Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Эдементы квантовой механики, страница 3

Внутрипотенциального ящика ( M ∈ G ) волновая функция может быть найденакак решение уравнения Шрёдингера для стационарных состояний (??)sΨn1 ,n2 ,n3 (x, y, z) =n1 πxn2 πyn3 πy8sinsinsin,a1 a2 a3a1a2a3где n1 , n2 , n3 = 1, 2, 3, . . . ,(3.32)т. е. представляет собой произведение трёх одномерных волновых функций.Квантовые состояния частицы, находящейся в потенциальном ящике,определяются тремя квантовыми числами n1 , n2 и n3 .

Каждому квантовому состоянию соответствует определённое значение полной энергиичастицыπ 2 ~2E=2m0"n1a12n2+a22n3+a32 #,n1 , n2 , n3 = 1, 2, 3, . . . .(3.33)17Задачи о стационарных состояниях в квантовой механикеU (x)Irm06II66U0E?0?x-Рис. 6. 3.4Только при этих значениях полной энергии E уравнение Шрёдингераимеет регулярные решения.Отметим, что для потенциального ящика кубической формы, т.е.

приa1 = a2 = a3 = a, задача о движении частицы обладает пространственнойсимметрией за счёт равноправия всех трех пространственных направлений. В этом случае существуют квантовые состояния (например, Ψ112 ,Ψ121 , Ψ211 ), находясь в которых частица имеет одинаковые значения полной энергии. Совокупность таких состояний, в которых частица имеетодинаковые значения полной энергии E, называют вырожденными состояниями.

При этом число состояний с одинаковым значением полнойэнергии частицы называют кратностью, или степенью вырождения этихсостояний.Прохождение частицы через потенциальный порог или барьер.Пусть частица массой m0 , имеющая полную энергию E, налетает напотенциальный порог (рис. 6), двигаясь, для определённости, слева направо. Потенциальная энергия частицы в такой задаче имеет вид ступенчатой функции(U (x) =0, при x < 0 — область I ,U0 , при x > 0 — область II .Решения уравнения Шрёдингера (??) для стационарных состояний,удовлетворяющие условиям непрерывности волновой функции и её про-Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике18изводной в точке x = 0, выглядят так:Ψ1 (x) = eik1 x +Ψ2 (x) =k1 − k2 −ik1 xe;k1 + k 22k1 ik1 xe,k1 + k 2(3.34)(3.35)где Ψ1 (x) — волновая функция частицы в областиI; Ψ2 (x) — волноваяq√11функция в области П; k1 = ~ 2m0 E; k2 = ~ 2m0 (U0 − E).Вероятность того, что частица отразится от потенциального порога,определяется коэффициентом отражения k − k 22 1R = .k1 + k2 (3.36)Вероятность прохождения частицы через потенциальный порог характеризуется при этом коэффициентом прохождения D = 1 − R.При квантовомеханическом рассмотрении задачи о прохождении частицы через потенциальный порог конечной толщины — потенциальныйбарьер (рис.

7), для которого 0,приx<0,U (x) = U0 , при 0 < x < d ,0, приx>d.можно показать, что существует отличная от нуля вероятность того, чточастица преодолеет даже высокий потенциальный барьер, высота которого U0 больше полной энергии налетающей частицы E. Такое прохождение частицы через потенциальный барьер в случае E < U0 называюттуннельным эффектом.Вероятность преодоления частицей высокого потенциального барьерахарактеризуется коэффициентом прохождения (коэффициентом прозрачности) D, который определяется выражением√2dD = D0 e− ~ 2m0 (U0 −E) , D0 ' 1 .(3.37)В случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 8) коэффициент прозрачности находят по формуле− ~2D = D0 eRb √a2m0 (U (x)−E) dx.(3.38)19Задачи о стационарных состояниях в квантовой механикеU (x)6rm066U0E?0?x-Рис.

7. 3.5U (x)6rm0U0............... ............. ..........6..........................E................................................................................... x........... ?0ab-Рис. 8. 3.6Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике20Интегрирование в (3.38) проводится по области, где E < U (см.

рис. 8).Туннельный эффект позволяет объяснить такие физические явления,как α-распад ядер, холодную или автоэлектронную эмиссию электроновс поверхности металлов и ряд других физических явлений.3.1Примеры решения задач☞ Задача.Задача 3.1. Электрон находится в потенциальной яме шириной a = 5 · 10−10 м с бесконечно высокими стенками. Найти минимально возможное значение энергии электрона в квантовом состоянии, длякоторого плотность вероятности обнаружения электрона в центре ямыравна нулю.☞ Решение.Стационарные волновые функции, описывающие квантовые состояния электрона в потенциальной яме, определяются выражением (3.28).

Исходя из статистического смысла волновой функции дляплотности вероятности обнаружения электрона в различных точках ямы,получимw(x) =dP2πnx= |Ψn (x)|2 = sin2,dxaa06x6aПо условию задачи эта плотность вероятности обнаружения частицы= 0.в точке x = a2 равна нулю. Это приводит к соотношению sin πn2Из этого соотношения следует, что существует множество квантовыхсостояний, в которых вероятность обнаружить электрон в центре ямыравна нулю. Эти состояния соответствуют значениям квантового числаn = 2, 4, 6, .

. .. Но так как полная энергия электрона, движущегося впотенциальной яме, определяется выражениемEn =π 2 ~2 2n ,2m0 a2то минимальное значение полной энергии соответствует минимальномузначению квантового числа n, т.е. для найденных состояний n = 2. ПоэтомуEmin = E2 =π 2 ~22 · (3.14)2 · (1.05 · 10−34 )2=w 9,5 · 10−19 Дж .2−31−1022m0 a9.1 · 10· (5 · 10 )Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике21☞ Задача.Задача 3.2.

Частица в одномерной потенциальной ямес бесконечно высокими стенками шириной a находится в низшем (первом) возбужденном состояний. Определите вероятность обнаружения частицы в интервале 14 a, равноудалённом от стенок ямы.☞ Решение.Квантовое состояние частицы с минимально возможным значением энергии называется основным, или невозбужденным состоянием. Такому состоянию при движении частицы в яме соответствуетзначение квантового числа n = 1. Остальные состояния называются возбуждёнными.

Низшее возбуждённое состояние соответствует значениюn = 2. Это квантовое состояние описывается волновой функциейsΨ2 (x) =22πxsin,aa06x6a.Согласно вероятностному смыслу волновой функции, вероятность обнаружения частицы в интервале x1 < x < x2 определяется выражениемxZ2|Ψ(x)|2 dx.P =x1В нашей задаче x1 = 83 a, а x2 = 58 a. Поэтому искомая вероятность есть2P =a5a8Zsin22πx11dx = −w 0.09 .a4 2π3a8☞ Задача.3.3 При каком отношении высоты потенциального порога U0 к энергии налетающей частицы E коэффициент отражения R =0.5?☞ Решение.Из выражения (3.36) для коэффициента отраженияследует, что при E < U0 , когда параметр k2 = ik является чисто мнимойвеличиной, а |k1 − ik| = |k1 + ik|, частица всегда отражается от высокогопотенциального порога, так как для этого случая R = 1. Если же поусловию задачи R < 1, то, следовательно, потенциальный порог в данной задаче является низким и E > U0 .

Обозначив через ε < 1 искомоеотношение UE0 , запишем выражение для коэффициента отражения в виде√!2√√ k − k 2 E − E − U 21− 1−ε20 1√R= = √ =.√ k1 + k2 E+ E−U 1+ 1−ε0Измерение физических величин в квантовомеханических системах22Разрешая это соотношение относительно ε, находим√ !21− R√ε=1−.1+ RДля R = 0,5 получаем√ !2U01 − 0,5√ε==1−w 0,97 .E1 + 0,5Следует отметить, что в классической, механике коэффициент отражения частицы от низкого потенциального порога всегда равен нулю.Другими словами, классическая частица всегда преодолевает потенциальный порог, высота которого меньше полной энергии налетающей частицы.

Квантовая частица, т.е. частица, обладающая волновыми свойствами, имеет определённую вероятность отразиться от низкого потенциального порога.4Измерение физических величин в квантовомеханических системахКвантовая механика принципиально отличается от классической в подходе к вопросу о результатах измерения физических величин. В квантовой механике физическая величина может иметь дискретный спектрзначений (например, энергия атома водорода), тогда как в классическоймеханике физические величины изменяются непрерывно. Кроме того,результаты измерений в квантовой механике имеют вероятностный характер — в процессе измерения с определённой вероятностью реализуется одно из нескольких значений физической величины. В классическоймеханике вероятностный подход к результатам измерения отсутствует.Указанные различия требуют для квантовой механики адекватного математического описания.