Интегралы 7 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-7Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:. Получаем:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-7Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Обозначим:Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Получаем:U.rutiGTОбозначим:осanВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-7Условие задачиСкачРешениеанВычислить неопределенный интеграл:Замена:Получаем:.

Получаем:U.ruОбратная замена:Задача Кузнецов Интегралы 4-7tiGTУсловие задачиВычислить определенный интеграл:аносanРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 5-7Условие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеПод интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:U.ruПолучаем:antiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:аносПрибавим к третьей строке вторую:СкачПрибавим к третьей строке первую:Прибавим ко второй строке первую умноженную на 4:U.rutiGTТогда получаем:Задача Кузнецов Интегралы 6-7Вычислить неопределенный интеграл:осРешениеanУсловие задачиСкачанРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:Прибавим к четвертому уравнению второе:СкачТогда:анU.ruосanПрибавим к четвертому уравнению третье:tiGTПрибавим к третьему уравнению первое:Задача Кузнецов Интегралы 7-7Условие задачиНайти неопределенный интеграл:U.ruРешениеantiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачаносВычтем из третьего уравнения второе умноженное на 2:Прибавим к третьему уравнению второе:U.rutiGTаносanТогда:Задача Кузнецов Интегралы 8-7Условие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеВоспользуемся универсальной подстановкой:U.ruОткуда:tiGTПодставим:СкачаносanРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 9-7tiGTУсловие задачиВычислить определенный интеграл:СкачаносanРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 10-7Условие задачиВычислить определенный интеграл:осantiGTU.ruРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 11-7Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Замена:U.rutiGTПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 12-7Условие задачиanВычислить определенный интеграл:СкачПолучаем:анЗамена:осРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 13-7U.ruУсловие задачиНайти неопределенный интеграл:Так, как- целое, то используем замену:, где- знаменатель дроби.СкачаносТ.е.

в нашем случае замена имеет вид:Получаем:, откудаanПод интегралом дифференциальный биномtiGTРешениеU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 14-7Условие задачиРешениеВ точкахиграфик функцииСкачаносanпересекает ось абсцисс, так какЧертёж искомой области будет таким:tiGTВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:Задача Кузнецов Интегралы 15-7Условие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.antiGTU.ruРешениеаносНайдем точки пересечения:Так как функцииотрезок длиннойСкачили. Возьмемна отрезкеВычисляем площадь:периодичны (с периодом. Тогда:.), то берем любойU.rutiGTanЗадача Кузнецов Интегралы 16-7осУсловие задачиВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.СкачанРешениеНайдем точки пересечения:U.ruБудем рассматривать первый лепесток.

Очевидно общая площадь будет в 3 раза больше.tiGTИ для первого лепестка:аносanТогда искомая площадь:Задача Кузнецов Интегралы 17-7СкачУсловие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.РешениеДлина дуги кривой, заданной уравнением, определяется формулойU.ruаносanТогда по вышеприведенной формуле получаем:tiGTНайдем производную данной функции:Задача Кузнецов Интегралы 18-7Условие задачиСкачВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.РешениеДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойU.ruНайдем производные подля заданной кривой:осantiGTПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 19-7анУсловие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.СкачРешениеДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулойНайдемU.rutiGTПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 20-7anУсловие задачиВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.СкачаносРешениеВ сечении данной фигуры плоскостьюПлощадь эллипса описываемого формулой:Найдем радиуса эллипса:находится эллипс:равнаU.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 21-7Условие задачиanВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.СкачаносРешениеПоскольку осьявляется осью вращения, то объём находится по формуле:tiGTНайдем объём тела вращения:Воспользуемся формулой интегрирования по частямanОбозначим:осВ этом случае получим:СкачанОпять воспользуемся формулой интегрирования по частям:Получим:Теперь найдем нижнийU.ruНайдем пределы интегрирования: Из условия задачи уже имеем:предел:.Задача Кузнецов Интегралы 22-7tiGTU.ruУсловие задачиВычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочнойтрапеции (см. рис.). Плотность водыравным 10 м/с2.Указание: Давление на глубине равном,м..anм,кг/м3, ускорение свободного паденияаносРешениеСкачподобенположить.