Лунёва Л.А., Тараненко С.Н., Козырев А.В. и др. - Электростатика, магнитостатика, электромагнитная индукция, страница 2

1.2) и направлением внешнейнормали n к элементу ds поверхности S ; заметим также, что модуль вектора D вкаждой точке выбранной произвольной поверхности S является постоянной ве-9личиной. Поэтому из интегральной формулировки теоремы Гаусса (1.6) для вектора D ∫ ( D, ds ) = ∫ D ds =q,nssгде ds = r 2 sin θ dθ dϕ = r 2 dΩ , dΩ − элемент телесного угла, под которым из началакоординат виден элемент поверхности ds , с учётом Dn = D(r ) и S = r 2 Ω = r 2 4π , вынося D (r ) из под знака интеграла и выполняя интегрирование, получаемD(r )4π r 2 = q .Зависимость D (r ) определена:q,( R < r < R0 ).(1.19)4π r 2Найдём зависимость напряжённости E (r ) электростатического поля междуD(r ) =обкладками конденсатора.

Связь напряжённости и электрического смещения дляизотропных и линейных диэлектриков имеет вид (1.9):D = ε 0ε E ,откудаE (r ) =D (r )ε 0ε=q.4π r 2 ε 0 εС учётом соотношения (1.18) для диэлектрической проницаемости среды ε (r ) зависимость E (r ) можно записать так:E (r ) =q (82 R 4 − r 4 ),324 πε 0 R 4 r 2( R < r < R0 ).(1.20)Найдём зависимость поляризованности среды P (r ) между обкладками конденсатора.

Для линейных и изотропных диэлектриков связь между векторами P иE имеет вид (1.8):P = ε 0ℵE ,откуда с учётом зависимости напряжённости электростатического поля от радиальной координаты (1.20) получаем распределение поляризованности среды P (r )между обкладками конденсатора10P (r ) =q (r 4 − R 4 ),324 π R 4 r 2( R < r < R0 ).(1.21)Заметим, что вектор поляризованности среды P совпадает с направлением радиус-вектора r , откуда следует, что тангенциальные проекции вектора P обращаются в нуль ( Pθ = 0, Pϕ = 0), а радиальная проекция Pr (r ) определена зависимостью(1.21).Рассмотрим вопрос об определении поверхностной плотности связанных зарядов на внутренней и внешней поверхностях сферического слоя диэлектрика,расположенного между обкладками конденсатора.

Под действием электрическогополя, созданного сторонними зарядами q и − q , находящимися на обкладках конденсатора, диэлектрик поляризуется, и в результате поляризации на внутренней ивнешней поверхностях диэлектрика появляются связанные заряды. Вопрос о возникновении объёмных избыточных связанных зарядов рассмотрим ниже.Для определения поверхностной плотности связанных зарядов на внутреннейи внешней поверхностях сферического слоя диэлектрика, расположенного междуобкладками конденсатора, воспользуемся соотношением (1.13).

В рассматриваемой задаче на внутренней поверхности (обозначим её индексом 1) диэлектрикавекторы P1 ( R + ) и n1 в любой точке поверхности направлены противоположно(рис.1.2), поэтому знак поляризационного заряда отрицательный, что естественносогласуется с механизмом поляризации диэлектрика. В данном примере для заданной зависимости ε (r ) имеем ( P1 ( R + )) n = 0 , откуда следует, что поверхностная1плотность связанных зарядов равна нулю: σ 1' = 0 . На внешней поверхности 2 диэлектрика векторы P1 ( R0− ) и n2 в любой точке поверхности сонаправлены, поэтомузнак проекции ( P1 ( R0− )) n положительный, а поверхностная плотность связанных2зарядов отлична от нуля:σ 2 ' = ( P1 ( R0− )) n =220q.729πR 2(1.22)Для нахождения объёмной плотности ρ ' избыточных связанных зарядоввнутри сферического слоя диэлектрика между пластинами конденсатора воспользуемся теоремой Гаусса (1.4) для поля вектора P в дифференциальной форме:11div P = − ρ ' ,т.е. дивергенция поля вектора P равна с обратным знаком объёмной плотности ρ 'избыточного связанного заряда в той же точке.В рассматриваемой задаче между обкладками конденсатора находится изотропный, но неоднородный диэлектрик, диэлектрическая проницаемость которогоизменяется только в радиальном направлении по закону (1.18):ε (r ) =81R 4,82 R 4 − r 4где r − расстояние от центра сфер.

Заметим, что вектор поляризованности среды Pимеет единственную отличную от нуля компоненту Pr , которая зависит только отрадиальной координаты r . В этих условиях естественно ожидать, что и объёмнаяплотность избыточного связанного заряда внутри слоя диэлектрика будет такжефункцией только радиальной координаты r .Для расчёта объёмной плотности связанных зарядов ρ ' с помощью теоремы(1.4) воспользуемся выражением (4.2) из приложения для оператора div применительно к сферическим координатам:div P =1 ∂ 211 ∂Pϕ∂(r Pr ) +( Pθ sin θ ) +.2r ∂rr sin θ ∂θr sin θ ∂ϕ(1.23)Из соображений симметрии ясно, что поляризованность диэлектрика в данномслучае зависит только от радиальной координаты и не зависит от угловых координат, и это подтверждено результатами расчётов (1.21), поэтому у нас в правойчасти выражения (1.23) остаётся только первое слагаемое:div P =1 ∂ 2(r Pr ) .r 2 ∂r(1.24)При вычислении производной в правой части соотношения (1.24) учтём, чтоPr (r ) = P(r ) , а зависимость P (r ) определена соотношением (1.21).

Тогда для дивер-генции вектора поляризованности среды имеем:divP =qr,81π R 4откуда в соответствии с (1.4) для объёмной плотности связанных зарядов ρ ' получаем12ρ ' (r ) = −qr.81π R 4(1.25)Сделаем проверку полученных результатов. Для этого найдём суммарныйсвязанный заряд диэлектрика по зависимости (1.14), используя при расчётах найденные соотношения (1.25) и (1.22) для объёмной ρ ' (r ) и поверхностной σ ' (r )плотностей связанного заряда:R0qrq' = ∫  −81πR 4R 20q 2ds .4π r dr + ∫ 2 π729Rs(1.26)В (1.26) первое слагаемое в правой части учитывает суммарный связанный заряд,распределённый по объёму диэлектрика, второе слагаемое - суммарный связанный заряд, распределённый с постоянной поверхностной плотностью σ 2 ' повнешней сферической поверхности диэлектрика радиуса R0 = 3R .

Здесь также учтено, что на внутренней поверхности диэлектрика в данной задаче связанный заряд отсутствует.Проведём расчёт по формуле (1.26):q   (3R ) 4 R 4 20qq' =  −4π−+(4π (3R ) 2 ) = 0.4 2ππ81R44729R Это подтверждает, что зависимости E (r ), D (r ), P (r ), σ 1' (r ), σ 2 ' (r ), ρ ' (r ) найдены верно.Найдём электроёмкость C сферического конденсатора с радиусами обкладокRи R0 .

Согласно определению ёмкости конденсатора ( C =q) задача сводится кUопределению разности потенциалов U при заданном заряде q :R0U = ϕ ( R ) − ϕ ( R0 ) = ∫ E r (r )dr ,(1.27)Rгде предполагается, что внутренняя обкладка имеет заряд q > 0 , а путь интегрирования может быть любым, и мы выбираем самый простой и удобный – по радиальной координате. Легко видеть, что радиальная проекция вектора напряжённости электрического поля Er (r ) = E (r ) является единственной проекцией векторанапряжённости электростатического поля, а зависимость E (r ) определена соот13ношением (1.20). После подстановки зависимости (1.20) для E (r ) в соотношение(1.27) и соответствующего интегрирования находим напряжение между обкладками конденсатора и его ёмкостьU=23q,162πε 0 RC=162πε 0 R.23(1.28)Полученное значение электроёмкости C сферического конденсатора определеноверно, если оно удовлетворяет соотношению (1.16)CU 2= ∫ wdV ,2VCU 2− энергия заряженного конденсатора, а в правой части - эта же величина,2 ( E , D)только она записана через полевые характеристики: w =− объёмная плот2гденость энергии электростатического поля, V − объём, в котором локализовано электростатическое поле в конденсаторе.

Итак, проверим, удовлетворяет ли полученное значение C соотношению (1.16). Используя зависимости (1.19) и (1.20) дляD (r ) и E (r ) и выполняя соответствующее интегрирование в правой части (1.16),получим:3Rq q(82 R 4 − r 4 )23q 22∫ wdV = ∫R 4πr 2 324πε 0 R 4 r 4 4πr dr = 324πε 0 R. .VРасполагая зависимостями (1.28) для разности потенциалов U и электроёмкостиC , вычисляем значениеCU 2и убеждаемся в равенстве правой и левой частей со2отношения (1.16). Это позволяет утверждать, что полученная зависимость дляэлектроёмкости C сферического конденсатора найдена правильно.142.МАГНИТОСТАТИКА2.1. Основные теоретические сведенияТеорема о циркуляции вектора магнитной индукции B в магнетике:циркуляция вектора B по любому замкнутому контуру L равна произведению алгебраической суммы всех токов (как токов проводимости I , так и токов намагничивания I ' ), пронизывающих произвольную поверхность, натянутую на контур L ,на магнитную постоянную µ0 : '(B∫ , d ) = µ 0 ( I + I ).(2.1)LТок считается положительным, если его направление связано с направлением d обхода по контуру правилом правого винта, ток противоположного направ-ления считается отрицательным.Теорема о циркуляции вектора намагниченности J : циркуляция вектораJ по любому замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов намагни-чивания I ' , пронизывающих произвольную поверхность, натянутую на контур L ,т.е.

'(J∫ , d ) = I ,(2.2)Lгде I '− суммарный ток намагничивания (как объёмный, так и поверхностный).Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора намагниченности J :rot J = j ' ,(2.3)т.е. ротор вектора намагниченности J равен объёмной плотности тока намагничивания j ' в той же точке пространства. Общее выражение для оператора rot вортогональных криволинейных системах координат приведено в приложении (см.формулу (4.3)).Исключив в (2.1) ток I ' с помощью (2.2), сформируем вектор напряжённости магнитного поля:15 BH=− J,µ0циркуляция которого по любому замкнутому контуру L зависит только от алгебраической суммы токов проводимости I , пронизывающих произвольную поверхность, натянутую на контур L : (H∫ , d ) = I .(2.4)LЗаметим, что воспользоваться соотношением (2.4) на практике можно только в том случае, если рассматриваемая физическая ситуация обладает достаточновысокой степенью симметрии.Если магнетик линейный изотропный, не обязательно однородный, то имеют место зависимости для вектора намагниченности средыJ = χH ,где χ − магнитная восприимчивость вещества (она не зависит от вектора напряжённости магнитного поля H ), и вектора магнитной индукции:B = µ 0 (1 + χ ) H = µ 0 µ H ,(2.5)где µ = χ + 1 − безразмерная величина, называемая магнитной проницаемостьюмагнетика.Последнее соотношение имеет место только для таких магнетиков, у которых однородная зависимость между вектором намагниченности J и вектором Hимеет линейный характер.