Дубограй И.В., Дьякова Л.Н., Скуднева О.В. - Степенные ряды, страница 2

олимос!и ряла. Исс Г а. сслс,!) Ом !лиитто! .~ иичимх точках и!Осрвал. !ареала скол имое ! и 11; 1срв 1л . ! иле!аким х Кй!»ЕрядуИ1р»ий ряд, »»ровс !ИТ1, ровсри и, вьинигисиис нсоб случае Г!Оста!!ли!о - . очно ! рудно. Заметим, 1ИС РЯ- 7 2 что !С!П11! 1и„! 3 5 7 - (2л р 1) (2и+ 5) *.5"+»;,,»':;4.".~,'::„'''5у„-':.", ~: -у;:!~»!~М~~;. 1 4 7 "(3л -2Д5л+ Ц.3е;б:;"б';7;;;„р -4,:5.,:,„„" ',".~:.:.;;!'.;';~~~~~ ! ! !свилио, ИОΠ— -- .: 1, а ото тиачит чтоиа~ачвьме»»икаете!!~":"ж~1734т сс к гаси рлла больи1с ирсдь1дущего, тл е, ие а»ят»О»щ44!Тй»е~"' "':""":~!!'':-' 11ри'1иак схолимости ' — ряд расходится, ." !":::";.::,': .::~"";*";.'-'~,,;,~~ъ~~~~:,»",",~!~ ~„,.„'~~~~ 1! 1О !КС С НО 1у !ИМ раекодяа»Ййея р»с»у»""""""" 2 „"-,1 4 7»3'--2) 3,2,7' ' 17!Ис! Область абсолготиойсходимостифядфдф; '-:ф~ф,;, "е ""-'" »)спопп»,!е с!»Ойстаа ете»»О»е»ямФф»»Фэж'.-'-;:!~:,.' " 1 с:!и члс!1и с1сисиного ряда являй»тея иф»»ря»»»й»»й ', ,!ми и сам с!спснной рял сходится рааиомерйОФ»»й»»в1»тя'„,, кс.,!саии!!см ьи15-! ри и! Ос»»вала сходимоетй! тбс»»»»»»)5»!5 *: ! кара!,'!сиия: 1.

с умма стспсыигио ряда яаляетсянепрер»4$»9~В, ! ри И1!1срвала схолимости МОГО ряда,: 2 С ! спсниой ряд можно почлеиио;)»нфф~, !Гл !с схолимости, причсм сумма Иоайго,яЖфф':: „ СУММ!Л ИСХОЛИОГО'. а ь1 - .1( 1:= ~К а ь,—.й!)~!:- ' !1»ри э1ОМ СХО!»ИМОСТЬ На'Яои»»»»б!М, ,ф Степан!3ой ряд можно почле!гно интегрировать в интервале стн, при этом на концах и!порвала схолимос.ги получивд может оказаться сходя1пимся, в Оп1ичие Оз.

исходного 1зя- ькОДИМО ";,:-":,-':::;::.-:::::,":::. Аци Йсв. 13Я 'Ь Ь и Хфг'- и!И г=гг Х „1'-'.иг" И 1у ! ггг* ииа „ -о !ггигг(3)! и ! 1 1нп — — — —,- --- !. ! !1пг -- ' — —. ~ .! с ! —,- б ( ~гги (х)1 и. - и Пример 2.5.

Найти сумму ряда ): ггхи ' ' .= ! + 2х+ Зх- 1 4хз 1. и —.1 +" +пх"-'+" Выясним интервал сходимосги ряда. По признаку Даламбера ДЛЯ РЯДа ИЗ МОДУЛЕЙ (гги (Х) ) ПОЛУ Чае М На концах интервала сходимостн ряд расходи!Ся, гак как прн х — — — ! и при х -- 1 получаем ряды У и(-1)и и 2' гг,;!г!я когорых и ! 'не выполняется необходимый и!31!н!13к. Пусть сумма,нипгого ряда ( ) — 3 гизг!Се. !3 ОО !ЗСги Сх03О!ЧОСПг дачи!010 1и! га 0130цн те!рируем ряд почлецно: и ~~~3 ПХи ' Г/Х=- ~Х (гг/Хи '11Х) = ~~3 -Хи -= ~Х".

о о и 1 и-1 Получили — —, где 1г ,;;;::::,:,' ':.:, 1-х Итак, про 3';„,. „: ., =„Ц(х)Ых, З сумму геометрической прогрессии, 51(х) -- — == 1 — г! =- Х, гг = Х, таК КаК )д( -= ,'.31 С 1. интегрированный ряд имеет су. ет сумму 5!(х Следовательно,5(х) =- — 5 ( ) = —— с/ х (1-х)' пх" '=— пх" = —, 1х! 1, ламбера: мости':ряй)!)с гй~~щ~:.'!'""и'-'"-" ('( )) —.

(х)! !!и Ц;,-;::~:„:;.~(~~-. В ю!кех ! пол ч получ„м гармони„,6 Й~м-Х:Ф Ся. ВтОЧКЕХ= — ! ПОЛ ЧЗŠ— Егйг)3!г признаку Лейбница. Следо т ряда х Е (-1; 1). Пусть с мм у а исходного ряда 0 — "". '';,,к..„., сти почленно и и=! 'и родифференцируем этот ~Фд.. ","",'г!'*".',~ ", х ( ) I = '~~,'- = !+х+х'-+,':;~.:.~" "' '!олучили с мм 1; ° у у геометрической.прбф4Мг~.'. ', '. .3!!(х) =-, 1„ 'г.г-и'131"'г =(г-и',-,*,,:,-, Ответ: 5'(х) = — 1и (1-4, 'х б:-1-'::1!.-':)1:.:;-'~:,, 3иданни дли симостйгФТ.

„,,„ Найти о опласть сходимости ряда!-:.';!":,':;:, фФ ! агсз1п— 1) 2, " х-з,, -'$" „, з»(и+з) " (2п)! (х+2) ',-:::::'::!",'::!!."., 3) Х и=1 3. Р>з'НОЖН)И 1', <1>У Н )б)(11И В С1'И)Н1111«11; РУ1,1(Ь1 Возмо|киос!ь иоч>ичикчо .щффср|лл|ир|щ|иии! и !и|!<ч риронпиинстсисиио!о рнлл н!О |р|| с>|| !|И|>Он« ы | со ||!И||с|и. л !|и жс !!росте|1| с|сисииой <)>«икиии..!С~л!ь>! С>си< !Ип |с рн|и 1и и!И|чиж!ь|з|и Взсорс|1И|сских и|ц>ль|и'1<ски«ис<«|с|он|и|он< !<|>и!Ик||<'1 !!Со!>«олимос!ь рпло кения ф<икции н | !аннин>й рнз и !ю>«|>ы<ии|н об|щ- С!и С10 СМ>ЛИ<!ОС>И.

1еорсын. <!>уияп|н 1<1), бссмп|сч|н|;и!ффсрси|и!руслщн и !юкоторол! Ии!<рввс | (|,| )>'.,>», 1>), <!Ин.с! Иь!11, рож||а<с!ю и >!ом ии!ервнлс в схо)<нии!!)сн к исй с!<и|<линч! Рнл '! сйлори /'" )<||) || ||. ес!и н <иом и!г!срнщс |ииюлинс||н |с:ь>нис !|п! Й,(|) О. 1.1< ! /'"' "(хн ' О(.| || ')|) «) — ' (| |Н) ||с« !!||чи!.!й '!.|си<!>ор мулы Гейлорн, О с О .: р, с .: !.

!!ри !<! О !юлучлсм рнл Мик.юргин. у "'|0) «(|| || (> |) Замечание. ).ели н искотором 1,",; " < а "! '. '. ' ' " и!|срв|! |с, солей>канем точку хо, ири любом л выиолинс!сн исрщ!сис!Ио ', 1!") («|! .- .), „|х)::., и «(х) разложима в рнл Гсйлор;. (!| > орн. ( |с>!и иослсдисс условие ие выполняется, зо фо моль ! ормаль!И> постросииый рнл 'Гсйлора может быть схолнщимсн, ио к л < Лру|ой <руикции.) )б 1!ример 3.!. Мо>кио ли разложить фу|иа)()))й~',.'~~!,."' ', и рял Мнклорсиа; б) «(х):- щса!Их 'ьа,рнд,<цй>~мйрй)~)- (| )): |!) «(х) -- ь!И« -- а рнл Маклореиа',.:..;-.::::;::-! 1: ' |) фуик!Иио «(«) —.

!Их иельзн разложить:а ра)1)н)|<)1"'" ! 'к н !о'!кыс О ии <!>уикцин ии ее ироиза<уди)>)а))~, б)«(х) - агсыих разложить ио степеинм" (х4~."'з)-"'"" н !очке «с — ! функция определена, иоле и<)га' ' ' '" '::) ! оч кой области онрелелсиин, и ироизводиь!е ащМ," ' .; в) фуикци!о /(х) -=: >йпх можно раздбжйЪъз),'"",'ь ' ' клк н !очке хс - О оирелелеиа каксама он))З(~~~,"„' ион ли|бого йорн)«ка.

!! р!лом очсвидио, что !«1") (х)~ ~'1, т,':.а;"))р~~"' сходи ! ьсн имеиио к /(х) =- >йл.; '.,",'.з:.">-' Прием>1 разложении фупзецз)(В<В „. ','::Э'". ' <ь Рассмотрим два осиовиыкепосЕГ>Вр!йй(), ' 1. 11еиосре!«Ствеииое разложеиие, ф)<)ф~$) !,1(лн гого чтобы осуществить сто,.йахОФ~~аз<11< . «<н! (х ) ..: ., |:: "'!'!;,!!~>> сос |лапают ряд «(х) — — — 2„, .'(ху" ~),-....

|имости зто!о ряда. --: - '':':~!:.'-:,"~~)<~~.' Пример 3.2. Разл<зжить у(х)(й!")П~Ф':, (х -2). Составим рнд ТейЛбрй а''ВМВ~, 1)ычислим 1!рйизар«(ий(Фф~ф)~фК «'(х) = (йх,: '~(ф.',:, «1(х) ь.,>:,.":~::, ' «'" Гх);-.-'~~"„'"-:)!""' ,:х~) .;:~'» (х~~" ' "! .

!ч 2 3 )гс() . - -, у ,,! !л — ))' ой . ) 1; .. . . ! л'(-! ... (/!- Полсзавим вычислсш!ыс ирои ао,и!ыс в ря ! )сйъ!ра: 'л !!' ;*1! 2 л Л.') =. )п..)п2.- У ( .1)' .-,,— (х --)" л ! .! п .,» ! (-! - -) !и.. ~ (-)1' ОбЛВСЗ! Сходичвозн !Ю.!! Члип СЧО рчлв 1!и ! Г,, ! !' ) О, !ьчдл .!' "' (хо+О(.!' —.тв,)), йч(.л) — . ' . -- — (.л' —.!'!! (из ))! ( — 1)" !!! — =-(О, Ч) (2-! 0(т — 2))"' (л ! )) ! :!— 1, плачи!.

!' '. ',О, .! !. )!л ко(!ц !л н!1!срщщл ! Х ( )) - р,!смли!!с!!. к !к (а))- и '1 П и, !! моничсский, а л ) - ',; ) !" л' ' — смь(и!ся условно. И!ак, оолвсп схолимос!и иол! чсчнкн о ря щ х .'. !О, -); Чзо(зы отвсптсь !кв во!О!ос, ссо И!!ся зи! !!о.!! !с!!!и.!Й ря,(ил(си!ю к функции/(х) —. )пт провсрим вы!ю нн!моспь ! с!ов!щ )ип Л„(л) .—. == О: ( лс (ова(сльно, рял )п2 + ~ ( ))яч! п- 1,2лл С-' (О, 4! сходится к функции у'(х) = (пх т я,'г:):: '~'.

— х„т, а, являвтся ,(ищои функции по с!еланям (х 2) (), ! ме ! им, по нспосрсдствсииос разно!вен,функ!(йй".""',1) '(сй,юра нс асс!да позволяет получить рвало .',щегла' ' ',, ить разлозквии~~.' вид(ру ...(("'(л!!) . зй --- --- (х — х(!)", так как пай~и общую формулуф .," ' ~ в вас! зв!рудьопельно. В таких случаяхлибо ограини '"",',"" "' ' ным числом членов степенного ряда, либо полядузбз()((;.

ями в с!ененной ряд элементарных функцийя,'::,,::,.:::,.;,':::::;::,::,:-':!',,'::", И. Рв (лоялен ис в степенные ряды с иеио(яьз() ' алания основных элементарных функ((ий а~й~о~~~~, ив. И мсют место разлозкения в ряды Маклорана иий: я ьч.т —.— х — — + — — " '+ (', Ц", 3! 5! -: .::".",:":РФ+!,.; (2 +'Ц! ', -::~.;;!':;;;:,:,-:,"-:,"'-"» ' 2! .'4з(,', .", я;" = Х(-()".=.:,;:,::;,",,' ' =о х и(:!:-'!ая(ай' в!зх = х+ ' — ':,':+~!-:.Ф"" 3'1:::.;:::;::.',Р,, ,=о 6%+~3.

""'Я()--= п --- ----' -=- -- О»т-(О.) ( — ))" (-- -"-)"' " '- (2,' 0 ! — . )) "т! (л ! 1) ' ! с (3.7) ,ай(- "' ')! „,, Ли 1. (1+х) ='-- —.— .и ~~( 1) ' ' „-(-1;3 л и.-. ! (3.8) Зл (л! —. 1) а'э Зл(гл ! ) (л! 2)'...! ... + (1+х) =.- 1 "' лаа 3 3! 3 .и Зл(ал 13 33л и ! 13г л. и! (Зл — ! 3 . (л! л и 1) лл х '-. ' — !." 1' Зйн! л! ° П хй (-1.: 1; прн - 1 .. и! '33, .т ~-. (- 1, ! 1! Ирп л! (3.9! ! — — =.!-Зх!х +х .! .. Зх 1 — х 1 г .' 3 1:.3 13 (3.10) е '' =е е, 133(АВ) ии )пА Ь(3333, (пх1" - /г133А емь и ь Используя эти разложения, можно намьо33ь раз.кокс!И!я лрупзх функций. П!эи эпам Оп!пласт нсоохолнмоап ь псе!!с'Зованиз! И035сденияостаточного члена ди(х), так как ныл срвалы сходнмос ! и рядов, полученных для основных элене!париках фуЗцпанй, Згцасспаы.