Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Эдементы квантовой механики

Московский государственный технический университет имени Н. Э. БАУМАНАЛ. К. МАРТИНСОН, Е. В. СМИРНОВМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ КДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ ПО КУРСУОБЩЕЙ ФИЗИКИРАЗДЕЛ«ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ»Издательство МГТУ им. Н. Э. БАУМАНА19991Московский государственный технический университет имени Н. Э. БАУМАНАЛ. К. МАРТИНСОН, Е.

В. СМИРНОВМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ДОМАШНЕМУЗАДАНИЮ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИРАЗДЕЛ«ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ»Под редакцией Л. К. МАРТИНСОНАИздательство МГТУ им. Н.Э.Баумана19992УДК 530.146ББК 22.314M29Рецензент В. В. САВИЧЕВМ29Л. К. МАРТИНСОН, Е. В. СМИРНОВ Методические указания к домашнему заданию по курсу общей физики: Раздел «Элементы квантовой механики» / Под ред. Л.К.

МАРТИНСОНА. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. БАУМАНА.1999, 35 с., ил.ISBN 5-7038-I379-4Даны основные законы и соотношения теории и изложена методикарешения типовых задач. Приведены условия задач домашнего задания.Для студентов 2 курса всех специальностей.Ил. 8. Библиогр. 5 назв.УДК 530.145ББК 22.314ISBN 5-7038-I379-4cМГТУ им. Н. Э. БАУМАНА, 1999.Электронная версия документа подготовлена с помощью издательскойсиcтемы LATEX 2ε .PDF версия получена с помощью программы pdfTEX версии 0.14-f.Перечисленные программные продукты являются свободными и распространяются бесплатно.

Они входят в состав проекта MikTEX. Официальный сайт проекта http://miktex.orgГарнитура Антиква. Для поготовки документа использованы кириллические PostScript шрифты (Type I), входящие в состав пакета PSCyr0.4Волновые свойства частиц. Гипотеза де Бройля13Волновые свойства частиц.Гипотеза де БройляВ 1924 г. ЛУИ ДЕ БРОЙЛЬ выдвинул гипотезу о том, что все частицыобладают волновыми свойствами. В частности, волновые свойства свободной частицы, движущейся с постоянной скоростью в направленииоси x, описываются плоской волной де Бройля, распространяющейся втом же направлении. Частота этой волны ω и её длина λБ связаны сэнергией E частицы и её импульсом p соотношениямиω=E,~λБ =2π~p(1.1)hЗдесь ~ = 2π= 1.05 · 10−34 Дж·с — рационализированная постояннаяПланка.В комплексной форме уравнение плоской волны де Бройля для частицы может быть записано в видеiΨ(x, t) = Ae−i(ωt−kx) = Ae− ~ (Et−px) .(1.2)√Здесь A — амплитуда волны; k = 2π= ~p — волновое число; i = −1 —λБмнимая единица.

Начальная фаза волны в (1.2) выбрана равной нулю.Волны де Бройля можно назвать волнами материи. По физическомусмыслу этих волн вероятность обнаружения частицы в некоторой области пространства тем больше, чем больше квадрат амплитуды волны деБройля, т.е. чем больше её интенсивность.Волны де Бройля могут отражаться, преломляться, интерферироватьдруг с другом, испытывать дифракцию при взаимодействии с неоднородностями.

В этом смысле, например, можно говорить о дифракции частици наблюдать дифракционные эффекты в экспериментах с движущимисячастицами.Один из первых опытов по наблюдению дифракции электронов накристалле (рис. ???I.I, где 1 — электронная пушка; 2 — детектор отражённых электронов) был выполнен в 1927 г. К. ДЭВИССОНОМ и Л. ДЖЕРМЕРОМ;в нём разогнанные в электронной пушке электроны падали на кристаллникеля под некоторым углом скольжения θ . Как показал опыт, резкое увеличение числа отражённых от кристалла и попадающих в детектор электронов наблюдалось в тех случаях, когда выполнялось условиеВолновые свойства частиц.

Гипотеза де Бройля4АТОМНЫЕ ПЛОСКОСТИКРИСТАЛЛРис. 1. 1.1Вульфа-Брегга2d sin θ = nλБ ,n = 1, 2, . . . ,(1.3)соответствующее условию усиления вторичных электронных волн,отражённых от различных атомных слоев плоскостей. В формуле (??)d — расстояние между атомными плоскостями, проходящими через узлы кристаллической решётки, а целое число n — порядок максимумаотражения.В представленной схеме опыта основная система атомных плоскостей, для которых атомы кристалла расположены наиболее густо, былапараллельна отшлифованной поверхности кристалла.

В общем случае,однако, атомные плоскости могут располагаться под некоторым углом кповерхности кристалла. Тогда в формуле (??) угол θ следует рассматривать как угол скольжения пучка падающих электронов по отношению ксистеме атомных плоскостей, отражающих волны де Бройля.1.1Примеры решения задач☞ Задача.1.1. Получить выражение для длины волны де Бройля релятивистской частицы, обладающей кинетической энергией EK . При каких значениях EK ошибка в определении длины волны де Бройля понерелятивистской формуле не превышает одного процента: а) для электрона, б) для протона?Решение. Связь между импульсом нерелятивистской частицы p и еёкинетической энергией EK имеет вид: p2 = 2m0 EK .

Для релятивистскойВолновые свойства частиц. Гипотеза де Бройля5частицы, движущейся со скоростью, сравнимой со скоростью света ввакууме c, эта связь выражается формулой p2 c2 = EK (EK +2m0 c2 ). Тогдав соответствии с формулой (??) находим длину волны де Бройля.Для нерелятивистской частицыλБ =2π~2π~=√p2m0 EK(1.4)Для релятивистской частицы(p)λБ2π~2π~=√=p2m0 EKsEK1+2m0 c2(1.5)Относительная ошибка расчётов по этим формулам(p)λБ − λ Бε==1−λБsEK1+2m0 c2(1.6)Отсюда находим значение кинетической энергии частицы, для которого расчёт по нерелятивистской формуле приводит к относительнойошибке ε,"#12EK (ε) = 2m0 c−1 .(1.7)(1 − ε)2Для малых ε 1 получаем EK (ε) ≈ 4εm0 c2 = 4εE0 , где E0 = m0 c2 —энергия покоя частицы.

В частности, для электрона E0 = 0.511 МэВ, адля протона E0 = 938.2 МэВ. Поэтому вплоть до значений кинетическойэнергии EK = 20.4 кэВ для электрона и EK = 37.5 МэВ для протона прирасчёте длины волны де Бройля по нерелятивистской формуле относительная ошибка расчёта не превышает одного процента.☞ Задача.1.2 Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля стала равной 10−10 м?☞ Решение.Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U , приобретает кинетическую энергию EK = eU . Используянерелятивистскую формулу для длины волны де БройляλБ =2π~2π~2π~=√=√,p2m0 EK2m0 eU(1.8)возможность применения которой можно обосновать расчётом, получимU=2π 2 ~2.m0 eλ2Б(1.9)Волновые свойства частиц. Гипотеза де Бройля6Подставляя числовые значения, находим U = 150 В.Так как значение кинетической энергии электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 150 В, составляет 150 эВ, то на основанииоценок, полученных в задаче (?????I.I), можно сделать вывод о правомерности использования нерелятивистской формулы для длины волны деБройля в этой задаче.☞ Задача.1.3.

Электрон с кинетической энергией EK = 100 эВ извакуума попадает в металл, внутренний потенциал которого Ui = 10 В.Найдите показатель преломления металла ne для электронной волны деБройля.☞ Решение.. При попадании электрона в металл его потенциальная энергия уменьшается на величину, равную eUi . Поэтому из законасохранения энергии следует, что в металле кинетическая энергия элек(1)трона увеличится и станет равной EK = EK + eUi .Длина волны де Бройля нерелятивистского электрона в вакууме (см.задачу 1.1) определяется соотношениемλБ = √2π~.2m0 EK(1.10)При попадании электрона в металл длина волны де Бройля уменьшаетсяи становится равной2π~2π~(1)λБ = q=√.(1)2m0 EK + eUi2m0 EK(1.11)Теперь, используя аналогию из волновой оптики, определим показательпреломления металла для электронной волны де Бройля через отношениедлин волнsλБeUi.(1.12)ne = (1) = 1 +EKλБДля данных из условия задачи находим, что ne = 1.05.☞ Задача.1.4.

Пучок нерелятивистских электронов падает подуглом скольжения θ = 30◦ на грань монокристалла с расстоянием междуатомными плоскостями d = 2.4−10 м. Определите значение первой ускоряющей разности потенциалов U1 , при которой наблюдается интенсивноеотражение электронов от кристалла.☞ Решение.Считая, что система атомных плоскостей, от которыхотражаются электронные волны де Бройля, параллельна поверхностиВолновые свойства частиц. Гипотеза де Бройля7монокристалла, запишем условие (??) максимума отражения электроновнов от кристалла для n-го порядка отражения2d sin θ = nλБ .(1.13)Для длины волны де Бройля электронов, ускоренных разностью потенциалов U , можно записать выражение (см.

решение задачи 1.2)λБ = √2π~.2m0 eU(1.14)Поэтому в случае интенсивного отражения электронов от кристалла n-гопорядка они ускоряются разностью потенциаловUn =n 2 π 2 ~2.2d2 m0 e sin θ(1.15)Отсюда минимальное значение ускоряющей разности потенциалов соответствует n = 1 и составляет U1 = 26 В для данных из условия задачи.☞ Задача.1.5. Пучок нерелятивистских электронов, прошедшихускоряющую разность потенциалов U = 180 В, падает на монокристаллпод углом α = 75◦ к его поверхности.

В направлении, составляющемугол β = 55◦ с поверхностью кристалла, наблюдается максимум отражения электронов четвёртого порядка. Найдите расстояние между отражающими атомными плоскостями кристалла при условии, что падающийи отражённый пучки лежат в одной плоскости, перпендикулярной к поверхности кристалла.☞ Решение.Длину волны де Бройля для электронов, прошедшихускоряющую разность потенциалов U , определим по формулеλБ = √2π~,2m0 eU(1.16)полученной при решении задачи 1.2. В рассматриваемом случае, когдаα 6= β, система отражающих атомных плоскостей не параллельна поверхности кристалла (рис.

2, где 1 — падающий электронный пучок; 2 — отражённый электронный пучок; 3 — отражающая плоскость кристалла).С учётом зеркального отражения волн от атомных плоскостей находим,что атомные плоскости должны быть перпендикулярны биссектрисе, делящей пополам угол у между падающим и отражённым электроннымиСоотношения неопределенностей Гейзенберга8αβγРис. 2. 1.2пучками. Из рис.

2 видно, что угол между падающим электронным пучком и системой отражающих атомных плоскостейθ=π γα+β− =.222(1.17)Поэтому если отражение от этой системы атомных плоскостей соответствует дифракционному максимуму n-го порядка, то выполняетсяусловие (??) Вульфа-Брэгга 2d sin θ = nλБ , которое можно записать ввидеα+βn·2π~=√.(1.18)2d sin22m0 eUОтсюда находим искомое межплоскостное расстояниеd=sinnπ~√.2m0 eUα+β2(1.19)Выполняя расчёт по этой формуле, получаем d = 2,1 · 10−10 м.2Соотношения неопределенностей ГейзенбергаВ 1927 г. В. ГЕЙЗЕНБЕРГ установил, что при наличии у частиц волновыхсвойств существует связь между неопределенностями координат и соот-Соотношения неопределенностей Гейзенберга9ветствующими неопределенностями компонент импульса частицы.