Электричество (Огурцов А.Н. - Физика для студентов), страница 2

Согласно принципу суперпозиции напряженность поля E ,создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей Ei , создаваемыхкаждым зарядом в отдельности. Поэтомуnn⎛ n⎞q1 nΦ E = ∫ En d S = ∫ ⎜ ∑ Ei ⎟ ⋅ d S = ∑ ∫ Ei d S = ∑ i = ∑ qi .ε0 i =1i =1 Si =1 ε 0⎠SS ⎝ i =1Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме: потоквектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозьпроизвольную замкнутую поверхность равен алгебраической суммезаключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε0 .Если заряд распределен в пространстве с объемной плотностьюρ = d q / d V , то теорема ГауссаΦE =1∫ En d S = ε0 ∫ ρ dV .SV7. Циркуляция вектора напряженности.Если в электростатическом поле точечного заряда qиз точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траекторииперемещается другой точечный заряд q0 , то сила,приложенная к заряду, совершает работу.

Работа силы наэлементарном перемещении d l равна1 qq01 qq0d l cos α =dr .24πε0 r4πε0 r 2Работа при перемещении заряда q0 из точки 1 в точку 2d A = F d l = F d l cos α =r2A12 = ∫ d A =r1rqq0 2 d r1 ⎛ qq0 qq0 ⎞=−⎜⎟.∫24πε0 r r4πε0 ⎝ r1r2 ⎠1Работа A12 не зависит от траектории перемещения, а определяется толькоположениями начальной и конечной точек. Следовательно, электростатическоеполе точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы– консервативными.Таким образом, работа перемещения заряда в электростатическом полепо любому замкнутому контуру L равна нулю∫ d A = 0.LЕсли переносимый заряд единичный, то элементарная работа сил поля на пути d l равна E d l = El d l ,где El = E cos α – проекция вектора E на направлениеэлементарного перемещения d l .А.Н.Огурцов.

Физика для студентовИнтеграл∫ E d l = ∫ El d lLназываетсяциркуляциейвектораLнапряженности по заданному замкнутому контуру L .Теорема о циркуляции вектора E :Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдольлюбого замкнутого контура равна нулю∫ E d l = ∫ El d l = 0 .LLСиловоеполе,обладающеетакимсвойством,называетсяпотенциальным. Эта формула справедлива только для электрическогополя неподвижных зарядов (электростатического).8. Потенциальная энергия заряда.В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работаконсервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии.Поэтому работу A12 можно представить, как разность потенциальныхэнергий заряда q0 в начальной и конечной точках поля заряда q1 qq01 qq0−= W1 − W2 .4πε0 r14πε0 r2Потенциальная энергия заряда q0 , находящегося в поле заряда q нарасстоянии r от него равна1 qq0W=+ const .4πε0 rA12 =Считая, что при удалении заряда на бесконечность, потенциальнаяэнергия обращается в нуль, получаем:const = 0 .Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия(отталкивания) положительна, для разноименных зарядов потенциальнаяэнергия из взаимодействия (притяжения) отрицательна.Если поле создается системой n точечных зарядов, то потенциальнаяэнергия заряда q0 , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальныхэнергий, создаваемых каждым из зарядов в отдельностиnnq.4πε0 rii =1W = ∑U i = q0 ∑i =19.

Потенциал электростатического поля.ОтношениеWq0не зависит от пробного зарядаq0и является,энергетической характеристикой поля, называемой потенциаломϕ=W.q0Потенциал ϕ в какой-либо точке электростатического поля естьскалярная физическая величина, определяемая потенциальной энергиейединичного положительного заряда, помещенного в эту точку.Электричество3–83–9Например, потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q , равен1 qϕ=.4πε0 rA12 = W1 − W2 = q0 (ϕ1 − ϕ2 ) = q0 Δϕ .то есть, равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциаловв начальной и конечной точках.Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом полеопределяется работой, совершаемой силами поля, при перемещенииединичного положительного заряда из точки 1 в точку 2электростатическогопотенциала.12.

Эквипотенциальные поверхности.Для графического изображения распределения потенциала используютсяэквипотенциальные поверхности – поверхности во всех точках которыхпотенциал имеет одно и то же значение.222111поля,A12 = ∫ F d l = ∫ q0 E d l = q0 ∫ E d l .Отсюда2E = − gradϕ = −∇ϕ .Знак минус показывает, что вектор E направлен в сторону убыванияA12.q0Пользуясь определением напряженностиможем записать работу A12 в видеϕ1 − ϕ2 = Δϕ =∂∂∂i+j+ k.∂x∂y∂zПоскольку F = qE и W = qϕ , то10. Разность потенциаловРабота, совершаемая силами электростатического поля при перемещениизаряда q0 из точки 1 в точку 2, может быть представлена какϕ1 − ϕ2 = Δϕ =где ∇ ("набла") – оператор Гамильтона: ∇ =2A12= E d l = ∫ El d l .q0 ∫11где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющейначальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля независит от траектории перемещения.Если перемещать заряд q0 из произвольной точки за пределы поля(на бесконечность), где потенциальная энергия, а значит и потенциал, равнынулю, то работа сил электростатического поля A∞ = q0ϕ , откудаAϕ= ∞ .q0Таким образом, еще одно определение потенциала: потенциал –физическая величина, определяемая работой по перемещению единичногоположительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность.Единица потенциала – вольт (В): 1В есть потенциал такой точки поля, вкоторой заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией 1Дж (1В=1Дж/1Кл).Принцип суперпозиции потенциалов электростатических полей:Если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системызарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов.11.

Связь между напряженностью и потенциалом.Для потенциального поля, между потенциальной (консервативной) силой ипотенциальной энергией существует связьF = − grad W = −∇W .А.Н.Огурцов. Физика для студентовЭквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разностипотенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностямибыли одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей нагляднохарактеризует напряженность поля в разных точках.

Там, где эти поверхностирасположены гуще, напряженность поля больше. На рисунке пунктиромизображенысиловыелинии,сплошнымилиниями–сеченияэквипотенциальных поверхностей для: положительного точечного заряда (а),диполя (б), двух одноименных зарядов (в), заряженного металлическогопроводника сложной конфигурации (г).Для точечного заряда потенциал ϕ =1 q, поэтому эквипотенциальные4πε0 rповерхности – концентрические сферы. С другой стороны, линиинапряженности – радиальные прямые.

Следовательно, линии напряженностиперпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.Можно показать, что во всех случаях1) вектор E перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и2) всегда направлен в сторону убывания потенциала.13. Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатическихполей в вакууме.1.

Электростатическое поле электрического диполя в вакууме.Электрическим диполем (или двойным электрическим полюсом)называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов( + q,− q ), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния дорассматриваемых точек поля (l << r ) .Плечо диполя l– вектор, направленный по оси диполя ототрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними.Электричество3–103–11Электрический момент диполя p e – вектор, совпадающийпо направлению с плечом диполя и равный произведению модуляpe = q lзаряда q на плечо l :1) Напряженность поля диполя на продолженииоси диполя в точке АE A = E+ − E− , ϕ = ϕ+ + ϕ− .Пусть r – расстояние до точки А от серединыоси диполя.

Тогда, учитывая что r >> l ,1q1q1 2ql−==224πε0 ⎛4πε0 ⎛4πε0 r 3l⎞l⎞⎜r − ⎟⎜r + ⎟2⎠2⎠⎝⎝1 2 pe=,4πε0 r 31 ⎛ qq ⎞1 ql1 pe.ϕA =−=⎜⎟=4πε0 ⎝ r − l / 2 r + l / 2 ⎠ 4πε0 r 2 4πε0 r 2EA =2) Напряженность поля в точке B на перпендикуляре, восстановленном коси диполя из его середины при r ' >> l1q1qEB l≈≈ , поэтому,E+ r '4πε0 ( r ')2 + ( l / 2 )2 4πε0 ( r ')2l1 ql1 pe=,E B = ( E+ ) =3r ' 4πε0 (r ')4πε0 (r ')3ϕB = 0 .Точка В равноудалена от зарядов + q и − qE+ = E− =диполя, поэтому потенциал поля в точке В равеннулю. Вектор E B направлен противоположновдоль направления поля E (рис.(а)).Во внешнем однородном поле момент парысил равен M = qEl sin α или M = [ pe , E ] .

Во внешнем неоднородном поле(F2> F1) и ихрезультирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большейнапряженностью – диполь втягивается в область более сильного поля.2. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью+σ = d q d S . Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемойплоскости и направлены от нее в обе стороны.А.Н.Огурцов. Физика для студентовϕ1 − ϕ2 =x2x2x1x1∫ Edx =σσ∫ 2ε0 d x = 2ε0 ( x2 − x1) .3.

Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженныхплоскостей с равными по абсолютному значению поверхностнымиплотностями зарядов σ > 0 и −σ .Из предыдущего примера следует, что векторы напряженности E1 и E 2первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направленыперпендикулярно плоскостям.