Интегралы 10 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-10Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:. Получаем:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-10Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Обозначим:Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Получаем:U.rutiGTОбозначим:осanВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-10анУсловие задачиВычислить неопределенный интеграл:СкачРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 4-10Условие задачиВычислить определенный интеграл:.

Получаем:U.ruосantiGTРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 5-10Условие задачиСкачРешениеанВычислить неопределенный интеграл:Под интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:Получаем:U.ruantiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:осПрибавим к третьей строке первую умноженную на -6:анПрибавим ко второй строке первую умноженную на 5:СкачПрибавим к третьей строке вторую умноженную на 3:U.ruТогда получаем:Задача Кузнецов Интегралы 6-10tiGTУсловие задачиВычислить неопределенный интеграл:anРешениеСкачаносРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTТогда:Задача Кузнецов Интегралы 7-10Условие задачиanНайти неопределенный интеграл:РешениеСкачаносРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:antiGTU.ruВычтем из четвертого уравнения второе:СкачаносТогда:Задача Кузнецов Интегралы 8-10Условие задачиВычислить определенный интеграл:РешениеU.ruВоспользуемся универсальной подстановкой:tiGTОткуда:аносanПодставим:Задача Кузнецов Интегралы 9-10Условие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеU.ruВоспользуемся подстановкой:tiGTОткуда:anПодставим:СкачаносРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 10-10Условие задачиtiGTВычислить определенный интеграл:СкачаносanРешениеU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 11-10Условие задачиРешение∫x + 3 x − 2 − 103x − 2 + 71dx =Делаем замену: 3 x − 2 = t ⇒ x =Получаем:()()1 22t + 2 dx = tdt33an2tiGTВычислить определенный интеграл:1 22t + 2 + t −10222 32 t 3+3t 2 − 28t2 221 3281 222= ∫tdt = ∫dt = ∫ t − 4t dt =  t − 2t  =  −8 − + 2 = −31t +791t +791933 271 932(Условие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 12-10СкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Замена:Получаем:)U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 13-10Условие задачиanНайти неопределенный интеграл:РешениеанТак, как, где- знаменатель дробиСкачТ.е.

в нашем случае замена имеет вид:Получаем:, откудаосПод интегралом дифференциальный бином.- целое, то используем замену:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 14-10Условие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:СкачаносanРешениеВоспользуемся формулой интегрирования по частям:ГдеТогда получимU.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 15-10anУсловие задачиСкачанРешениеосВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.Найдем точки пересечения:любой отрезок длиннойпериодичны (с периодом.

Возьмем. Тогда:tiGTилина отрезкеU.ruТак как функции.СкачаносanВычисляем площадь:), то беремЗадача Кузнецов Интегралы 16-10U.ruУсловие задачиВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.Решение1 2 21S = ∫ sin d +2 023∫42tiGT1S = ∫ r 2 ( )d212 cos 2   − d =44321∫0 (1 − cos 2 )d + 23111   2 1−sin2 +   + sin  2 −  4222 2  04=2+4 ∫ 1 + cos 2 − 2  d =23  1  1  − 1− − = − =8 4 4 4 442осan=Задача Кузнецов Интегралы 17-10Условие задачиСкачРешениеанВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.Длина дуги кривой, заданной уравнениемНайдем производную данной функции:, определяется формулойСкачаносantiGTU.ruТогда по вышеприведенной формуле получаем:Задача Кузнецов Интегралы 18-10Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.U.ruРешениеДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойдля заданной кривой:осanТогда по приведенной выше формуле имеем:tiGTНайдем производные поЗадача Кузнецов Интегралы 19-10анУсловие задачиСкачВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.РешениеДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулойНайдемU.rutiGTПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 20-10anУсловие задачиВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.bV = ∫ S ( z )dz , гдеaПлощадь эллипса:осРешениеS (z ) - площадь поперечного сечения.ан z2 S = ab = 12 1 −  16 2z2 1 31V = ∫ 12 1 − dz = 12  z −z  = 12  2 −  = 2248  06 16 0Скач2Задача Кузнецов Интегралы 21-10U.ruУсловие задачиВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.является осью вращения, то объём находится по формуле:осПоскольку осьantiGTРешениеИз условия задачи уже имеем пределы интегрирования:СкачанНайдем объём тела вращения:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 22-10tiGTУсловие задачиВычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочнойм,м,м..аносРешениекг/м3, ускорение свободного паденияanтрапеции (см. рис.). Плотность водыравным 10 м/с2.Указание: Давление на глубине равноСкачподобенположить.