Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Эдементы квантовой механики, страница 2

Этасвязь имеет вид неравенств1 :∆x · ∆px ≥ ~ ,∆y · ∆py ≥ ~ ,∆z · ∆pz ≥ ~ .(2.20)Эти соотношения играют важную роль, позволяя очертить границыприменимости классической механики, в которой, в отличие от квантовой механики, пренебрегают волновыми свойствами частиц.Из соотношений Гейзенберга (??) следует, что из-за наличия у частицы волновых свойств нельзя одновременно точно измерить координатучастицы, например x, и соответствующую проекцию импульса ∆px .

Действительно, при одновременном точном измерении этих величин ∆x → 0и ∆px → 0. Но это противоречит неравенствам (??). Отсюда следует, вчастности, что в квантовой механике для описания движения частицынельзя использовать представление о движении частицы по определённой траектории, так как такое движение предполагает возможность одновременного точного определения и координат, и импульса (скорости)частицы.Аналогичные соотношения неопределённостей в квантовой механике записываются и для других пар физических величин.

Так, например,энергия системы, существующей в течение промежутка времени ∆t, имеет неопределённость ∆E, причём∆E · ∆t > ~(2.21)Ограничения на информацию о движении частицы и её состоянии,вытекающие из соотношений неопределённостей, оказываются несущественными для лабораторных макроскопических масштабов.

Однако этиограничения становятся существенными для малых масштабов расстояний, импульсов, энергий и времён жизни частиц, с которыми мы сталкиваемся в атомной и ядерной физике и в физике элементарных частиц.2.1Примеры решения задач☞ Задача.2.1. Определите с помощью соотношений неопределённоИногда в правой части неравенств (2.20) записывают не ~, а 12 ~ или 2π~. В силутого, что эти соотношения используются как оценочные, принципиального различиямежду такими формами записи нет.1Соотношения неопределенностей Гейзенберга10стей минимальную кинетическую энергию электрона, движущегося вобласти, размер которой L = 10−10 м соответствует характерному размеру атомов.☞ Решение.Для оценочных расчётов будем считать движение частицы одномерным и величину неопределённости координаты положимравной размеру области движения частицы, т.е.

∆x = L. При оценкенеопределённости импульса примем, что физически разумная неопределённость импульса не должна превышать значения самого импульса, т.е.положим ∆px = p. Тогда из соотношения неопределённостей∆x · ∆px = ~получим, что при движении электрона в рассматриваемой области пространства Lp > ~, т.е.

импульс частицы не может быть меньше чемpmin =~L(2.22)Это означает, в частности, что в квантовой механике частица не может иметь нулевой импульс, т.е. не может находиться в состоянии покоя.Используя связь между импульсом p√и кинетической энергией EK длянерелятивистской частицы в виде p = 2m0 EK запишем теперь следующее оценочное соотношение значения кинетической энергии частицы:minEK=~2.2m0 L2(2.23)Подставляя в эту формулу массу электрона m0 = 9.1 · 10−31 кг и размерminобласти движения L = 10−10 м, находим EK= 6 · 10−19 Дж = 3.9 эВ.Чтобы электрон с такой кинетической энергией удержать в области движения, необходима энергия связи такого же порядка.

Этот вывод согласуется с опытными данными для энергий связи электронов в атомах.☞ Задача.2.2. Используя соотношения неопределённостей, покажите, что в ядре атома не могут находиться электроны. Считать, чтолинейный размер ядра составляет L = 5 · 10−15 м.☞ Решение.Как и в задаче 2.1, на основании соотношения неопределённостей можно оценить минимальное значение импульса электрона~(2.24)LДля рассматриваемого размера ядра L = 5·10−15 м минимальный импульссоответствует релятивистской скорости электрона.

Поэтому, используяpmin =Соотношения неопределенностей Гейзенберга11релятивистскую формулу связи импульса p с кинетической энергией EKчастицыq2pc = EK+ 2EK E0 ,получаем квадратное уравнение для расчёта минимальной кинетическойэнергии электрона в ядреmin 2(EK)+min2E0 EK~c−L!2=0Положительный корень этого уравненияminEK=vuutE02~c+L!2− E0определяет искомое значение кинетической энергии электрона, движущегося в ядре. Учитывая, что энергия покоя электрона E0 = m0 c2 =min8,19 · 10−14 Дж =0,51 МэВ, находим окончательно значение EK= 6,2 ·−2210 Дж = 38,7 МэВ.Как показывают экспериментальные данные, энергия связи частиц вядре не превышает 10 МэВ.

Следовательно, силы, действующие в ядре,не смогут удержать в нём электрон с кинетической энергией, равной38,7 МэВ. Поэтому электрон не может быть составной частицей ядраатома.☞ Задача.2.3. Используя соотношения неопределённостей Гейзенберга, получите оценочное соотношение, определяющее границы применимости классической механики для описания движения частицы внекоторой области пространства с характерным линейным размером L.☞ Решение.Очевидно, что понятие траектории можно использовать для описания механического движения частицы только в том случае, если неопределённость её координаты мала по сравнению с характерным размером области движения, т.е.

∆x L.Из соотношений неопределённостей, полагая ∆px = p, получаем длянеопределённости координаты значение∆x =~~λБ= =,∆pxp2πгде λБ — длина волны де Бройля для рассматриваемой частицы.Соотношения неопределенностей Гейзенберга12Следовательно, условие, при выполнении которого для описания движения частицы можно использовать законы классической механики, пренебрегая квантовыми эффектами, можно записать в видеλБ L .Отметим, что в это условие входит размер области движения частицы, который обычно задаётся условием решаемой задачи. Анализ показывает, что полученное условие нарушается для частиц с малой массой,т.е. микрочастиц, движущихся в областях пространства порядка атомных размеров.☞ Задача.2.4.

Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет τ = 10−8 с. Оцените минимальное значение неопределённости частоты излучения атома.☞ Решение.Частота излучения, соответствующая переходу атома из возбуждённого состояния с энергией E2 в основное состояние сэнергией E1 , определяется из соотношения~ω = E1 − E2 .Из соотношения неопределённостей (??) следует, что неопределённости энергий ∆E1 и ∆E2 зависят от времени жизни атома в основном ивозбуждённом состояниях, причём∆E1 =~,∆t1∆E2 =~.∆t2Так как в основном состоянии атом может находиться неограниченнодолго, то следует полагать, что ∆t1 → ∞.

Время жизни атома в возбуждённом состоянии ∆t2 = τ по условию задачи. Поэтому E1 = 0, аE2 = ~/τ .Тогда для оценки неопределённости частоты излучения атома получаем соотношение~~∆ω = ∆E2 = ,τ18из которого следует, что ∆ω = τ = 10 Гц.Именно это значение определяет минимальную ширину спектральных линий излучения атомов. Реальная ширина спектральных линийувеличивается за счёт теплового движения излучающих атомов и других факторов.Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике313Задачи о стационарных состояниях в квантовой механикеЕсли потенциальная энергия частицы U (x, y, z) в некотором силовом поле явно не зависит от времени, то полная энергия частицы E со временем не изменяется, и соответствующую задачу квантовой механикиназывают стационарной задачей, или задачей о стационарных состояниях.

Решение общего временного уравнения Шрёдингера в стационарнойзадаче может быть записано в видеiΨ(x, y, z, t) = Ψ(x, y, z)e− ~ Et .(3.25)Поскольку временной множитель в (3.25) известен, то основное внимание мы будем уделять координатной части Ψ(x, y, z), которую и называют волновой функцией стационарной задачи. Такая волновая функцияΨ(x, y, z) зависит только от пространственных координат и удовлетворяет уравнению Шрёдингера для стационарных состояний−~2∆Ψ + U Ψ = EΨ2m0(3.26)или в другой форме записи∆Ψ +2m0(E − U )Ψ = 0~2(3.27)Конкретный вид силового поля в стационарной задаче квантовой механики определяется заданием потенциальной энергии частицы U (x, y, z).В этих задачах плотность вероятности обнаружения частицы (но не самаволновая функция Ψ) не зависит явно от времени:w=dP= |Ψ(x, y, z, t)|2 = |Ψ(x, y, z)|2 .dVРассмотрим некоторые примеры задач о стационарных состояниях вквантовой механике.Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокимистенками. В этой одномерной задаче потенциальная энергия частицыЗадачи о стационарных состояниях в квантовой механикеU (x)IIIE = E3 , n = 314IIIE = E2 , n = 2E = E1 , n = 1a0x-Рис.

3. 3.1имеет вид (рис. 3) ∞,приx < 0 — область I ,0, при 0 < x < a — область II ,U (x) =∞, приx > a — область III .В областях I и Ш Ψ = 0, так как из-за бесконечной высоты стенокямы частица не может там оказаться, т.е. плотность вероятности w =|Ψ|2 в областях I и Ш должна быть равна нулю.

В области возможногодвижения частицы П решение уравнения Шрёдингера для стационарныхсостояний (??) с учётом условий непрерывности и нормировки волновойфункции выглядит так:sΨn (x) =2nπxsin,aan = 1, 2, 3, . . . .(3.28)Каждому квантовому состоянию, описываемому волновой функцией Ψn (x)соответствует определённое значение полной энергии частицы (квантование энергии)π 2 ~2 2En =n,2m0 a2n = 1, 2, 3, . . . .(3.29)Таким образом, квантовое состояние частицы, движущейся в одномернойпотенциальной яме, характеризуется одним квантовым числом n.Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике15y6bΩU =0ax-Рис. 4. 3.2Частица в двумерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками.

В такой задачеU (x, y) =0,∞,(x, y) ∈ Ω ,(x, y) 6∈ Ω ,где Ω = {(x, y) : 0 < x < a, o < y < b} — прямоугольная областьдвижения частицы на плоскости (рис. 4).Квантовое состояние частицы в такой двумерной задаче задается двумя квантовыми числами n1 и n2 , а соответствующая волновая функцияимеет видsΨn1 ,n2 (x, y) =4n1 πxn2 πysinsin,ababn1 , n2 = 1, 2, 3, .

. . ,(3.30)т.е. является произведением двух волновых функций для одномерных ям.Отметим, что на границе области Ω, т.е. на непроницаемых для частицыстенках ямы волновая функция обращается в нуль.Полная энергия частицы в любом квантовом состоянии определяетсявыражениемπ 2 ~2E=2m0"n1a2n2+b2 #,n1 , n2 = 1, 2, 3, . . . .(3.31)Частица в потенциальном ящике (трёхмерной потенциальной яме)с непроницаемыми стенками. Обозначим через G = {(x, y, z) : 0 <Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике16ya260Ga1a3 z x-Рис.

5. 3.3x < a1 , 0 < y < a2 , 0 < z < a3 } внутреннюю область прямоугольного параллелепипеда (рис. 5). В рассматриваемой задаче потенциальнаяэнергия частицы в точке M (x, y, z) пространства имеет вид(U (M ) =0, (x, y) ∈ G ,∞, (x, y) 6∈ G ,Вне потенциального ящика волновая функция равна нулю.