Интегралы 6 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-6Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:. Получаем:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-6Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Обозначим:Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Получаем:U.rutiGTОбозначим:осanВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-6анУсловие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеЗадача Кузнецов Интегралы 4-6.

Получаем:Условие задачиU.ruВычислить определенный интеграл:Задача Кузнецов Интегралы 5-6Условие задачианРешениеосВычислить неопределенный интеграл:antiGTРешениеСкачПод интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:Получаем:Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTТогда получаем:Задача Кузнецов Интегралы 6-6Вычислить неопределенный интеграл:осРешениеanУсловие задачиСкачанРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:Вычтем из третьего уравнения четвертое:U.rutiGTПрибавим к третьему уравнению первое умноженное на -4:СкачТогда:аносanПрибавим к второму уравнению первое умноженное на -5:Задача Кузнецов Интегралы 7-6Условие задачиНайти неопределенный интеграл:U.ruРешениеantiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:осВычтем из второго уравнения первое умноженное на 4:СкачанВычтем из третьего уравнения первое умноженное на 4:Вычтем из четвертого уравнения третье умноженное на 2:Прибавим к четвертому уравнению второе:U.rutiGTanСкачаносТогда:Задача Кузнецов Интегралы 8-6Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruРешениеВоспользуемся универсальной подстановкой:tiGTОткуда:осanПодставим:СкачанРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:анU.ruосantiGTПрибавим ко второму уравнению первое:Задача Кузнецов Интегралы 9-6Условие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеU.ruВоспользуемся подстановкой:antiGTОткуда:СкачаносПодставим:Задача Кузнецов Интегралы 10-6U.ruУсловие задачиВычислить определенный интеграл:СкачаносantiGTРешениеU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 11-6Условие задачиВычислить определенный интеграл:tiGTРешениеСкачЗамена:анПолучаем:осanЗамена:Получаем:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 12-6Условие задачиВычислить определенный интеграл:anРешениеСкачПолучаем:аносЗамена:Задача Кузнецов Интегралы 13-6U.ruУсловие задачиНайти неопределенный интеграл:Так, как- целое, то используем замену:, где- знаменатель дроби.СкачаносТ.е.

в нашем случае замена имеет вид:Получаем:, откудаanПод интегралом дифференциальный биномtiGTРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 14-6U.ruУсловие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:СкачаносantiGTРешениеU.rutiGTanУсловие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 15-6СкачРешениеанВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями..anТогда абсциссы точек пересечения будут:СкачаносВычисляем площадь:ГдеtiGTИз условия задачи, интервалU.ruНайдем точки пересечения:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 16-6Условие задачиtiGTВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.осanРешениеанВоспользуемся формулой вычисления площади области в полярных координатах:Очевидно, чтобы получить площадь всей фигуры, достаточно вычислить площадь приСкачи умножить ее на 3.Задача Кузнецов Интегралы 17-6Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.Решение, определяется формулойU.ruДлина дуги кривой, заданной уравнениеманосanТогда по вышеприведенной формуле получаем:tiGTНайдем производную данной функции:Задача Кузнецов Интегралы 18-6Условие задачиСкачВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.РешениеДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойU.ruНайдем производные по:Задача Кузнецов Интегралы 19-6Условие задачиantiGTТогда по приведенной выше формуле имеем:РешениеосВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.СкачНайдеманДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулойПолучаем:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 20-6Условие задачиВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.осanРешениеприприСкачТо есть,анОснование рассматриваемой области - цилиндр, в которомРассмотрим поверхностьТеперь рассмотрим площадь основания и найдем объем данного тела:U.ruОтвет:Задача Кузнецов Интегралы 21-6tiGTУсловие задачиВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.СкачаносanРешениеПоскольку осьявляется осью вращения, то объём находится по формуле:Найдем пределы интегрирования: Из условия задачи уже имеем:предел:Теперь найдем нижнийU.ruantiGTНайдем объём тела, как разность объёмов двух тел вращения:осЗадача Кузнецов Интегралы 22-6СкачанУсловие задачиВычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочнойтрапеции (см.

рис.). Плотность водыравным 10 м/с2.Указание: Давление на глубине равном,м,м.кг/м3, ускорение свободного падения.положитьосанСкачподобенU.rutiGTanРешение.