Лунёва Л.А., Тараненко С.Н., Козырев А.В. и др. - Электростатика, магнитостатика, электромагнитная индукция, страница 7

При выводе зависимостискорости перемычки от времени нам пришлось дифференцировать исходноеуравнение (3.26), при этом в окончательном результате исчезла постоянная величина ускорения свободного падения g. Необходимо убедиться, что полученноерешение действительно удовлетворяет дифференциальному уравнению для скорости перемычки. Проверка этого условия – оно должно выполняться для произвольного момента времени - приводит к соотношению:C3 = −g ⋅m.B ⋅lИтак, постоянная интегрирования С1 нами определена единственным образом, постоянная интегрирования С3 нами определена единственным образом, постоянная интегрирования С2 пропорциональна электрическому току через конденсатор в начальный момент времени, она же участвует в формировании начального тока через катушку индуктивности и, таким образом, в формировании начального тока через перемычку. Формально её значение может быть произвольным.

Физически допустимыми являются начальные условия, позволяющие однозначно определить значение постоянной интегрирования С2 .По условию задачи известно, что ток через перемычку в начальный моментвремени равен нулю. Приравнивая выражение для I(0) нулю, получаемC2 =gω0После этого решение задачи приобретает окончательный вид:υ (t ) =gω0⋅ sin ω0 t −εB ⋅l⋅ (1 − cos ω0 t ) B ⋅l ⋅ gq(t ) = −C ⋅ ⋅ sin ω0 t + ε ⋅ cos ω0 t  ω0I C (t ) = C ⋅ ( − B ⋅ l ⋅ g ⋅ cos ω0 t + ε ⋅ ω0 ⋅ sin ω0 t )I L (t ) =εB⋅l ⋅ gm⋅g⋅ cos ω0 t −⋅ sin ω0 t −2L ⋅ ω0L ⋅ ω0B ⋅l m⋅ g(1 − L ⋅ C ⋅ ω02 )  B ⋅ l ⋅ gI (t ) =⋅ ⋅ cos ω0 t − ε ⋅ sin ω0 t  −.L ⋅ ω0 ω0 B ⋅lОсобенностью рассматриваемой задачи является то, что при её решении потребовалось установить законы изменения с течением времени заряда конденсатора, тока через конденсатор и тока через катушку индуктивности.

Заметим,что в практически интересных случаях задание начальных условий для параметров сложной электрической цепи может представлять определённые трудности.Задача 3.2. По двум гладким меднымшинам скользит перемычка массой М, закон движения которой задан функциейy (t ) = a exp( − nt ) , где a и n – постоянные ве-личины. Сопротивление перемычки равноR,поперечное сечение S , концентрацияносителей заряда (электронов) в проводнике перемычки равна n0 .Рис. 3.9Сверху шины замкнуты электрической цепью, содержащей индуктивность Lв соответствии с рисунком 3.9.

Расстояние l между шинами является постояннойвеличиной. Система находится в однородном переменном магнитном поле с индукцией B z (t ) = C exp( − mt ) , перпендикулярном плоскости, в которой перемещаетсяперемычка, а C и m в законе изменения индукции магнитного поля являются положительными постоянными величинами. Сопротивление шин, скользящих кон-тактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Ток I через перемычку в начальный момент времени равен нулю.Найти:- закон изменения электрического тока с течением времени I (t );- закон изменения напряжённости электрического поля E (t ) в перемычке;- силу Fy (t ), действующую на перемычку, необходимую для обеспечения заданного закона движения;- связь между силой Ампера, действующей на перемычку, и силой Лоренца, действующей на электроны в перемычке.Решение.

Выберем направление единичной нормали n так, чтобыn ↑↑ B , тогда поток вектора B будет положительным (рис.3.10). Поток вектора B сквозь поверхность, натянутую на контур а L ба, равен Ф = ( B , n ) ly . Э.D.C. индук-ции, обусловленная изменением этого потока, в соответствии с законом Фарадеяравна:εi=−dФd= − [ Bz (t ) y (t )l ]dtdt.(3.34)Направление обхода рассматриваемого контура а L ба согласуем с выбранным направлением вектора нормали n правилом правого винта.

Тогда уравнениеКирхгофа (3.11) применительно к данной задаче принимает вид:εi− LdI / dt = IR.(3.35)Рис.3.10.Следует отметить, что в соотношении (3.35) ток I положительный, поскольку выбран так, что его направление совпадает с направлением обхода контура а L ба. Так как в условии задачи заданы закон движения перемычкиy (t ) = a exp( − nt ) и закон изменения магнитного поля B z (t ) = C exp( − mt ) , то значениеЭ.D.C. индукции в соответствии с законом (3.1) равноεi= alC ( m + n) exp( −( m + n)t ).(3.36)Тогда для тока I (t ) , протекающего в контуре а L ба, с учётом выражения (3.36) дляεiполучаем неоднородное дифференциальное уравнение с начальным условиемI ( 0) = 0 :LdI+ IR = alC (m + n) exp(−(m + n)t )dt.(3.37)При решении уравнения (3.37) воспользуемся методом Лагранжа.

Решение однородного уравнения (3.37) запишем в формеI (t ) = A(t ) exp(−Rt) .L(3.38)Подставим (3.38) в исходное уравнение (3.37) и найдём значение A(t ) :A(t ) = RalC (m + n) exp  − (m + n) t  + const .R − ( m + n) L LТогда общее решение уравнения (3.37) примет видI (t ) = const exp(−RalC (m + n)t) +exp{[− (m + n)] t}.L( R − ( m + n) L )(3.39)В этом выражении const определяем из начального условия I (0) = 0 :const = −alC (m + n).R − (m + n) LЧастное решение уравнения (3.37) с нулевым начальным условием имеет видI (t ) =alC (m + n)  R  exp[− (m + n)t ] − exp − t   .( R − ( m + n) L)  L (3.40)Динамическое уравнение движения перемычки в проекции на ось OY (аналог уравнения (3.20)) в рассматриваемом случае выглядит следующим образом:Mdυ y= Mg + I l Bz + Fy (t ),dt(3.41)где I (t ) определяется зависимостью (3.40), а Fy (t ) − проекция на ось у управляющей силы, действующей на перемычку.

Из заданного условием задачи законадвижения перемычки найдём производную по времени от проекции на ось OYскорости перемычки:dυ ydt= an 2 exp(− nt ) .Тогда проекция управляющей силы Fy (t ) из уравнения (3.41) с учётом последнегосоотношения будет равнаFy (t ) = Man 2 exp(−nt ) − Mg − I l Bz == Man 2 exp(−nt ) − Mg − RC 2 a l 2 ( m + n)  exp[− (2m + n)t ] − exp − − m t  .( R − ( m + n ) L)   LПлотность тока в перемычке определяется зависимостьюj=I (t ),Sгде S − площадь поперечного сечения проводника.(3.42)Напряжённость электрического поля в перемычке определяем из законаОма в дифференциальной формеE=jσ= jρ уд ,(3.43)где ρ уд − удельное сопротивление медной перемычки (находим по справочнику«Физические величины»).Среднюю скорость 〈u 〉 направленного движения электрических зарядов, образующих электрический ток, находим из уравненияj = e n 0 〈u 〉 ,где e − модуль заряда электрона, n0 – объёмная концентрация носителей заряда.В этом случае справедливо соотношениеj,e n0〈u 〉 =(3.44)где плотность тока j в перемычке определена зависимостью (3.42), модуль зарядаэлектрона e = 1,6 ⋅ 10 −19 Кл.

Тогда полная скорость носителей зарядов (электронов)равнаυ = 〈u 〉 + υ п ,где υ n − скорость движения перемычки. При этомυ пy = dy / dt = − an exp( − nt )-проекция скорости движения перемычки на ось OY. Сила Лоренца, действующаяна заряд, определяющий электрический ток, равна Fл = e ⋅ [υ × B] = e ⋅ [(〈u 〉 + υ п ) × B] = e ⋅ [〈u 〉 × B] + e ⋅ [υ п × B] .(3.45)Следует отметить, что векторы первого и второго слагаемых в последнем соотношении взаимно перпендикулярны.

Тогда 1Fл = e ⋅ ( ([〈u 〉 × B] ) 2 + ([υ п × B] ) 2 ) 2 .Сила Лоренца, действующая на все носители зарядов, равна 1F * = Fл S l n0 = S l n0 e ⋅ ( ([〈u 〉 × B] ) 2 + ([υ п × B] ) 2 ) 2 .Сила Ампера, действующая на перемычку,Fa = I l B z .(3.46)Отношение этих сил с учётом соотношений I = j ⋅ S , j = n0 ⋅ e ⋅ 〈 u〉 после соответствующих преобразований равно:n0 ⋅ e ⋅ 〈 u〉 ⋅ S ⋅ BzFaI l Bz 1 == 2 2 12 = Fл S l n0 e ⋅ ([〈 u 〉 × B ] + [υ п × B ] )S l n0 e ⋅ ([〈u 〉 × B ]2 + [υ п × B ]2 ) 21υ 1+  п u 2≤ 1.В рассмотренных задачах закон электромагнитной индукции играет существенную роль.

Электродинамическое уравнение (второй закон Кирхгофа), полученное с помощью этого закона, входит в общую замкнутую систему дифференциальных уравнений. Учёт начальных условий позволяет найти единственное решение поставленной задачи, обладающее физическим смыслом.ПРИЛОЖЕНИЕОбщие выражения для операторовgrad , div, rot , ∇ 2 в ортогональнойкриволинейной системе координат ( x1 , x 2 , x3 ) :gradU =divA =1 ∂U 1 ∂U 1 ∂U++,h1 ∂x1 h 2 ∂x2 h 3 ∂x3(4.1)1[ ∂ (h2h3 Ax1 ) + ∂ (h1h3 Ax2 ) + ∂ (h1h2 Ax3 ) ] ,h1h2h 3 ∂x1∂x2∂x3(4.2)h1e11∂rotA =h1 h2 h3 ∂x1h1 Ax1(4.3)h2 e 2∂∂x 2h 2 Ax 2h3 e3∂,∂x3h3 Ax3 h2 h3 ∂U  ∂  h1h3 ∂U  ∂  h1h2 ∂U  . ++(4.4) h1 ∂x1  ∂x2  h2 ∂x2  ∂x3  h3 ∂x3  Здесь U − скалярная функция; A − Ax1 , Ax2 , Ax3 − вектор-функция; e1 , e2 , e3 ∇ 2U =1h1h2 h3 ∂ ∂x1{}()единичные базисные векторы; (h1 , h2 , h3 ) − метрические элементы или коэффициенты Ламэ.Прямоугольные координаты: x1 = x, x2 = y, x3 = z ; h1 = 1, h2 = 1, h3 = 1 ; e1 = i ; e2 = j ; e3 = k .(4.5)Цилиндрические координаты:x1 = r , x2 = ϕ , x3 = z ; h1 = 1, h2 = r , h3 = 1 ;e1 = er ;e2 = eϕ ;e3 = e z .