Лунёва Л.А., Тараненко С.Н., Козырев А.В. и др. - Электростатика, магнитостатика, электромагнитная индукция, страница 5

Математически закон индукции в пониманииМаксвелла выражается формулой (3.2), где C − произвольный замкнутый контур,который может быть проведён и в диэлектрике, а не обязательно в проводнике,как было у Фарадея. Магнитный поток Ф определяется интегралом Ф = ∫ ( B, dS ),(3.3)Sвзятым по произвольной поверхности S , натянутой на контур С. Поэтому соотношение (3.2) можно представить в виде  ∂B ∂∫C ( E, dl ) = − ∂ t ∫S ( B, dS ) = −∫S  ∂t , dS  .(3.4)Математическая структура уравнения (3.4) такова, что оно может быть преобразовано в дифференциальную форму. В результате такого преобразования получим∂Brot E = − .∂t(3.5)Это – дифференциальная форма закона электромагнитной индукции.

Уравнение (3.4) или эквивалентное ему уравнение (3.5) – одно из основных соотношений теории электромагнитного поля. Оно входит в систему уравнений Максвелла.В электростатике источниками электрического поля являются неподвижныеэлектрические заряды. Для такого поля интеграл (E∫ , dl ) обращается в нуль поCлюбому замкнутому контуру. По этой причине одно только электростатическоеполе не может обеспечить непрерывное течение электричества вдоль замкнутыхпроводов. Напротив, электрическое поле, возбуждаемое магнитным полем, меняющимся во времени, - не потенциальное, а вихревое. Ротор напряжённостиэлектрического поля E и его циркуляция, вообще говоря, отличны от нуля.

Благодаря этому вихревое электрическое поле без каких бы то ни было добавочныхсил может вызвать непрерывное течение электрического заряда по замкнутымпроводам. Это течение и наблюдается в виде индукционных токов [4].Явление электромагнитной индукции наблюдается во всех случаях, когдаизменяется магнитный поток, пронизывающий натянутую на контур поверхность.В частности, этот поток может создаваться током, текущим в самом рассматриваемом контуре.

Поэтому при всяком изменении силы тока в каком-либо контурев нём возникает Э.D.C. индукции, которая вызывает дополнительный ток в контуре. Это явление называется самоиндукцией, а возникающая Э.D.C.ε siэлектро-движущей силой самоиндукции.Рассмотрим вопрос, от чего зависит Э.D.C. самоиндукции. Пусть жёсткийконтур находится в вакууме или в среде, магнитные свойства которой не зависятот магнитного поля. Магнитная индукция (по закону Био-Савара-Лапласа, который сохраняет силу в квазистационарных процессах, когда частота колебанийэлектромагнитного поля достаточно мала), а значит и полный магнитный поток Фполя B через поверхность, ограниченную контуром С, будут пропорциональнысиле тока I :Ф = LI .(3.6)Коэффициент пропорциональности в соотношении (3.6) между током I контура имагнитным потоком Ф , создаваемым собственным магнитным полем, называетсяиндуктивностью L контура.

Индуктивность L какого-либо контура зависит от егоформы и размеров, а также от свойств окружающей среды.Применяя к явлению самоиндукции основной закон электромагнитной индукции, получаем для Э.D.C. самоиндукции выражениеεsi=−dФd= − (LI ).dtdt(3.7)Если контур жёсткий и находится в вакууме или в среде, магнитные свойства которой не зависят от магнитного поля, то при изменении силы тока I в контуре индуктивность L остаётся постоянной, и тогда выражение для Э.D.C. самоиндукции принимает вид:εsi= −LdI.dt(3.8)В противном случае, когда последнее условие не имеет места (например,пространство, в котором расположен контур, содержит ферромагнетики), индуктивность контура зависит от силы тока, генерирующего магнитное поле, и применяющемся токе изменяется со временем.

В этом случае Э.D.C. самоиндукцииравнаεsi= −(LdIdL+ I).dtdtЗнак минус в уравнении (3.9) показывает, чтоεsi(3.9)всегда направлена так, чтобыпрепятствовать изменению силы тока – в соответствии с правилом Ленца. ЭтаЭ.D.C. стремится сохранить ток неизменным: когда ток уменьшается, она его под-держивает, а когда увеличивается – она ему противодействует.3.2. Методические рекомендации к решению задачпо теме «Электромагнитная индукция».Решения предлагаемых задач сводятся к расчёту разветвлённых цепей, содержащих элементы сопротивления, ёмкости и индуктивности. Если в предлагаемых задачах содержится всего один контур, то принципиально это не повлияет наметодику решения задачи.

Сам расчёт цепей состоит из нахождения токов в отдельных её ветвях, зарядов конденсаторов и их полярности, скорости движенияподвижной перемычки, входящей в состав рассматриваемой цепи. Для этого необходимо, в частности, воспользоваться двумя законами Кирхгофа и вторым законом динамики Ньютона. При составлении уравнения движения перемычки стоком в магнитном поле необходимо учесть действующую на неё помимо другихсил силу Ампера.Согласно первому правилу Кирхгофа, алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле цепи, равна нулю.∑Ik= 0.(3.10)kФизический смысл первого правила Кирхгофа: узел электрической цепи поопределению не обладает электрической ёмкостью, т.е.

способностью накапливать электрический заряд, поэтому весь поступающий в узел электрический заряддолжен его покинуть.При составлении уравнений по первому правилу Кирхгофа сначала произвольно выбирают направления токов во всех узлах цепи, при этом токи, идущие кузлу, и токи, исходящие из узла, следует считать величинами разных знаков, например: первые – положительными, вторые – отрицательными или наоборот, а затем, непосредственно следуя соотношению (3.10), записывают само уравнение.Второе правило Кирхгофа справедливо для любого выделяемого в цепизамкнутого контура: алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельныхучастках произвольного замкнутого контура на их сопротивления соответственноплюс алгебраическая сумма падений напряжений на конденсаторах, находящихсяв отдельных участках цепи рассматриваемого замкнутого контура, равна алгебраической сумме Э.D.C.

, действующих в этом контуре:∑ε = ∑ IiiЗдесь подεijRj + ∑jmqm.Cm(3.11)понимаются все возможные Э.D.C. , обусловленные различны-ми источниками сторонних сил (например: химическими реакциями, силами Лоренца, вихревым электрическим полем и т.д.). Следует заметить, что при практическом использовании соотношения (3.11) надо сначала выбрать положительноенаправление обхода по контуру, что определяет знаки слагаемых в обеих частяхэтого уравнения.

Кроме того, если возникает необходимость использовать велиdФ, то в этом случае надо согласовывать направление обхода по контуру сdtвыбранным ранее направлением нормали n к плоскости, ограниченной контуром.Когда направление обхода контура и направление нормали n связаны правиломчинуправого винта, тоεiв левую часть соотношения (3.11) входит со знаком плюс ив свою очередь определяется закономεi=−dФ.dtОтдельно подробнее рассмотрим влияние на электрическую цепь Э.D.C. самоиндукции катушки индуктивностиεsi= − L dI / dt, гдеL − индуктивностькатуш-ки как элемента цепи. Если электрическая цепь в задаче домашнего задания содержит катушку с индуктивностью L , то по схеме, как правило, неизвестно направление намотки витков катушки относительно выбранного ранее положительного направления обхода контура (правое или левое), тем более что для одной итой же катушки, рассматриваемой как элемент одного или другого контура, этонаправление может быть различным.

Последнее представляет определённыетрудности при использовании законаεsi= − L dI / dtв левой части соотношения(3.11).Рассмотрим правило использования данного закона в двух возможных случаях сочетания выбранного ранее направления тока на участке цепи с индуктивностью L и положительного направления обхода по рассматриваемому контуру.Первый случай (рис.3.1): направление тока I и положительное направление обхода по контуру совпадают, следовательно,⇒ +εsi= −LdIdt.Рис.3.1.Тогда Э.D.C. самоиндукцииεsiв левую часть соотношения (3.11) входит со зна-ком плюс: (+ ε si ), а последняя определяется закономεsi= − L dI / dt.Второй случай (рис.3.2): направление тока I и положительное направлениеобхода по контуру противоположны, следовательно,⇒ −εsi= −(− LdIdI)=L .dtdtРис.

3.2.Здесь Э.D.C. самоиндукцииεsiв левую часть соотношения (3.11) входит сознаком минус: (- ε si ).Формально в идее этого правила можно увидеть некоторую аналогию с правилом знаков для первого слагаемого∑IjR j в соотношении (3.11): если направ-jление тока на участке цепи с R j и положительное направление обхода совпадают,то произведение I j R j считается положительным, а если нет, то отрицательным.Итак, сумма Э.D.C. по замкнутому контуру включает в себя и Э.D.C. самоиндукции, определённую закономεsi= − L dI / dt,а учёт последнего в левой части соот-ношения (3.11) должен быть выполнен в соответствии с описанным выше правилом.