Дубограй И.В., Дьякова Л.Н., Скуднева О.В. - Степенные ряды

их значениях переаМнйвй>за! М, . одимостн: П ример 1.2. Найт т" Х вЂ”вЂ” 1+хз ' Проверим ири как обходимый признак сх .л 1ии и„(х) -= 1ин —-- '-! +хз" Овределеиве. Рял 1 1йн и (х) — 1>щ — — —:. 0 п~- л" + х" 1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ~', и„(х) ..-- и> (т) 1-из (х) >-... +и„(х!+..., (1.1) л=-> где члены ряда и> (х), из (х), ..., и„(х),... являются функциями переменной х, называешься функциональным рялом. Поде~являя в этот ряд конкретное числовое значение х == хс, мы получим числовой ряд х. и„(>в) =- и> (хо) 1 и (ха) » .,- и„(хс) ч ..., кот»рь>й можетокаи:- > заться как сходящимся, >ак и Васко>>яиц>чся.

Определение. Совокуцнос>ь всех значений переменной х, для которых получающиеся числовые ряды сж>дятся, назл>вастся областью сходимюсзн функцио>ильного ряда ( !.1). Пример 1.1. Найти ооласгь сходимости функционального ряда 1 Х вЂ”; „.=> л Ьх- 2 При любом «>иксированном х получаем знакоцоложнтельный ряд. Необходимый признак сходимости яыцолняется нри любом х: В качестве достаточного применим признак сравнения с рядом 1 Днрихле Х вЂ”. Очевидно, что при любом х выполняется неравен„..> л~ ство ! ! л'з-хз лз' Ответ: область сходнмости данного ряда х е ( — »:+ ) 11.ооходимыи признак вь>подняетеязтрй> Применим радикальный достаточный и' дулен.

Если )х! < 1, то 11йт':" "йь-,; 1>в = = ~ — ~ =1х)..<'1з%",~~, !х! 1 )х( „,,-ГД вЂ”,— л ~ !+О~ ся абсол>отно, Если >х> > 1, то ''1(>11',,'."й>, . л,=х>я>)ч>,''>.„,",, ' ! — < ! =ь )х~ > 1, т; Е;;:!Е>~11,'::,~'. ,'х! ся абсол>отно. Ответ: область' або, Если значением:;;;„;;:: ': онального ряда .3'.:'1~>~ го ряда в Щ!ИФ~ф~'- ""'' Таким образом, значение суммы функционального ряда зависит з ч ния х =л, т. е. сумма функционально>о ряла сама является функнне, фу ней областью определения ко>арой является область сходи- мости функционального ряла. 3>ичнт, мо>шю говорить о се ненре рыВности, дифференцировании, нигсгрнрован>н>.

а, слсдовагсл>>но и о таких же операциях нол члгнщмн Рядо, которьи> сходится к дан иой функции С(х). Схолнмость ряда (! 2) к н>с.>л,'>(л,>л> означас>; что )(н>,С» (лт>) =- П =-б(хо),с!!ел (хо) =- »! (>о)»г(ло) г .. », (ло) -л я час!Ич>гая ог) сумма ряда(!.2). )(ру>Ими словам н, лля,н>>бого с -.. О ншшс>ся >акое число М(е) .

О, что лля Вссл» . Л (!'> Вьн>ол!Сяе!Сл> нсравьч>с>щ> (!.л) (!>„(>з>)! .. Сс>!В) -..'>;,(>С), . с, где л»(х):: л(хо) — л» >хо) шпьиькгся ос го>кои ряза ! !.2), Если ряд 2. а„(х) сход!пся лля Всех зна ал>ш! Из некоторого ч .! множества, то каждому значении> л будет соога >с>вовоть свой чи- словой ряд и свое число Л', лри когороч будет вьшолня>пса нера- венство (! 3). Следова>ельне, .л' .>1(е,.л), г, с, вс.шчнна, заш>ся>цш> от выбора е и.лз Определение. Сйункцнонга>ьньш ряд 2»» (х) >щзывостся рав» номерно сходящимся в некоторой области О. сс.ш он сходится для всех х из этой области и лля любо!о еэО сущее>!бег гакос число гх(е) ) О, , зависящее от е. >ю не защкящсе о! .л, по для всех л > !т(е) выполняется неравенство !Ь', (хо) ! — !Ч(лз>) —.'>' ('х,) ~ < 10 ! ° >ло» >то) с е для любо!о х из рассматриваемой облас>н г.

ОЬЛАСТЬ СХОДНМОСТН Н О,)Н -НВ,~::::.':.:.::,-";:.;:-':.','":."'-'- СВОЙСТВА СТРПРННЫХ РЯДОВ -, .',~;;:!:! -:!>ул Нахождение области сходимости етейепнргр.;~""''"~- . Определение. Степенной ряд — это фуикциоиальивтФ ' Х ч а„(л.— ло) --- ао-! а>(л — хо) ч аг(х — хо) +',;.,+.,;:.;:(~':;:,':-~!!~%-'-'!"" » о +а> (х-.оса)~+!:.:"~ . где ао, а>,...,и„, ... — постоянные, называемые В(гафф !.>спснно>о ряда.

Теорема Абеля. Если степенной ряд ~'„аяф:,„"-'Чаф„,,"' ' >кко горой точке х =- х> з!: хо, то он сходится ВЫ~;, '" л, таких, что(х — хо( < (х> — хо(. Если степенной ря4 ф~~, ' зо>кс л. =- лг эс хо, то он расходится причдкг69М':„л"',,'." ." >л — хО> > !хг — хО(. Следе ! 1>НЕ. Каждому степенному ряду:...;3,".4В~Ф~, си>ус> лсйствительное число )! > О (или 'СИМОВ):"+:"'~»""' мое радиусом сходимости. Ври этом Виутрф.,:й))эйр! 21, ХО -! )Г) СтСПЕННОй ряд СХОдИтСя абСОйи>г)тат!т;, !ореола ряд расходится, поведение в граиичййх ' требует спдельного исследования.

Если !г =- +, то степенной ряд СХоЩЩ4' славой оси. радиус сходимости,числрноВг;, ' фнцнснтами формулами Копни — '. Ад~~~':-:-'-:" ! )йп фая(':,.:::;.,";;::;::;.'!.!~~-;, л(анные формулы подуча(1л~~ применения к ряду 2, )ц„>(В з(~ф мости: радикального Копи!:,ЩВу>; я области сходи нного ряда мости хождеии стене аюшийся из " ывая это, исм, сначала на гь ..;'Ъ~ достаточный:4 х числовой ряд, и накопеременным, итая х фиксирован значении олуч Учит „'::!!'',!":::,:"';.::':!':~:':"::'ряейеииого! можа~ оказат ;:;:,,;,,"':-;";: ' .~~лэфем ряд как чис ~':';..'-",:::,''-'-,;:;":,, абсолютную сходнмость !.

Применим к ря признак Даламбера ил мого признака можно а„+! (х — хс) !!пз 1а»» (х «0) ься з лавой, сч ны дулей 2. !а„(х-х с — радикальный (пр зть); ду из мо и Коши оверку необходи- пропусп л !! а =:!Л' !ап, !! хо! йп! — ' — .= !х '»»-, 1а ХО!А < 1, !х-. !1п,%!-~х „!4,, »»-Ф »»-> 1 ! х6 хе, «с+ — ), или х б («П — й, хс+Р) необходим Вие полученного интервала не ,„', В ' Зиак сходимости, следовательно, з 3 'Чтобы выяснить поведение " 'вйй 'в:исходный ряд по очереди зн !~а,',,:...",,:'::::::::~(!::::::, »~!(3+в. ' ! )' выполняется ый при- подста- расходится десь ряд ряда в гра ачения ничных точках х= хе+ А — =ХО+»т ые ряды димости ряда ' 2.

Решая зто неравенство, определим интервал абсолютной схо— димости .: ":.;:;;::3,4Ф,:,",.;-.„.'=';.-:,:.':„: =-"-:. "" -" "а ага';::(,::;~'~.'!,':~"::::::Г! ." к нему радикальный призна!! К»зш~~::.:: ' ':- -''.:::::. !!~~~~!~!'::.-.'!!!!~!!~ ~ ':;~!х~~~ й»п фа, (х — хс)" ( = !х — Ц !1нь .'.'- .. "- .':,."':.;.,': -"".'„.-',::.''!::-':;:-:;~!-;:::-':~',.:=',~~~:':,':„"~.'-.; Л вЂ” > : )х»Ц:!!М~3+~~' по признаку коши ряд сходится, если !!я»зз '".»1~цщ~.';-; '." ' згомх трсоуем выполнения неравенства3)х ц,<) Ней~бек 1 1 ! 2 -,::;:::;и':;:";:::.":::.",!:.~' ~'-!~:;"х-.'.

см ,'х — 1! < — ~ — - < х — ! < 3 3 — интервал абсолютной сходимости ряда;,', ':;:: ':;-:,',;"",,,::::-',:::.«',.'..:.!",',-;:,,':»'-"'-' Выясним повеление ряда в граиичиыххтое!секи,„ мости. 2 2, Подставляем х =- — в исходный'ряд:-:=::,::.",";:,",'-:":!;,~~Ю 3 —, — ('-"-.-'-') (-6'=~("',:::::: л ! 11олу шли знакоположительный ряд;;:!зр)~М~Ф)~~: об«олиного признака сходимости; „-:,-' ',".'~''-::~:,~„:»;;;:;::;:,,~г;.:~. !пп Ь„=- 1пп 1 — ~,=...„,((й(::,'~$:-:»г.';,;;" -"" 11собходимый признак не выпей»нМ,' — ":,':",' си.

3. Подставляем х = — в.ис. ' Х(- )",,":" а=.! "ся гяЛ '!ак как !!гв ггг»! Получили зиакочсрелуюьииися ря, « ев, ч о ! Ф О, яд в точке х -„- .!огне расти!лиг'2 4 з! '"- Ь,' Пример 22. Найти облас ! ь его!димости ря!га 1. С " диз модулей и и!гиысним к нему иризиакДа.гач. Составим ряд и бора! л~ г, а„! (х — хо, ! ' «и!Ии г« !а«(х — хо) ' =- — '<1=~Схг !!«! -"- - ох=--' — г< - ! 2: 'з-" -": -з -2«я -4.- х . О. И ак интервал х б !.-ч; О! — область абсолкнной схоличосги так,и е степенного ряда. Исследуем гюведсние раза в граничных !очках. 2.

Подставим х — — 4 в ряд: Х', „2«гг!пи ~«и!Ии Получили зиакочсрслуки!!ийся ря;!. Сос ! авич ря,! гг! ~!!1!!и!ей: — Необхоличый признак и!а!юлиег; !!Ил 6»,' »:.а и !пи « = !!Иг — = О. Нрнмеиич к ряду из модулей ичпсгральный при»-г и!и и знак; ггх ! ьг!!!х — - = / -- — — !и!!Их'~ х!Их l 1пх ' г 2 з Значит, интег ал 1 рал расходится и рял из модулей расхо;гится. ! ак как 1!!г»! = — манат ! отонно убывае~ при увеличении номера и, ряд усяовио сходится в точке х ==- -4 по признаку Лейбница ;: -'-,";,::,!,-::.:. - ';,уе ' 11олучили знакополо Путает: область б ! — 4; О! — облает сходится условно.

Приме «Ы! 2; ' ! !«-- «! сходнмост ь абсолктги р 2.Э. Н ьи !х— 2" иа айти облает з!" 1. Составим ряд из модул 1пп ~/!а„(х — хг! 11! 1 !х-З~ 1! »- !!олучили область абсолют Исследуем поведение ряда х!осз и. Полу чи!и! знакопеременн !!Пи! 2,' -'-----. Необходимый приз 112 ,'Ь„! = !!гн » -г Далее применим пр ряда из модулей не изнак сра превосходят 3. Подставим х = Овря 2. Поле гавим х =- 1 в ряд ь сходимостн ряде.",-.:,:, ';:;;,;:::.:-' ':!,:;:::!:",'1',";.'!:,::-':::!';::::;-';-:,::;:;,':- ей и приманим кнему зззз~~:-.':!з':, „Дя!пи~ !х-'3~ -У 2»из 2 \ ной сходимостн ряда х е (11„.-5у.;,—,;?,.";,'", в ! раничных точках облфбзтв'~'-,'-',:,';.::",',';:.',';'' !»2 2 ый ряд. Исследуем ряд -щ агг!~йф~!$~Ф:";"Р а чг !«гиг«! нак выполнен; . -'.:.':", '.::;,;;:,::-:-:"-;;,':~' "" * внения: !О»~ =-' ',:<:.":гг«! г'я 1 ;,'вел л1 ...~.;~:::*;!!'";*.',,:5,:-' в " Г.-. с ' 1л1и 'Я абс ниио Зпаи'' '„.к~::";;!',;:",„'„:~':",'.1 .,' .

',, а а»лл!х ' ' ), о !И1ск абсолни !к1 в !очке х ' 1, В точке х --- 5 стелсниой рял сходи!ел;к»солки по »см Ответ. Обла!ть абсол!Очной схо гомос!о лаппо!о ря га Пример 24.! »ай!и об мс!ь см!ллмос!и ряда 5 57. 1'2л ' 1) „.!1 4 7»ЗЛ 2)' 1, 4 оставим рял и ! молулсй и исс !слу см гл о!!о 1ции осаку Далям берн: и. 2), ''»сс с с 11' 51 ..":» уе 1 » 7 !2л ' 1) 1 7 С)л 3 5 7 . !!л ! 1!!2л ! 3~ 1 4 7 !!л 211)л, 1! ' 1в.б! ! 1х)! 1к„(х)~ и,, )л, 1 1хч 2! .. 3 2 2 Обидеть абсол!Отиой сх,; а и.