Лунёва Л.А., Тараненко С.Н., Козырев А.В. и др. - Электростатика, магнитостатика, электромагнитная индукция, страница 6

После окончательного решения всей задачи выясняется истинное направле-ние тока на рассматриваемом участке и истинное направление Э.D.C. самоиндукции.Уравнения (3.10), (3.11) составляют при выполнении следующих условий,являющихся следствием законов Кирхгофа и позволяющих получить систему линейно независимых уравнений для определения токов на всех участках цепи:- если в разветвлённой цепи имеется N узлов, то независимые уравнениятипа (3.10) можно составить лишь для N-1 узлов;- если в разветвлённой цепи можно выделить несколько замкнутых контуров, то независимые уравнения типа (3.11) можно составить только для тех контуров, в которых присутствует хотя бы один новый элемент (сопротивление, ёмкость, Э.D.C. любого типа), не встречающийся в уже рассмотренных контурах;- если предположительное направление тока в цепи совпадает с выбраннымнаправлением обхода, то соответствующее слагаемое I j R j в уравнении (3.11))нужно брать со знаком «плюс», если эти направления противоположные, то сознаком «минус»;- в свою очередь слагаемое видаqmв (3.11) формируется следующим обраCmзом.

Пусть выбрано направление обхода. Тогда, если конфигурация, состоящая иззаряда пластин конденсатора qm и направления обхода, совпадает с конфигурацией, указанной на рис.3.3, то соответствующее слагаемое имеет видпадает с конфигурацией, указанной на рис. 3.4, то (−Рис. 3.3qm).CmРис. 3.4qm, если совCmВ нестационарных процессах на обкладках конденсаторов, входящих в тотили иной контур электрической цепи, с течением времени изменяются величиныэлектрических зарядов. Ток, протекающий по участку контура, в котором находится конденсатор, либо заряжает, либо разряжает его (рис.3.5 и 3.6) .Рис. 3.5Рис.

3.6В первом случае уравнение «сохранения» электрического заряда имеет видdqm = I ⋅ dt ,поскольку такой ток увеличивает положительный заряд на соответствующей обкладке конденсатора, а во втором случае dqm = − I ⋅ dt ,поскольку при этом положительный заряд «уходит» с соответствующей обкладкиконденсатора.Уравнение динамики, описывающее движение подвижной перемычки, ипредставленные выше уравнения, основанные на законах Кирхгофа, образуютзамкнутую систему с заданными начальными условиями.

При составлении уравнения динамики практически во всех задачах необходимо знать силу Ампера,действующую на подвижную часть контура (например, в декартовой системе координат):[]i Fa = I l × B = I l xBxkjlyBylz .Bz(3.12)Здесь I − ток, протекающий по перемычке, l − вектор, длина которого совпадает с длиной подвижной перемычки, а направление - с выбранным направлением протекания тока. Следует отметить, что зависимость (3.12) справедлива, ес-ли выполнены следующие условия: I = const , B x , B y , Bz − постоянны и угол междувекторами l и B одинаков вдоль всего подвижного участка цепи.Примеры выполнения домашнего заданияпо теме «Электромагнитная индукция».Задача 3.1. По двум гладким медным шинам, установленным вертикально,в однородном магнитном поле B , которое не изменяется с течением времени,скользит без трения под действием силы тяжести вдоль оси OY прямолинейнаяметаллическая перемычка массы m .

Во время движения перемычка остаётся параллельной самой себе и перпендикулярной направляющим шинам. В цепи содержится источник тока с электродвижущей силойεи ключ K , который при еговключении замыкает электрическую цепь. Вектор индукции B магнитного поляперпендикулярен плоскости рисунка. Параметры электрической цепи приведенына рисунке 3.7. Расстояние между шинами равно постоянной величине l . Сопротивление шин, перемычки и скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы.Внутренним сопротивлением источника тока и сопротивлением катушкипренебречь.Рис. 3.7Найти закон изменения скорости движения перемычки при условии, чтоскорость движения перемычки и ток через перемычку в начальный момент времени равны нулю.

Перемычка приходит в движение с одновременным замыканием ключа K .Решение. Для определения величины потока Ф вектора магнитной индукцииB через плоскую поверхность, ограниченную рассматриваемойцепью, выберем из соображений удобства расчётов направление вектора нормалиn к плоскости рисунка так, чтобы оно совпадало с направлением вектора индукции магнитного поля n ↑↑ B (тогда поток вектора B будет положительным).Рассмотрим два независимых контура аСба и аLба (рис. 3.8). Потоки вектора B через плоские поверхности, ограниченные этими контурами, будут соответственно равны Ф 1 = ( B , n ) l ( y − y 0 ), Ф 2 = ( B , n ) l y.Единственной величиной в этих выражениях, изменяющейся с течениемвремени, является вертикальная координата y=y(t). Э.D.C. индукции, обусловленные изменениями этих потоков, в соответствии с законом Фарадея равныεi1=−dФ1dy= −B l= − B lυ ydtdt,(3.13)εi2=−dФ 2dy= −B l= − B lυ ydtdt,(3.14)где υ y − проекция скорости перемычки на ось OY.

Направления обхода указанныхконтуров аСба и аLба согласуем с выбранным направлением вектора нормали nправилом правого винта.Рис. 3.8Тогда уравнения Кирхгофа (3.11) принимают вид:для контура аСбаεi1−ε = + Cq ,εi2−ε − L dIdt(3.15)для контура аLбаL= 0.(3.16)Для токов в контурах, например для узла А на рисунке 3.8, справедливо следующее уравнение баланса (3.10):I = IC + I L .(3.17)Таким образом, электродинамические уравнения (3.15), (3.16), (3.17) сучётом соотношений (3.13) и (3.14), правила записи которых подробно рассмотрены в методических указаниях и теоретической части настоящего пособия, принимают вид:− B lυ y −ε = + Cq ;− B lυ y −ε − L dIdtL= 0;IC + I L = I.(3.18)Система уравнений (3.18) замыкается уравнением, связывающим ток I C с зарядомпластины конденсатора q (см.

рис. 3.8):dqdtIC =(3.19)и динамическим уравнением, описывающим движение перемычки, которое в рассматриваемой задаче имеет вид:dυ ym= mg + F ay .dt(3.20)Здесь Fay − проекция на ось OY силы Ампера (3.12), действующей на перемычку,Fay = I l B .(3.21)Уравнения (3.18), (3.19), (3.20) сведём в систему:ε− B lυ y −− B lυ y −=+qCε − L dIdtL,=0(3.22),IC + I L = I ,dυ ydt(3.24)dq,dt(3.25)= mg + F ay .(3.26)IC =m(3.23)Исключая заряд q из уравнений (3.22) и (3.25), получим фактически зависимостьускорения перемычки от мгновенного значения силы тока через конденсатор:− Bldυ ydt=+IC.CДалее, дифференцируя по времени t последнее соотношение, находим выражениедля производной по времени от величины силы тока через конденсатор:dυdI C= −B l C 2y .dtdt2Из уравнения (3.23) определяем(3.27)dI L:dtB lυ y + εdI L=−dtL(3.28)Дифференцируя по t уравнение (3.24) и учитывая уравнения (3.27) и (3.28), получаем:d 2υ y B l υ y + εdI dI C dI L=+= −B l C−.dtdtdtdt 2L(3.29)Дифференцируя по t уравнение (3.26), с учётом уравнения (3.21) для проекциискорости перемычки υ y получаем дифференциальное уравнение второго порядкаmd 2υ ydt2=lBdI.dt(3.30)Объединяя два последних уравнения (3.29) и (3.30), получим уравнение для нахождения υ y :d 2υ ydt 2+B 2l 2εlBυy = −.2 2L (m + B l C )L ( m + B 2 l 2C )(3.31)Заметим, что уравнение (3.31) представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, описывающеенекоторый колебательный процесс.Общее решение уравнения (3.31) имеет вид:υ y ( t ) = C 1 cos ω 0 t + C 2 sin ω 0 t +где ω 02 =−ε,lB(3.32)B2 l 2− квадрат частоты колебательного процесса перемычки.L (m + B 2 l 2 C )Для определения констант интегрирования С1 и С2 необходимо выписатьобщее решение системы уравнений (3.22-3.26), поскольку скорость движения перемычки функционально связана с остальными искомыми переменными физическими параметрами системы.

Соотношение (3.32) является частью общего решения системы уравнений (3.22-3.26). Для зависимости (3.32) очевидным условиемявляется υy (0) = 0 , поскольку движение перемычки начинается из состояния покоя. Это условие определяет значение константы интегрирования С1:C1 =εB⋅l,после чего зависимость скорости перемычки от времени приобретает вид:υ y (t ) =εB⋅l(− 1 + cos ω0t ) + C 2 sin ω0t .Из уравнения (3.22) находим зависимость заряда конденсатора от времени:q = −ε ⋅ C ⋅ cos ω0 t − B ⋅ l ⋅ C ⋅ C 2 ⋅ sin ω0t.В начальный момент времени величина заряда конденсатора должна равнятьсявеличине ( − ε ⋅ С ).

Этот результат не должен вызывать удивления: «включение»Э.Д.С. в отсутствие активного сопротивления в цепи конденсатора приводит к«мгновенному» установлению величины заряда последнего. Дифференцированием установленной зависимости по уравнению (3.25) находим выражение для величины тока I C через конденсатор:I C = ω0 ⋅ (ε ⋅ C ⋅ sin ω0 t − B ⋅ l ⋅ C ⋅ C 2 ⋅ cos ω0t ).В начальный момент времени значение тока через конденсатор равноI C (0) = −ω0 ⋅ B ⋅ l ⋅ C ⋅ C2 .Обратим внимание читателя на то, что постоянная интегрирования С2 оказываетвлияние не только на величину скорости перемычки, но и на заряд конденсатора иток через конденсатор. Рассматривая совместно уравнения (3.22) и (3.23), получаем уравнениеdI Lq,=dtL ⋅Cв котором зависимость q(t ) , ∀t определена выше, что позволяет проинтегрироватьэто уравнение:IL =BlC2 cos ω0t − ε ⋅ sin ω0t+ C3 .ω0 LОбратим внимание читателя на появление ещё одной постоянной интегрированияC3 .

Это легко понять, если заметить, что исходная система уравнений (3.22)-(3.26)содержит три дифференциальных уравнения первого порядка. В начальный момент времени ток через катушку индуктивности I L равенляется значениями двух постоянных интегрирования.B ⋅ l ⋅ C2+ C3 , т.е. опредеω0LРасполагая зависимостями от времени для тока через конденсатор и токачерез катушку индуктивности, по уравнению (3.24) получаем после необходимыхпреобразований зависимость тока через перемычку:I=m ⋅ ω0⋅ ( B ⋅ l ⋅ C 2 ⋅ cos ω0 t − ε ⋅ sin ω0 t ) + C3 .B2 ⋅l 2Начальное значение тока через перемычку равноI ( 0) =mω 0⋅ C 2 + C3 .B ⋅lТаким образом, все искомые переменные задачи определены в общем виде(с точностью до определения констант интегрирования).