Интегралы 4 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-4Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:. Получаем:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-4Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Обозначим:Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Получаем:U.rutiGTОбозначим:осanВоспользуемся формулой интегрирования по частяманЗадача Кузнецов Интегралы 3-4Условие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеЗамена:. Получаем:U.ruПолучаем:tiGTПосле обратной замены:Задача Кузнецов Интегралы 4-4Условие задачиanВычислить определенный интеграл:аносРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 5-4СкачУсловие задачиВычислить неопределенный интеграл:РешениеПод интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:U.rutiGTПолучаем:anРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:осТогда получаем:Задача Кузнецов Интегралы 6-4анУсловие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTanВычтем из третьего уравнения четвертое:аносПрибавим к третьему уравнению первое умноженное на -4:СкачПрибавим к второму уравнению первое умноженное на -5:U.ruТогда:Задача Кузнецов Интегралы 7-4Условие задачиtiGTНайти неопределенный интеграл:РешениеаносanРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачВычтем из второго уравнения первое умноженное на 2:Вычтем из четвертого уравнения второе умноженное на 2:U.rutiGTВычтем из третьего уравнения второе умноженное на 2:СкачТогда:аносanВычтем из третьего уравнения первое:Задача Кузнецов Интегралы 8-4U.ruУсловие задачиВычислить определенный интеграл:Воспользуемся универсальной подстановкой:anОткуда:tiGTРешениеСкачаносПодставим:Задача Кузнецов Интегралы 9-4Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 10-4antiGTРешениеосУсловие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:СкачЗамена:анРешениеосВычислить определенный интеграл:Получаем:tiGTU.ruУсловие задачиanЗадача Кузнецов Интегралы 11-4U.rutiGTЗамена:anПолучаем:Условие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 12-4СкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Замена:Получаем:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 13-4Условие задачиНайти неопределенный интеграл:anРешениеТак, как- знаменатель дробиан, гдеСкачТ.е.

в нашем случае замена имеет вид:Получаем:, откудаосПод интегралом дифференциальный бином.- целое, то используем замену:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 14-4Условие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:СкачаносanРешениеU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 15-4Условие задачиtiGTВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.осanРешениеСкачанНайдем точки пересечения:Так как функцииотрезок длинойилина отрезке. Возьмемпериодичны (с периодом. Тогда:), то берем любойи ее площадь можно посчитатьСкачаносantiGTU.ruИз рисунка видно, что область симметрична относительно осипо формуле:Задача Кузнецов Интегралы 16-4Условие задачиВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.Решениеsin 3 ≥12U.ru5≥ 3 ≥665≥ ≥18184 sin 3 ≥ r ≥ 2 6  6sin 6 62S = 6S1 = 3 ∫ 16 sin 3 − 4 d = 12 2 ∫ (1 − cos 6 )d −   = 12 2 6 −3 1818 1818 )= 18 6tiGT( 33  3 2 = 12 + = 4 += 12 − + 9 6   3 2  ед6182⋅3 Задача Кузнецов Интегралы 17-4Условие задачиan( )РешениеосВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.анДлина дуги кривой, заданной уравнениемСкачНайдем производную данной функции:Тогда по вышеприведенной формуле получаем:, определяется формулойU.rutiGTanЗадача Кузнецов Интегралы 18-4Условие задачиосВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.РешениеанДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойдля заданной кривой:СкачНайдем производные поТогда по приведенной выше формуле имеем:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 19-4Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.РешениеНайдемСкачанПолучаем:осanДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулойУсловие задачиВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.РешениеV = ∫ S ( z )dz6x2+=1 z29 − 1 4 − 1 36  36  z2= ab = 6  − 1 36 Из условия ⇒  2zS ( z ) = S элy212tiGT12U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 20-4 z2 z3V = ∫ 6  − 1dz = 6 − z  = 6 (16 − 12 − 2 + 6) = 48 (ед 3 ) 36  10866аносan12Задача Кузнецов Интегралы 21-4Условие задачиСкачВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.РешениеbV =  ∫ y 2 dxa0≤ x≤2cos x ≤ y ≤ 5 cos x2∫ (5 cos x − cos x )dx = 4 ∫ cos xdx = 4 sin x 0 200= 4 (ед 3 )tiGTV0 x = 2U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 22-4anУсловие задачиосВычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочнойтрапеции (см. рис.). Плотность водыравным 10 м/с2.Указание: Давление на глубине равном.СкачРешением,анм,подобенкг/м3, ускорение свободного падения.положитьосанСкачU.rutiGTan.