

В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направления максимальнойпроизводной в точке A.y22 −1f (x, y, z) = cos (xyz) + arctg+1 · y +z, A (1; −1; 0) , B (2; 1; 2)xЗадача 7. Для заданной поверхности x2 + y 2 − z 2 = −1 найти точку(точки), в которых касательная плоскость к поверхности параллельнаплоскости 2x + 2y − 3z − 5 = 0. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в найденной точке (точках).Задача 8. Найти экстремум функции a) f (x, y), b) f (x, y, z).a) xy 2 − x3 + 2xy − 6x2 − 8xb) 3z 3 − 25x2 − 5y 2 + 18z 2 + 10xy + 220x − 60y − 45z + 11ТР ФНП Вариант 5. Дряпин Максим АлексеевичЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определенияфункции g(x, y).p222f (x, y) = 4x + (y + 2) , g (x, y) = 2 − x − y 2 − |x2 − y 2 |Задача 2.

Для функции заданной неявно найти ∂z/∂x и ∂z/∂y.222F x + y + z, 2x − 3y + 4z = 0Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .1 π32f (x, y, z) = x cos z + y ln x − 2, M1 1; ;2 422 1/2g (x, y) = y ln x − 2x y , M2 (1; 4)ТР ФНП Вариант 6. Елисеева Ольга СергеевнаЗадача 1. С помощью линий уровня найти наибольшее и наименьшеезначения функции f (x, y) в области определения функции g(x, y).qx2 + y 2, g (x, y) = 1 − (x − 3)2 − y 2f (x, y) =xЗадача 2. Для функции заданной неявно найти ∂z/∂x и ∂z/∂y.F (ln xy, ezx ) = 0Задача 3. Найти дифференциал 2-ого порядка для функции 3-х переменных f (x, y, z) в точке M1 и дифференциал 3-ого порядка для функции 2-х переменных g(x, y) в точке M2 .122 yf (x, y, z) = z sin x − 1 + zx e + 8, M1 1; 0; −π 2 y 3, M2;1g (x, y) = 2y · sin x − lnx3Задача 4.

Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномуЗадача 4. Показать, что функция z = z(x, y) удовлетворяет данномудифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемаядифференциальному уравнению. f – произвольная дифференцируемая∂z∂zфункция.∂z∂z− 3yx2= 0, z = f x3 + ln yфункция.−y·= 0, z = f xy 22x ·∂x∂y∂x∂yЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаЗадача 5. Проверить является ли данная дифференциальная формаполным дифференциалом некоторой функции,и если да, то найти ее:√2полным дифференциаломнекоторой функции, и если да, то найти ее:√a) ey xdx + x2 + y ydy32√cos yx+1)2(3√ydx−−x+1dya)3x sin y1 2√sin2 y3 x2− y − 3 dyb) cos ydx −√x2 cos y 3b) sin (xy) ydx − dyyЗадача 6.

В точке A найти производную функции u = f (x, y, z) в наЗадача6.ВточкеAнайтипроизводнуюфункции u = f (x, y, z) в направлении вектора AB и максимальную производную по направлению.правлении вектора AB и максимальную производную по направлению.Указать вектор направленияпроизводной в точке A. максимальнойpУказать вектор направления максимальнойyz yz производной в точке A.22f (x, y, z) = 1 + xyz + cos· tg+ 1 , A (−1; 1; 0) , B (−3; −1; 1)f(x,y,z)=sin(xyz)+lnx+z· e , A (−1; −1; 0) , B (−3; 5; 3)yx22Задача 7.

Для заданной поверхности z = 3x + y найти точку (точки), Задача 7. Для заданной поверхности 5x2 − y + 2z 2 = 9 найти точкув которых касательная плоскость к поверхности параллельна плоскости (точки), в которых касательная плоскость к поверхности параллельна6x−4y−z+3 = 0. Написать уравнения касательной плоскости и нормали плоскости 10x − y + 8z − 13 = 0. Написать уравнения касательной плоск поверхности в найденной точке (точках).кости и нормали к поверхности в найденной точке (точках).Задача 8.