Лунёва Л.А., Тараненко С.Н., Козырев А.В. и др. - Электростатика, магнитостатика, электромагнитная индукция, страница 3

Магнитная восприимчивость χ – безразмерная величина, характерная для каждого данного магнетика. В отличие от диэлектрическойвосприимчивости ℵ , которая всегда положительна, магнитная восприимчивостьбывает как положительной, так и отрицательной. Соответственно магнетики, подчиняющиеся зависимости J = χ H , подразделяют на парамагнетики ( χ > 0) идиамагнетики ( χ < 0) . У парамагнетиков вектор намагниченности сонаправленвектору напряжённости магнитного поля ( J ↑↑ H ) , у диамагнетиков эти векторынаправлены в противоположные стороны ( J ↑↓ H ) . Кроме пара- и диамагнетиковсуществуют ферромагнетики, у которых зависимость16 J (H ) имеет весьма слож-ный характер: она нелинейная и, помимо этого, может описывать явление гистерезиса [1].2.2.Методические рекомендации к решению задачпо теме «Магнитостатика».В условиях предлагаемых задач задан ток проводимости I или распределение объёмной плотности j тока проводимости по поперечному сечению устройства, магнитное поле в котором подлежит исследованию.

Выбирая в соответствиис видом симметрии конкретной задачи контур, по которому вычисляется циркуляция, из соотношения (2.4) находим распределение вектора напряжённости магнитного поля H , а по соотношению (2.5) определяем распределение вектора магнитной индукции B по пространственным координатам. Вектор намагниченностиJ имеет вид:J = ( µ − 1) H .(2.6)В силу зависимостей (2.5) и (2.6) векторы магнитной индукции B и намагниченности среды J сонаправлены вектору напряжённости магнитного поля H .Таким образом, полевые характеристики магнитного поля определены.Плотность тока намагничивания j ' , распределённого по объёму магнетика,находим из дифференциальной формы теоремы (2.3) о циркуляции вектора намагниченности J . Плотность поверхностных токов намагничивания, текущих поповерхности раздела магнетиков, находим с помощью теоремы (2.2) о циркуляции вектора намагниченности J .

Особенности применения этой теоремы к решению подобных задач будут подробно рассмотрены ниже на конкретном примере,т.к. выбор контура интегрирования L зависит от типа симметрии и от условий задачи.172.3.Пример выполнения домашнего заданияпо теме «Магнитостатика».Задача. Проводник с током, равномерно распределённым по его поперечному сечению с плотностью j , имеет форму трубки круглого поперечного сечения, внешний и внутренний радиусы которой равны R0 и R соответственно. Магнитная проницаемость магнетика задана зависимостью µ = f (r ) , где r − расстояниеот оси трубки (рис.2.1).Рис.2.1Найти зависимости модулей векторов индукции B и напряжённости H магнитного поля, а также модуля вектора намагниченности J среды в зависимости отрадиальной координаты r ∈ ( R ; R0 ) .Определить линейную плотность поверхностных токов намагничиванияi ' пов на внутренней и внешней поверхностях трубки и распределение объёмнойплотности токов намагничивания j ' об (r ) .Решение.

Пусть для определённости заданы следующие зависимости:µ = µ (r ) =(R n + r n )2Rn, n = 2,R0 3= .R 218(2.7)(2.8)Преобразуем зависимость для магнитной проницаемости µ (r ) с учётом заданного соотношения (2.8):µ=1 r2+.2 2R 2(2.9)Рис.2.2Найдём вектор напряжённости H магнитного поля внутри трубки. По условию задачи вектор объёмной плотности тока проводимости j параллелен оситрубки (рис.2.2). Из симметрии задачи следует, что силовые линии вектора H врассматриваемом случае должны иметь вид окружностей с центром на оси трубкии лежащих в плоскости поперечного сечения трубки [1].

Модуль вектора H должен быть одинаков во всех точках на одинаковом расстоянии r от оси трубки.Для определения напряжённости поля H внутри трубки воспользуемся теоремойо циркуляции вектора H (2.4): (H∫ , d ) = ∫ ( j , ds ).LS19В качестве контура интегрирования L выбираем одну из описанных вышеокружностей радиуса rа ∈ ( R ; R0 ) , в каждой точке которой вектор H касателен кней.

Направления вектора j и вектора единичной нормали n к плоскости, ограниченной контуром L , совпадают, причём направление n связано с направлениемобхода по контуру (на рис.2.2 показано дугой со стрелкой) правилом правого винта. По теореме о циркуляции вектора H для контура L получаем:H 2 π ra =j (π ra2− πR2) ,откуда, опуская индекс a (так как ra выбран произвольно, то последнее соотношение справедливо для любого R < r < R0 ), для величины напряжённости магнитного поля H получаемH=j (r 2 − R 2 ),2rR < r < R0 .(2.10)Следует заметить, что магнитное поле внутри трубки при r < R отсутствует,а снаружи - при r > R0 - величина напряжённости магнитного поля H определяется зависимостью5 jR 2H=,8rr > R0 ,(2.11)что также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора H .

Отметим,что при переходе через границу r = R0 напряжённость магнитного поля H не испытывает скачка: по условию задачи на боковых поверхностях трубки поверхностные токи проводимости отсутствуют.Определим модуль вектора магнитной индукции B по соотношению (2.5) сучётом зависимостей (2.10) для H и (2.7) для магнитной проницаемости µ (r )магнетика:B = µµ 0 H =µ 0 j(r 4 − R 4 )4R 2r,R < r < R0 .(2.12)В рассматриваемой задаче магнетик неоднородный, но изотропный и линейный, поэтому соотношение J = χ H , где χ − магнитная восприимчивостьвещества, остаётся справедливым. Итак, значение магнитной индукции B внутритрубки при r ∈ ( R ; R0 ) определено соотношением (2.12), а снаружи при r > R0 за20висимость величины магнитной индукции от радиальной координаты B (r ) принимает вид:5µ 0 jR 2.8rНайдём модуль вектора намагниченности J при r ∈ ( R ; R0 ) по соотношениюB = µ0 H =(2.6):J = χH = ( µ − 1) H =j (r 2 − R 2 ) 2.4R 2 r(2.13)Намагниченность J снаружи трубки при r > R0 равна нулю, так как в этойобласти магнетик отсутствует и χ = 0 .

Внутри трубки при r < R намагниченностьJ тоже равна нулю по этой же причине. Ориентация векторов H , B и J в пространстве показана на рис. 2.2.Таким образом, полевые характеристики магнитного поля внутри трубкипри r ∈ ( R ; R0 ) и снаружи при r > R0 определены, а при r < R магнитное поле отсутствует.Плотность тока намагничивания j ' , распределённого по объёму магнетика,найдём, используя дифференциальную форму теоремы о циркуляции вектора намагниченности J (2.3):rot J = j ' ,а выражение для оператора rot применительно к цилиндрическим координатамвыпишем из приложения:1  ∂Jrot J =  z −r  ∂ϕ∂ ( rJ ϕ )   ∂J r ∂J z  1  ∂ ( rJ ϕ ) ∂J re r + −−eϕ + ∂z ∂r r  ∂r∂ϕ ∂ze z .Легко заметить, что в рассматриваемом примере J r = J z = 0 и(2.14)∂J ϕ∂z= 0 , по-этому в правой части формулы (2.14) только в составляющей по оси 0 z остаётсяпервое слагаемое(rot J ) z =1 ∂ ( rJ ϕ ).r ∂r21Подставляя в последнее соотношение зависимость проекции вектора намагниченности среды J ϕ от радиальной координаты по формуле (2.13) и выполняясоответствующие операции, для проекции вектора плотности тока намагничивания ( j ' ) z имеем:1 ∂  j (r 2 − R 2 ) 2r( j ')z =r dr 4R 2 r  r2 =  2 − 1 j. R(2.15)Следует заметить, что правая часть (2.15) в области r ∈ ( R ; R0 ) является величиной положительной и для рассматриваемого случая, если J ↑↑ H (для парамагнетика), векторы плотности тока проводимости j и объёмной плотности токанамагничивания j ' совпадают по направлению.Для определения линейной плотности поверхностных токов намагничивания воспользуемся теоремой о циркуляции вектора намагниченности J (2.2): ∫ ( J , d ) = I'.LПрименим теорему о циркуляции вектора J к бесконечно малому контуруABCD (рис.2.3), расположенному в плоскости, перпендикулярной оси Oz.

Криволинейные отрезки контура AB и CD представляют собой дуги окружностей радиусов R0+ и R0− , а прямолинейные отрезки контура BC и DA пренебрежимо малыпо сравнению с длинами отрезков AB и CD контура. Тогда в правой части соотношения (2.2) при вычислении тока намагничивания I ' , который пронизываетэлементарную площадку, ограниченную этим контуром, можно не учитывать ток,распределённый по объёму магнетика, т.к. его вклад в I ' пренебрежимо мал, арассматривать только поверхностный ток намагничивания, вектор линейнойплотности которого обозначим iпов' .

По этой же причине (в общем случае) можнопренебречь вкладом в циркуляцию вектора J по боковым сторонам BC и DA (а вусловиях нашей конкретной задачи (J,dl)=(J∫∫ , dl ) = 0 - ещё и по причине ортоBCDAгональности векторов J и dl в каждой точке отрезков BC и DA контура).22Рис.2.3Учитывая значимость данного вопроса, целесообразно подробно проанализировать ориентацию единичных векторов нормали и касательных направленийна поверхности раздела магнетиков для описываемой задачи (см.

рис.2.3). На рисунке введены следующие обозначения: N − единичный вектор нормали к элементу поверхности раздела двух магнетиков (в рассматриваемой задаче это поверхность раздела «магнетик- вакуум») в окрестности точки наблюдения М, t − единичный вектор, лежащий в касательной плоскости к поверхности раздела в точкенаблюдения, а единичный вектор ν лежит также в этой касательной плоскости иявляется ортогональным к вектору нормали N и выбранному касательному направлению – вектору t . Легко заметить, что в условиях рассматриваемой задачивектор ν перпендикулярен плоскости элементарного контура ABCD и обуславливает положительное направление обхода этого контура, циркуляция вектора на23магниченности J по которому лежит в основе вывода локального соотношениядля касательных компонент вектора J на границе раздела двух магнетиков.