Дубограй И.В., Дьякова Л.Н., Скуднева О.В. - Степенные ряды, страница 3

Прежде чем приступить к дальнсйцзсму рассмотрснщо, напомним некоторые свойства элементарных функций и формулы, их связывающие: соя(а~(3) = сояасоя()~я!па' щд)3: Я" (а!5-(з) =-я!засЩ+сйащ. с!а (О. ~ ()) = ейас15() ~яйаа!Э(),' .: ':,'.;:;:.".,",;;.';-;::;-'::;,!-':;~~-"~~~~ Гпа, аа " 'имер '3 Р"з"" ить ф -" Лх) = 1-. Ряд Таи~~:-:,"..'="=,'-. стсцсням (х — 2) с помощью основных разложений, '' .".' -,,:~."~!!'-': ~::.':,''~:;,~',", вс53сьз 'За!за'Зу о разложении в ряд Тейлора к р ~ло~~ф„::."з~~"~~~~' МВК33331ЭСНЗЗ, ИСНОЛЬзуя ЗаМЕНу ПЕрЕМЕННОй;, ' . ': и;,';,":!',;;-':;.;~'",Га~"';ф~ ! !Рсаао(за!ау ем '!!а 3)ау нкцню (см. (3 13), где» вЂ” )! ' '; "-,".-''-'::,',:~::",'-'~(~5~'";;:,"~Ф ( 2) " ':4'.и( .:".''':ха! -": ~~а"':, 5, (п2+ ~ ( — 1)"+'.' 11'айда!И ООЛаетЬ СХОЗЗИМОСти ряда Кданн(ф:фф)цифра (»-2), '".'::,:::-'':':.": ':х .ксан!я 13.33! Имеем — 1 < — <! =ь -! < 'С.'!)-а)ЗЗФ."' °- .! .

2 ':.,"','ь ик) Граазанзааааа! примеры 3.2 и 3.3, видим, чтодаинэ~.:Ф,. „,, ляс ! полу и ггь результат более рациональйр,:;,:,;:;";,':.;,;:;:;.;"'1!~~. !!Ример 3.4. Разложить функцию ЯХ)':-;.".~14 ЗГ сх К!!К И В ПРЕДЫДУЩЕМ ЗЗРИМЕРЕ,ЛСВЕДЕМЯЗЗи313~~~,, 1'сйлора к разложению в ряд Маиклориейага;й,' мены: сов Зл- ==, =.С0$3;.-:~1+У':~ 2 . я(п(а35()) .— — эапасоэ~~ соэисйп() ~жни„,.

Ьило)кззм ко(3,4), счнткии 3! зп ! ! Иизи3Л н - И)Н3! . ~ ( !)и и 0 Облисз ь сход!!мое ! и !ни!зос '!си!и1! о нилл !з! -: ! ° ) .'и ! !' .; ! ) Й)и!мер 35. Ризложи!н !)!уикии!о ! Л) Зз!Кнн!см син (2!! ж)!з2с- и мн?! сои ! и О!з../" !и . " !з!и,'з! соз з!) ! Далее, иснользуи ))л!! и ! !.у!, счи!ли ! 2!, !нс!у н! си з!2 — (и)н 2! — сои 2! ) 2 2. ! !)" 6!и ! ! !! )2и Ъмсснм, чго и иолучс!и!ом рлон!Кси!и! и)иксу и. !нун~! н! с с!сйейй 2! Клинили с ну!!сно!!. ! Роиро6усм !и!!сивин! ! н и!и! Ри и! и !»ин! аИди 2, С"и(2!)и ~4~.~н(, л (2!)'"' "-; „)2!) ч") .:-'-":"-;-':::::~';;".;'::::::::,'.;.;"':;;.,М ( 2 (2!) (2!) !2!) ' (:з!)' фууз"':-:";.':.! )ф: ".

'.~)"Ф ~~2 ! .(2!) "з:(2))3'-:-':ш~~~.'„' /$ ~„3) Ф с лик' ! '-~). ! !ни!!ииизм, чзо миож!!!ел!- (- )3 "з." 'Юф::()4: чсрсл нонне ивков через лнл члс!зз! р~.":::::'-!-,:::,~;-'":-.":~;:::;,' ! 1 ример 3.!н Рн!лизки! ! функ!!и!и Я4)у $~~(ф+~,. иим !! !) ))лзсси! )( ) (! !!)' (! х-! ) и',. ()+Я) "'ф~~~~з ' Д!,!сс, исиолн!уи формулу (3;3) й'иф~" 'и!см 'зч и ( .'фф ! )олу инличисся три рл))а ИМФй~: !!,!! Рсо6 разуем резулиМ, ВЬМйф,',„, С!НМи ИМ!!СКСН!так„'ЧЗЮ6ЬЙ) ко!и !ми, длй этОГО'Ф еМ))у)!)й~ з!!меиим и Ф ! ййи; СУм)зз))); .:,Ф'''':-:-': ' , с/с//с///// на ншля с / . 13ыч//елим са43 увсехтре ', // / / с.

/// н таемце с меныним/ ° и / стс//си я м /к к ! "~.—,-) ( ' к-.22 /' /" к х(., (н — ! )! 2п к с / ! /// 4'6/ //, ) /Г !н х б /-.;.; с~) Приа/ер 37, 1/т/ъ/я //~/ фь/и /ню/ у/1) /ю с/с//аням т-,х- 6 (х — ! ). Писем () ~ х-! ../ 5/, 5 Дх)— / х../ ! ///3/--1 5/ + 5 -"-!'::.1$ (/ ! 3/ 4 (/ 1)(/ (/--!) (/-1 4) '::;::,с ,"'4 Представим нолучснну/о дробь в в//,/с суммы простых л(/сбей 5//5 А мевдом неопределенных ко/фф//////с/по/н -- ---- — — +,": .1)(/ /4) /-1 В (А-1В)/+(4х!-Ц ) Л ! // 5 ( А 2 И /+4 (/ 1)(/.,4) ( 4А // 5 ( И 3 у фу !ию можно нрс /с/авнь в в/ою /(х) = ! '"4 /+ 4 '-':" помощь/о (3.1()) //олу ч//и - — 2— Далее, с п 2 ! '.Я„ Х Так как (/( Гс — 1<х.-.1<! ь Л//ало/ нчно, !3'*( 41 / 4„с 4 ~ / Гак как! -- < ! ; (! : 1 .:. 3 .; х .4 Око//ч///с//ь//о 3(1 !)" /Убы//с/ь сколи .т х /! (О;2) 11!/и мс1/ З.Я.

Ра Ис/ю/н /Р! (3.9 /(х) . (11 ! — 1уЗ(--4/3) о/ — 1,/.. ( -4,/3 1, область око/тимоФтиб Фтсих/:..(!))/3(а(!;~..:;~м!хь ' 0 < х < 2. ю (3,10), считая х '=' ' '-,:,',-ио((унйй.""'"-'::".""--."'-':: 4 " -;, 4+1'3';-'~':.Я ' -1)" /" - (-1)".3/(х 1)".;;,: '::!:;::,',:!:,,';-::,;:.";-:!:',".:=';--. , область скодимости атосе рвща/-":;(,"~,, — — -2 Х (х;,: 1Х'-;:,:+,:-':;:~~»', '- чос/и полу /сино/о ря/!/1 х Ф'ба)0!йха/ ' ьюж/// ь функ/!///оДх) =='-, "' .""4Ф~;:.

-.„.. ), //р/и/имая п/ --- - -, х -/,'ИМАМ;;;!:",;=',".~т ),' 1,, х, 1:;.1,+,"Д! х — ! /3(.-4/3)('-",.7:,3~"" ) ( 7/3) ° " ~ — — 'т/+ ):.~:-'~.'-:";;"'-:-' (- )"-- л 7 .. (3л -- '-') з4лг! ! / и , испи!зги ряда !'Ри '" Область схолимосги !толу !си 3 « — ! =~ хг:. 8 ~ та Приз!ер 3.9. Рязлоткигь фзигииио /(з) (и л з~ . - ! Ыаклорсиа. ит Р(з!сея! /(з) (и (л ! зу! ! гг) (! з'! ! .з.г (и,, !т! ! и !ик!и ря.! чоьх!го !гои.юии! ии!сгрироиг» (апоян!им, !то с!слюн в ооласти схолимос! и, !мос!и Ргг!!изя!ия! с !кгч!ильи! формулы (з.9) лля я! =: - (,'2 в ряг! Ыггкгк>(зс!и! фу!во!иго /!(т) -.—:.: =:.:, а загсм, проинтегрировав иолу'юли!й рял, !ко!3 и!ч (злзлогксиис исходной функции: 1) !.л*!!' ,) !.''!' „! 3 5 (2л .!)гг ='+ Х(-!) ---- „---- ' —, -! «.' ! -; (т!< !. ь=! 2 и.

'! ь Далее 7(х) = )и (х !- Згг! Р !З) / о х — ! гз-( (, ! 3 .(2л-.!) о ь.! и. . =-х+,':~', (:ц»'"» ~~'::.'~~44,:;"з Область сходимости полученного рядд'г-'ь<'.:,':::::~:: ";х ' -"" я." Фн Задании дда сааяоеггоа5(адд(пефу !. Разложить лап и ые функции в, рядььпрд~зЗ((~уф~М,'-: ти области сходимости полученньгхз рядб~'„::.':::"."-;:,."."-',:=:;::.",",.';;:;.'г:"5! отис'г; а) 2, — - — — —, х Я(-", ~;-,:,ф"„.~~~:.ь'-'„'~~- 2) 7"(х) --= )и (4+ хг), хо = 0; огвст; (и4+ 2, — х ",хбР;,;Й'а)'-.::г!!!ат,'.",!я"т . 3) 7'(т) == )и (хг — 4х+ 8), хо =„.Ё„','„:::;:-;::„:) .;:!:::;-:;!;-'.--:"'~"д' огас!: )и4+ ~ — (х-2):":;~х-6ф'-",„Ф~ л 4" 4) г(г) =:. )и (хг + 5х+,б), хо =.„',"1)('.';",'::;:;;',,~ото.г'..

л=! б) 7(х) =-; хо:.'=,':Р~:,.":,';;:,;::;-::::::!."""" ! ~-,!)",1.':Э;~~~~' ответ: — 2; у'3 л=!' '„..;:,:-„'-",";-на 7) Ях) = з,'а);Фр Ч' Х !. аз,, ! 8) лоб == 1!„. ы Лсйбиица слсчус1: зрсоуст построения /)! 1 — 11 — !!ч ~~ — — -- 1Я 1!! 1 — 11 »1 — 1!!д > Ое.!4 1- ! 1!"' г л- .1 чс1т)л иитс!.рировани с жизь в рял Чаьзорсий и 1ьаз иь онщс!ь сч11ичоь1и, .г«х) =. агс!ях. в: --- — -:- -- ., т с' 1-. 1; 11, 'е:с"'-1! ! 1 4. ПРИ!ь1!ИЖЕННОЕ В!э!'П!С.!!ЕНИЕ ОПРЕЙТЕ.!П,"ПН!т!Х ИН!'Е!'РА.."!ОВ П!'И ПОМОЩИ Г!'1:ПЕННИ!1 Р5!ЛОВ Ч ЛЫ !К ЧСЧ З!' Г411Ь ВЬ1'ИКЛС1И! С Многие оирс:1слсииьк ни Га ра 1и к иомощыо форч1.1ы 11ькноиа .'!с1в ьч 1., ! и и, 1ак к;1к исрвоооразиая не всегда выражвс1ся в асчси1ариык фз1п !и!як !', зи! нольиггсгральная функция рва!иас! я в !агапкой!я 1,; 1, '., ' з !" 1Я, и И !С.!С.И1ИЬИС11Н1- роваиня приналлсягаг оол;к1и сч!ли1нк!и .1!о!1! ря;ы, 1о оирсдсленный нн1с1рв.! чов!иы вы икли1ь ир!и> гижаи1о, Приолюксннос в1ич1клаик с1ччы.'~ сколяик1ося ик !оного ряда связано с оценкой ио1рапиос1и.

лои! скасмои ири кача!с суммы ячасзичнойсуччой л'„:.К з о„.~',, Е,: '!'-= Л',. с 1очиос1ыо (! Оценив остаточного члсии !!„1ислоио! о риля Для зиякочерсдующихси рядов из 1сорсм „, ф-Бя1=- ф,1<,'о„1,1. Д11я зяакоиостояииыя рядов оно!ига й„ вЂ” зиажориру!ощей геометрической прогрессии: АЮ =' ОЛ4, ! +О„.! З+... < й!-, 61!! 4 ЬИ!"' П ри мер 4.

!.: Вы йислить з ьгг411~~». у .'я я~~+,, ..!"';"чб .О.ОО1. разложим иоды11тегральиуитф '~'"„""'„.":.®~~!!"'~~ 11олу чили знакочсредущвсийся;:.~Щ!В-" ичсс! вил — 1 .= -- < 1 =ь -2 <ьт,.'"," ~„:; нрииаг!лсзк1г! области сходимботй';:~оо41йя(о можно интсгрироваззи ! /й-Ре ='.~(!З' — ',::-/:::.,"-'::,' ~ '.3,'-ж"-'.; " ..... е «-цл-'.~",.~.:-:;:::.':,-,',"::~'* + !.,:э.=-~е.'- ", .4'; ...:, ':":;:*!~меч "; !„,«фф$ 5 !ую 4 (л ) 3)' !,ОЛ ! 5) ц ) 5 .

е ю!)(-' 50" !;л 1 !) Ол ! 3)!Ол ' )Ол ! 4) (Ол )-51 5 [, '50ш! 1'.' /1-" 3 1 г4/ 3.1 Л! О)13!' 'Г" '"'.')[ ( ) Лг)егргиши !еоче!р!и!еек)!о иршреее!Но. ! ш, ! 1. / — . 1 /, 50 1/1 3 5 .",и. 5 (к 50" ' (и ) ! )! ' < 3 5 13л — 11 ~ 1 31 5' 1О' (и;.1) 50" (и !-1)' 34 / 100 ! 3 " 1 "л . 1) "4 5 4 Лри л = 1 неравенство !!еги!ию: - - '; 1. 1 10 а! 1 Ответ: ! = - ! —:- - ! - — = О,'01; /Г, . б) 5 5 5 75() 0,001. Задании длн самосто)пс:н,иой работы С точносг!~к! до 0,001 вычислить ег!ить ии !е! !н!/!ы: г/х ) ~ -; — =--.-'„ответ: О,!67; хг! '-х~ о Выясним, ири кокон !иииеиьшси и вы!и!.вше!ея !Ршювши!с /7„< 11: !/ /' агс!йх -) / — -----г/х; ответ: 0,4а7 о ! 3) /'к!их'г/х; отве! = 0 3!О о б.

Ш'ИМГИКИИр. рядО~~~~"'""" ДИ ФФЕРЕН цИд, щццу~щ ". 54е!'ол восле/)овательного диффга~~'. ея лля нзхоьклсния частного решеййв/~ ' "'"" .!л ., г / ири начальных условиях '';::-';-.",':,'";,',;«~.'- у(хо) .=- уо, у'(хо) =%;::;-'::;:,"::::;::ф~',, 37!ги!г!створа !ощего теореме Кошги хи(ев !гл ст и решения. Решение нн)ется,ва)))(~а Г,х) Х =' хо.. („„,)л..;,-:-".::;4''4/к и .о у'! (хо) . !';::~':: ~ .,~хк/ъ!Ф/ „. 1! ри этом часть коэффи4).

„', остальные необходим фсренцированнн,дай",', на сходниооть', „, решение ур)!/дмв' Примдефк $- ной рад,р~ " у(11-.—,';:;1:."~", ;Уа~4" Подставляя начальныс Зсловня в !заз.никины и и у, нико;»им с ея =! , Приравнивая козффицисн~ы при о,линна»вык стененяк с! =0 х слева и справа, получаем сис ~смЗ для наьояс»ения остальных козффициентов: ! О.=ь ьн . О; д х: 2с — с~., яс 2 Зсз 2с.— '~ .. с; х: 3 4с» ! .

Зс~ — Зс» -. 3 -1=. с!.— 4! хз . 4 5сз + з 4с, — 4с, 5 Ося ь 4 — ! —.~ с; ) .„, ! (2п — !) ( — 1)«' (2н)1 ' 4' =- — =-, сь Просматриваешься закономерность вида с „= сз,'',+! =О,н=0,1,2,... 1 мления в точке х! ': — — с точностыО вычислить значение част»кмо рс до Ь.= 0,001. Представим реиьсннс в в . ° р, внлс яла у з с«х' У л. ' -) (« ' 11;,, »х«!см.