Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая статистика Ферми-Дирака. Бозе-газ, страница 3

При нагревании вырожденного газа лишь очень незначительная часть электронов изменяет свою энергию. Это те электроны, энергия которых лежит в интервале (EF(0) – kT, EF(0)). Так как вплоть до температуры плавления металла выполняется условиеkT<<EF(0),то доля электронов, изменяющих свою энергию при нагреве металла, оказывается очень малой.Поэтому средняя энергия электронов при изменении температуры меняется столь незначительно, что этими изменениями можно пренебречь и считать, что< E >≈3EF ( 0 ) ,5т.е.

что <E> не зависит от температуры.Таким образом, из квантовой теории следует, что электронный газ в металле, в отличие от клас3сического газа, для которого < E > КЛ = kT , не обладает теплоемкостью. Этот результат нахо2дится в соответствии с экспериментальными данными по теплоемкости твердых тел.Задача 6. Оцените минимальную дебройлевскую длину волны свободных электронов в металлепри T=0, считая, что металл содержит по одному свободному электрону на атом, а его решеткаявляется простой кубической с периодом a.Решение.

Поскольку дебройлевская длина волны λБ частицы связана с ее импульсом p соотно2π"шением λ Б =, тоp10λ Б min =2π"pmaxМаксимальным импульсом при T=0 будут обладать электроны с энергией, равной EF(0). Такимобразом,1pmax = ( 2m0 EF ( 0 )) 2 .Подставляя в это выражение значение EF(0), определяемое соотношением (3), получаем12 21"22233π=π"pmax =  2m03n3n.()()2m0Поскольку кристаллическая решетка металла является простой кубической с периодом a, то1n= 3 .aВ силу этого1"2 3pmax = 3π .aСледовательно, минимальная дебройлевская длина волны свободных электронов в металле приT=0 равна2π"2πaλ Б min ==≈ 2a .11"2 32 3(3π ) (3π )aПолученный результат означает, что длина волны де Бройля свободных электронов в металлепревышает среднее расстояние между электронами. Это служит еще одним подтверждениемтого, что газ свободных электронов в металле является вырожденным.Задача 7.

Найдите среднюю скорость свободных электронов в металле при T=0, если энергияФерми для этого металла EF(0)=6 эВ.Решение.Способ 1. Воспользуемся функцией распределения электронов по энергиям F(E). Скорость свободных электронов в металле v связана с их кинетической энергией E соотношением( )2E2=E.m0m0Среднее значение скорости электронов может быть получено с помощью выражения (8), если внем положить f(E)=v(E):∞12 2E∫0 m0 F ( E ) dE< v >=.∞∫ F ( E ) dEv=0Так как при T=0 функция распределения F(E) является ступенчатой функцией (см. (14)), то, заменяя верхний предел в интегралах на EF(0), получаемEF ( 0 )2< v >=m0∫031212m 2E ⋅ 2 30 E 2 dEπ"EF (0 )3121E 02 2 ( F ( ))3 2 EF ( 0 ).==3m0 24m02( EF ( 0 ) )32m02 2∫0 π2 "3 E dEПоскольку при абсолютном нуле температуры максимальная скорость электронов112 EF ( 0 )v max =,m0то3v max .4Подставляя численные значения EF(0) и m, получаем<v>=1,1⋅106 м/с.Способ 2.

Воспользуемся функцией распределения электронов по скоростям F(v). Тогда< v >=∞< v >=∫ v ⋅ F ( v )dv0,∞∫ F ( v ) dv0где F(v), согласно (15), при T=0 имеет видИнтегрируя, получаем m03 2v , v < v maxF ( v ) =  π 2 "3. 0,v > v maxvmax1 4v max3< v >= 0vmax=4= v max .1 32v max 4vdv∫3∫v ⋅ v 2 dv0∆Nсвободных электронов в металле, энергия которыхNотличается от энергии Ферми не более чем на η=1,0 %, если температура металла T=0.Решение. Число электронов dN(E), энергия которых лежит в интервале от E до E+dE, равноdN(E)=V⋅dn(E),где V – объем металла. Принимая во внимание выражение для F(E) (14), находим, чтоЗадача 8.

Найдите относительное число32m 2 1dN = V 2 30 E 2 dE .π"Относительное число таких электронов определяется выражением3dN ( E ) dN ( E )2m 2 1== 2 3 0 E 2 dE .NV⋅nπ"nПоскольку при T=0 энергия электронов E≤EF, то искомая величина получается интегрированием данного выражения по энергии в пределах от EF(1-η) до EF33FdN ( E )2m02 12∆N2 2m02=∫= ∫=EdEπ2 "3nNN3 π 2 "3 nEF (1−η)EПодставляя сюда значение EF, определяемое соотношением (3)EF =получаем2"223π2n,()2m03∆N= 1 − (1 − η) 2 .N332 E2 .−−η11() F12Поскольку в задаче имеется малый параметр (η=0,01<<1), то ответ можно существенно упростить.

Используя разложение в ряд Тейлора3(1 − η)2 ≈ 1 −3η,2получаем∆N 3= η = 0 ,015 .N2Задача 9. Найдите коэффициент сжимаемости (коэффициент упругости) электронного газа вмеди при температуре T=0 K.Решение. Коэффициент сжимаемости, или упругости газа, характеризует относительное изменение объема газа при изменении давления и определяется выражениемd (ln V )1 dV=−,V dpdpгде V – объем газа, p – давление. Поскольку число частиц газа N остается постоянным, то присжатии газа его концентрация будет возрастать, причемNn = , ln V = ln N − ln n, где ln N = const .VВ соответствии с этимd (ln V ) d (ln n )α=−=.dpdpИз кинетической теории известно, что давление, которое оказывает газ на стенку, определяетсясредней энергией поступательного движения частиц этого газа <E>2p= n< E >.3Для вырожденного электронного газа при T=0 K (см.

задачу 5)3< E >= EF (0 ) ,5или, с учетом (3)23 "22< E >=3π n 3 .5 2m0Поэтому зависимость давления электронного газа p от его концентрации n при T=0 имеет вид22 52 3 "21 "222 3 33p= n(3π n ) = 5 m (3π ) n .3 5 2m00Отсюдаα=−()3332 5 m02 355,n = 5 2 (3π )  p = Ap "где A=const. Таким образом,3ln n = ln A + ln p .5Подставляя это соотношение в выражение для коэффициента сжимаемости, получаемd (ln n ) 3 d (ln p ) 3 1α===.dp5 dp5pВоспользовавшись найденной выше зависимостью p от n, приходим к выражению−152 52−3  1 "23m02 3 32 −33α= (3π ) n  = "2 (3π ) n .5  5 m013Коэффициент сжимаемости электронного газа можно также выразить через энергию ФермиEF(0).

С учетом (3) получаем5−36π2 "32 .α=0E()()F3(8m0 )2Взяв значение энергии Ферми для меди EF(0)=7,1 эВ=1,14⋅10-18 Дж, получаем численное значение для коэффициента сжимаемости электронного газа в меди36 (3,14 ) (1, 05 ⋅10−35 )32α=3−31 2(8 ⋅ 9,1⋅10 )(1,14 ⋅10−18 )−52= 1,33 ⋅10 −11 Па −1 = 1,35 ⋅10 −6 атм −1 .Отметим, что давление электронного газа является одним из основных факторов, определяющих сжимаемость металлов.5. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ1.

Концентрация свободных электронов в металлическом натрии n=2,5⋅1023 см-3. Воспользовавшись уравнением для давления идеального газа, найдите давление электронного газа в натрии при T=0.5"22Ответ: p =(3π n )3 = 5 ГПа .15π2 m02. Часто при расчетах пренебрегают различием значений EF(T) и EF(0). Оцените, на сколькопроцентов отличается EF(T) от EF(0) для вольфрама при температуре, близкой к его температуре плавления (T=3643 K). Считайте, что на каждый атом вольфрама приходится два свободныхэлектрона.EF (T ) − EF ( 0 )= 0 ,1 % .Ответ:EF ( 0 )LiCs3.

Найдите отношение концентрации свободных электронов в литии и цезии n /n , при T=0,если энергии Ферми в этих металлах соответственно равны EFLi = 4 , 72 эВ и EFCs = 1,53 эВ .3n Li  EFLi  2Ответ: Cs =  Cs  ≅ 5,5 .n EF 4. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при T=0,больше в алюминии, чем в меди, если энергии Ферми в этих металлах соответственно равныEFAl = 11, 7 эВ , EFCs = 7 эВ ?3βAl M ρ  E Al  2Ответ: Cu = Al ⋅ Cu  FCu  ≅ 3 .βM Al ρAl  EF 5.

Какая часть свободных электронов в металле при T=0 имеет кинетическую энергию, превышающую половину максимальной?Ответ:∆N≅ 0 , 65 .N6. Металл находится при температуре T=0. Найдите, во сколько раз число электронов с кинетической энергией от EF до EF больше числа электронов с энергией от 0 до EF .22Ответ: В()8 − 1 раз.147. Зная распределение F(E) электронов по энергиям, найдите суммарную кинетическую энергию свободных электронов в 1 см3 золота, полагая, что на каждый атом золота приходится одинсвободный электрон.5" 2  2 ρAu N A  3Ответ: E = 3π = 31,3 кДж .10π2 m0 M Au 8.

Зная распределение F(E) электронов в металле по энергиям, найдите распределение F(p)электронов по импульсам.1p2FОтвет: F ( p ) = 2 3.π" p 2 /2m 0 − EF exp  +1kT9. Металлический брусок объемом V находится при температуре T=0. Найдите число ∆N свободных электронов, импульсы которых отличаются от максимального импульса pmax не более,чем на η⋅pmax, где 0≤η≤1.

Энергия Ферми данного металла равна EF.1 − (1 − η3 )  2m E  20 FОтвет: ∆N = V.223π"310. Металл находится при температуре T=0. Найдите, во сколько раз число электронов со скоvvростями от max до v max больше числа электронов со скоростями от 0 до max .22Ответ: В 7 раз.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Иродов И. Е. Задачи по общей физике. М.: ЗАО «Издательство БИНОМ», 1998.

448 с.2. Иродов И. Е. Задачи по квантовой физике. М.: Высш. шк., 1991. 175 с.3. Чертов А. Г., Воробьев А. А. Задачи по физике. М.: Высш. шк., 1988. 527 с.4. Мартинсон Л. К. Методические указания к решению задач по курсу общей физики. Разделы«Элементы квантовой механики», «Физика твердого тела». М.: МВТУ им. Н. Э. Баумана, 1983.64 с.5.

Мартинсон Л. К., Смирнов Е. В. Методические указания к решению задач по курсу общейфизики. Раздел «Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики». М.: Издво МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 32 с.6. Мартинсон Л. К., Смирнов Е. В. Методические указания к решению задач по курсу общейфизики. Раздел «Измерение физических величин в квантовых системах». М.: Изд-во МГТУ им.Н. Э. Баумана, 2002.

20 с..