Лунёва Л.А., Тараненко С.Н., Козырев А.В. и др. - Электростатика, магнитостатика, электромагнитная индукция

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Э.БАУМАНАМетодические указанияЛ.А.Лунёва, С.Н.Тараненко, А.В.Козырев, В.Г.Голубев, А.В.Купавцев.Электростатика. Магнитостатика.Электромагнитная индукция.Методические указания к выполнению домашнего заданияпо курсу «Общая физика».Издательство МГТУ им. Н.Э.БауманаАННОТАЦИЯна методические указания к выполнению домашнего задания по курсу «Общая физика» по темам: «Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитная индукция.» авторов Л.А.Лунёвой, С.Н.Тараненко, А.В.Козырева, В.Г.Голубева,А.В.Купавцева.В методических указаниях изложены методы решения задач по фундаментальным разделам курса общей физики.

В каждом разделе приведены необходимые краткие теоретические сведения, содержащие фундаментальные утвержденияв виде теорем или обобщений, а также разобраны решения типовых задач, где показывается, как, по мнению авторов, надо подходить к их решению.Методические указания предназначены для студентов второго курса третьего семестра обучения всех специальностей и будут полезны для углублённого изучения указанных разделов курса общей физики.Под редакцией д.т.н., проф. А.М. Макарова.21. ЭЛЕКТРОСТАТИКА1.1.Основные теоретические сведенияТеорема Гаусса для вектора напряженности электростатического поля E вдиэлектрике.Поле вектора E в диэлектрике обладает замечательным и важным свойством:поток вектора E сквозь любую замкнутую поверхность S равен алгебраическойсумме зарядов (как сторонних q , так и связанных q ' ) , охватываемых этой поверхностью, делённой на ε 0 , т.е.

1'(E∫ , ds ) = (q + q ) ,(1.1)ε0Sгде вектор ds = n ds , n − нормаль к элементу поверхности ds , внешняя по отношению к объёму, охватываемому поверхностью S , а кружок у интеграла означает,что интегрирование проводится по замкнутой поверхности S . Уравнение (1.1) ивыражает теорему Гаусса для вектора напряженности электростатического поляΕ в диэлектрике.Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора напряженностиэлектростатического поля E в диэлектрике:div E =1ε0(ρ + ρ ' ) ,(1.2)где ρ и ρ ' − объёмные плотности сторонних и связанных зарядов в той точке, гдевычисляется div E . При использовании теорем (1.1) и (1.2) для вакуума следуетучесть, что в этом случае q ' = ∫ ρ ' dV = 0 и ρ ' = 0 .VТеорема Гаусса для вектора поляризованности среды P : поток вектора Pсквозь любую замкнутую поверхность S в диэлектрической среде равен взятому собратным знаком избыточному (может быть, суммарному) связанному заряду диэлектрика в объёме, охватываемом поверхностью интегрирования S , т.е.

∫ ( P, ds ) = − q .'S3(1.3)Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора поляризованности среды P :div P = − ρ ' .(1.4)Общее выражение для оператора div в ортогональных криволинейных системахкоординат приведено в приложении, расположенном в конце методических указаний.Если выразить заряд q ' через поток вектора P по формуле (1.3) и подставить его вуравнение (1.1), то выражение (1.1) можно преобразовать к следующему виду: ((εE∫ 0 + P), ds ) = q .SВеличину, стоящую под интегралом во внутренних скобках, обозначают буквойD и называют вектором электрического смещения или просто вектором D . Такимобразом, построен вектор D : D = ε 0 E + P,(1.5)поток которого через любую замкнутую поверхность S зависит только от стороннего заряда q, находящегося в объёме, ограниченном поверхностью интегрирования S .Теорема Гаусса для вектора электрического смещения D : поток вектораD сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумместоронних зарядов, охватываемых этой поверхностью, т.е.

(D∫ , ds ) = q.(1.6)sЗаметим, что свойство (1.6) поля вектора D оправдывает введение этого вектора:во многих случаях он значительно упрощает изучение электрического поля в диэлектриках [1].Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора электрическогосмещения D :div D = ρ ,(1.7)т.е.

дивергенция поля вектора D равна объёмной плотности стороннего заряда втой же точке.4Если диэлектрик линейный и изотропный, то вектор поляризованности диэлектрикаP = ε 0ℵE ,(1.8)где ℵ − диэлектрическая восприимчивость вещества - скалярная величина, не зависящая от величины вектора напряжённости электрического поля. Подставив зависимость (1.8) в соотношение (1.5), получимD = ε 0 (1 + ℵ) E = ε 0εE.(1.9)Безразмерную величину ε = 1 + ℵ называют диэлектрической проницаемостью диэлектрика.1.2.Методические рекомендации к решениюзадач по теме «Электростатика».В условиях предлагаемых задач, как правило, задан (явно в виде q или неявно в виде разности потенциалов) сторонний заряд на обкладках конденсатора.Выбирая поверхность интегрирования в соответствии с видом симметрии каждойзадачи, по теореме Гаусса (1.6) находим вектор D в зависимости от пространственных координат, которые для каждого рассматриваемого случая могут бытьразличными: либо декартовы ( x, y, z ) , либо сферические (r ,θ , ϕ ) , либо цилиндрические (r , ϕ , z ) .

Ниже будем рассматривать сферически симметричный случай, поэтому определяемые величины будут зависеть только от одной пространственнойкоординаты – радиальной координаты r.Далее из соотношения (1.9) определяем зависимость вектора напряжённостиэлектростатического поля E от радиальной координаты в диэлектрике:E (r ) =D(r ).ε 0ε (r )(1.10)Вектор поляризованности P связан с вектором напряжённости электростатического поля E соотношением (1.8), поэтомуP(r ) = ε 0 (ε (r ) − 1) E (r ) .5(1.11)В результате поляризации среды в диэлектрике возникают связанные заряды с объёмной плотностью ρ ' , которая определяется из соотношения (1.4). Следует заметить, что объёмная плотность избыточных связанных зарядов внутриоднородного диэлектрика будет равна нулю, если внутри него отсутствует объёмная плотность сторонних электрических зарядов ( ρ = 0 ). В неоднородном диэлектрике ( gradε ≠ 0) к описанному условию необходимо добавить условие E = 0 [1].В нашем случае ρ = 0 , поэтому появление ρ ' обусловлено неоднородностьюдиэлектрика и наличием напряжённости электрического поля между обкладкамиконденсатора.В результате поляризации среды на границе раздела диэлектриков или награнице раздела диэлектрик – вакуум могут появляться также и поверхностныесвязанные заряды.

Связь между поляризованностью среды P и поверхностнойплотностью σ ' связанных зарядов на границе раздела диэлектриков имеет вид:P2 n − P1n = −σ ' ,(1.12)где P2 n и P1n - проекции вектора поляризованности P в диэлектриках 2 и 1 на общую нормаль n к границе раздела в данном месте (вектор n проводят из диэлектрика 1 в диэлектрик 2). Из соотношения (1.12) следует, что на границе разделадиэлектриков нормальная составляющая вектора P испытывает разрыв, величинакоторого равна зависящей от свойств диэлектриков поверхностной плотности σ 'связанных зарядов. Если среда 2 является вакуумом, то условие (1.12) приобретает более простой вид:σ ' ( M ) = Pn ( M ) ,(1.13)где M − точка, находящаяся на поверхности диэлектрика, а Pn − проекция вектораP на нормаль n , внешнюю по отношению к занятой диэлектриком области.

Знакпроекции Pn определяет и знак поверхностной плотности σ ' связанного заряда вданной точке.Далее необходимо найти суммарный связанный заряд диэлектрика:q ' = ∫ ρ ' (V )dV + ∫ σ ' ( M )dS .VS6(1.14)В соотношении (1.14) первое слагаемое учитывает суммарный связанный заряд,распределенный по объёму диэлектрика, второе слагаемое - суммарный связанный заряд, распределенный по всей поверхности рассматриваемого диэлектрика.Заметим, что значение q ' в (1.14) должно быть равно нулю. Этот факт используется для проверки полученных результатов.Для нахождения электроёмкости C конденсатора необходимо определитьразность потенциалов между обкладками:R0U = ϕ (R) − ϕ (R0 ) =∫(E , dr ) .RТогда по определениюC=q,U(1.15)где заряд q соответствует поверхности конденсатора, потенциал которой равенϕ (R) .

Под зарядом q конденсатора имеют в виду заряд, расположенный на поло-жительно заряженной обкладке.Замечание. Полученное значение электроёмкости C конденсатора определено верно, если оно удовлетворяет соотношениюCU 2= ∫ wdV ,2V(1.16) ( E , D)где w =− объёмная плотность энергии электростатического поля, V − объём,2в котором локализовано электростатическое поле в конденсаторе.1.3. Пример выполнения домашнего заданияпо теме «Электростатика».Задача.

Радиусы внешней и внутренней обкладок сферического конденсатора равны R0 и R соответственно. Заряд конденсатора равен q . Диэлектрическаяпроницаемость среды ε между обкладками изменяется по закону ε = f (r ), гдеr − расстояние от центра сфер(рис.1.1).7Рис.1.1Найти распределение модулей векторов электростатического поля: электрического смещения D , напряжённости E и поляризованности P в зависимостиот радиальной координаты r ∈ ( R ; R0 ) .Определить поверхностную плотность связанных зарядов на внутренней σ 1' ивнешней σ 2 ' поверхностях диэлектрика, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ ' (r ) и электроёмкость C конденсатора.Выполнить проверку полученных результатов.Решение.

Пусть заданы следующие зависимости:R0 3= ,R 1ε (r ) = R0 n /( R0 n + R n − r n ) , n = 4 . (1.17)Преобразуем зависимость для диэлектрической проницаемости ε (r ) с учётом заданного соотношения R0 = 3R :ε (r ) =(3R) 481R 4=.(3R) 4 + R 4 − r 4 82 R 4 − r 4(1.18)Расчёт характеристик электростатического поля начнём с определения вектора электрического смещения D (r ) между обкладками конденсатора.8Рис.1.2.Пусть сторонний заряд q > 0 равномерно распределён по внутренней обкладке.

Воспользуемся теоремой Гаусса (1.6): (D∫ , ds ) = q.SРассматриваемая задача обладает сферической симметрией, поэтому в качестве поверхности интегрирования S выбираем сферическую поверхность произвольного радиуса R < r < R0 с центром в начале координат, которая на рис.1.2 изображена пунктиром. Так как поле вектора D сферически симметрично, то в каждой точке поверхности S направление вектора D совпадает с направлением радиус-вектора r точки наблюдения (точка А на рис.