Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая статистика Ферми-Дирака. Бозе-газ (1076127), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

область, вкоторой0< nФ− Д< 1.Именно в области, энергетическая ширина которой порядка нескольких kT, происходит переходот заполненных уровней к пустым. При низких температурах этот переход происходит оченьрезко. Чем выше температура, тем больше ширина переходной области и тем более полого идетниспадающий участок кривой 2.Квантовые системы, свойства которых отличаются от свойств классических системвследствие взаимного квантово- механического влияния частиц, обусловленного неразличимостью одинаковых частиц, называются вырожденными системами. Статистические свойства вырожденных систем описываются распределениями Ферми – Дирака (для фермионов) и Бозе –Эйнштейна (для бозонов), тогда как невырожденные системы классических частиц подчиняются статистике Максвелла – Больцмана.Как следует из вида функции распределения Ферми – Дирака (1), статистические свойства квантовых систем в существенной степени зависят от температуры. При малых энергияхчастиц, для которых значение параметра (E – EF)/kT невелико, т.

е.(E – EF)/kT <1,квантовая система является вырожденной. При достаточно больших значениях энергии, для которых(E – EF)/kT>>1,квантовое распределение Ферми – Дирака совпадает с классическим распределением Максвелла – Больцмана. В этом случае вырождение снимается и квантовая система ведет себя как невырожденная классическая система частиц.5Температура, ниже которой начинают проявляться квантовые свойства системы, обусловленные тождественностью частиц, называется температурой вырождения.

Температура вырождения для невзаимодействующих ферми- частиц (идеального ферми- газа) называется температурой Ферми и определяется как2E (0 )"2=TF = F3π2 n 3 .(5)k2km0Как следует из (5), температура вырождения тем больше, чем меньше масса частиц и чем больше их концентрация. Поэтому TF особенно велика у электронного газа в металлах. Действительно, масса электронов очень мала (m0=me=9,1⋅10-31 кг), а концентрация электронов в металлах достаточно велика (n~1028÷1029 м -3), что приводит к значению TF ~ 104 K. Таким образом,даже при температурах, близких к температуре плавления металла (~ 103 K), газ электронов вметалле остается вырожденным.Для обычных газов, состоящих из атомов или молекул, являющихся ферми- частицами,температура вырождения близка к абсолютному нулю.

Поэтому такие газы во всей областитемператур вплоть до температуры сжижения обладают свойствами классического газа.()3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТИЦ ПО ЭНЕРГИЯМВ статистической физике, изучающей свойства систем, состоящих из большого числачастиц, важное значение имеет понятие функции распределения частиц по энергиям F(E). Обозначим через dn число частиц в единице объема, энергия которых заключена в бесконечно узком интервале энергий от Е до Е+dE.

Тогда функция распределения частиц по энергиям определяется соотношением(6)dn = F ( E ) dE.Число частиц в единице объема, энергия которых находится в конечном интервале от Е1 до Е2,получается интегрированием (6):n ( E1 ,E2 ) =E2∫ F ( E )dE.(7)E1Пусть n – концентрация частиц, т. е. полное число частиц в единице объема, тогда, согласно (7),∞n = n ( 0, ∞ ) = ∫ F ( E )dE.0Если функция F(E) известна, то можно найти среднее значение любой физической величины f,зависящей от энергии частицы Е:∞< f >=∫ f ( E )F ( E ) dE0∞∫ F ( E ) dE=∞1f ( E ) F ( E ) dE.n ∫0(8)0Так, например, среднее значение энергии частиц системы равно∞1(9)< E >= ∫ EF ( E )dE.n0В классической статистике Максвелла – Больцмана, которая применяется к классическому газу, функция распределения частиц по энергиям F(E) зависит от температуры газа Т иимеет видF ( E ) = 2n ( πk T313 −2)E1−kT2E e.(10)В квантовой статистике Ферми – Дирака функция распределения представляет собойпроизведение двух функций:6F ( E ) = g ( E ) < n >Ф − Д ( E ,T ) .(11)Здесь < n >Ф− Д ( E,T ) - функция распределения Ферми – Дирака (9), а g(E) – плотность квантовых состояний, которая определяется выражением32m 2 1(12)g ( E ) = 2 30 E 2 ,π"где m0 – масса частицы.

Плотность квантовых состояний g(Е) определяет число квантовых состояний в единице объема в единичном интервале энергий. Из (12) следует, что плотность12квантовых состояний растет с ростом энергии ферми- частиц Е пропорционально E .Таким образом, функция распределения частиц по энергиям F(E), согласно (11), равнапроизведению плотности квантовых состояний g(E) на вероятность того, что квантовое состояние с энергией Е занято частицами при температуре Т:F (E) =3202 32mπ"12EE − EFexp  kT +1.(13)При Т=0 функция распределения Ферми – Дирака <n>Ф-Д является ступенчатой функцией энергии Е (см. (4)), следовательно,312 2m0 E 2 при E < E ( 0 )(14)FF ( E ) =  π 2 "3.0 при E > EF ( 0 )В статистической физике наряду с распределением частиц по энергиям F(E) используется также распределение частиц по скоростям F(v) (или по импульсам F(p)).

Соответствующиефункции распределения F(E) и F(v) связаны соотношениемdn = F ( E ) dE = F ( v ) .Учитывая, чтоE=m0 v 2и dE = m0 vdv ,2можно от функции распределения F(E) перейти к функции распределения F(v):m3v2F (v) = 2 0 3.π" m0 v 2 − 2 EF exp  +12kTПри Т=0 это распределение принимает вид m03 2v , v < v maxF ( v ) =  π2 "3,0 ,v > v max(15)(16)где vmax максимальная скорость электронов при Т=0, определяемая выражением2 EF ( 0 )v max =.m04.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 1. Идеальный ферми- газ концентрации n состоит из частиц массы m0. При какихтемпературах Т будут проявляться квантовые свойства газа, обусловленные тождественностьюего частиц, т. е. газ будет вырожденным?Решение. Решим эту задачу двумя способами.7Способ 1. Ферми- газ будет вырожденным, если его температура Т будет ниже температуры вырождения TF, определяемой соотношением (5), т. е.2"2T<3π2 n )3 .(2km0Этот способ решения позволяет сразу получить ответ, однако физическое содержание задачиболее подробно раскрывается во втором способе решения.Способ 2.

Газ является вырожденным, если среднее расстояние между его частицами абудет порядка или меньше средней длины волны де Бройля частиц λБ, т. е.a<λБ.Именно в этом случае проявляются квантовые свойства частиц, и одинаковые частицы становятся неразличимыми.Поскольку−2π"1a = n 3 , а λБ =( 2m0 E )12,где Е – средняя энергия частиц, то это условие принимает видn−13<2π"1( 2m0 E )2или22π 2 " 2 3n .m0Поскольку среднее значение энергии частиц ферми- газа при температуре ТE>kT,то для оценки Т получаем соотношениеE<T<22 π2 " 2 3n .km0Отметим, что найденное значение T совпадает по порядку величины с температурой вырождения, определяемой соотношением (5).Задача 2. Оценить энергию Ферми EF для меди, считая, что на каждый атом меди приходитсяпо одному свободному электрону.Решение.

Энергия Ферми при не очень высоких температурах зависит от температуры слабо.Так, согласно (9), при kT<< EF . π2  kT 2 EF ≅ EF (0 ) 1 −  . 12  EF (0 )  Поскольку неравенство kT<< EF(0) выполняется в широком диапазоне температур вплоть дотемпературы плавления меди, то с достаточно точностью можно считать, что2"22EF ≅ EF ( 0 ) =(3π n )3 .2mДля того чтобы оценить величину EF, нужно знать концентрацию свободных электронов n. Поусловию задачи эта концентрация равна концентрации атомов меди nат. Найдем ее.Относительная атомная масса меди Ar=63,5, плотность ρ=8,93⋅103 кг/м3, молярная массаМ=0,0635 кг/моль.

Число молей, содержащихся в единице объема веществ, равноρν=.MКоличество частиц в одном моле определяется числом Авогадро NA, следовательно, число атомов меди в единице объема, т.е. концентрация атомов меди nат, равна8ρNA .MТакой же будет согласно условию задачи и концентрация электронов n.В итоге получаемnат = νN A =2" 2  2 ρN A  3EF = 3π .2m0 M Подставляя численные значения, находим величину энергии Ферми медиEF=1,13⋅10-18 Дж=7,1 эВ.Задача 3.

Сколько свободных электронов приходится на атом калия, если энергия Ферми калияEF=2,14 эВ? Плотность калия ρ=862 кг/м3.Решение. Пусть на один атом калия приходится η свободных электронов. Тогда концентрациясвободных электронов n и концентрация атомов калия nат связаны соотношением n=nатη . Воспользовавшись решением предыдущей задачи, запишем22"2" 2  2 ρN A  323EF =(3π n ) = 2m  3π M η  .2m00Выражая отсюда η, находим3M  2m02η= 2 2 EF  .2π ρN A  "С учетом численных значений, входящих в это выражение величин, получаем η=1,07.Задача 4. Определить максимальную скорость vmax электронов в металле при T=0, если энергияФерми для него EF(0)=5 эВ.Решение. Как уже отмечалось, газ, подчиняющийся статистике Ферми – Дирака (вырожденныйгаз), отличается от классического газа тем, что при абсолютном нуле температуры движениечастиц в нем прекращается.

Остановка всех частиц Ферми-газа означала бы, что в квантовомсостоянии с энергией E=0 находилось бы большое число частиц, что противоречит принципуПаули.Так как максимальная энергия частиц вырожденного электронного газа при T=0 равнаэнергии Ферми2m0 v max= EF ( 0 ) ,2то для максимальной скорости электронов υmax получаемv max =2 EF ( 0 ).m0Подставляя численные значения, находимvmax=1,3⋅106 м/с.Такое большое значение скорости электронов при T=0 служит еще одним подтверждением того, что свойства вырожденного электронного газа существенно отличаются от свойств классического невырожденного газа.Задача 5.

До какой температуры нужно нагреть классический электронный газ, чтобы средняяэнергия его электронов оказалась бы равной средней энергии свободных электронов в серебрепри T=0? Энергия Ферми для серебра EF(0)=5,5 эВ.Решение. Среднее значение энергии свободных электронов в металле определяется в соответствии с (8) и (9) выражением9∞< E >=∫ Eg ( E ) < n >Ф-ДdE.0∞∫ g (E ) < n >Ф-ДdE0Поскольку T=0, то функция Ферми – Дирака <n>Ф-Д представляет собой ступенчатую функцию(4), равную единице при E<EF(0) и нулю при E>EF(0). Поэтому интегрирование по энергии следует проводить лишь в интервале (0, EF(0)).

Плотность квантовых состояний g(E) в соответствии с (12) есть12322m= const .π2 "3Подставляя <n>Ф-Д и g(E) в выражение для <E>, получаемg( E ) = CE , где C =E F (0 )C<E>3∫E 2 dE∫E 2 dE0E F (0 )C13= EF ( 0 ) .50Средняя энергия электронов в случае классического электронного газа3< E > КЛ = kT2Поскольку по условию задачи <E>=<E>КЛ, то температура Т, при которой выполняется это равенство, равна2 EF ( 0 )T=.5 kПодставляя в это выражение значение EF(0) для серебра, равное 5,5 эВ, получаемТ≅2,4⋅104 К.Отметим еще одно важное обстоятельство.

Характеристики

Список файлов книги