ГДЗ №2 В-15 №1-2 (15 вариант готовое ДЗ)

Задача №1 Вариант 301 Ягубов Р.Б.Дана генеральная совокупность, состоящая из случайных величин, являющихся результатаминекоторого опыта. Необходимо проанализировать данные величины, выдвинуть гипотезу о виде ихраспределения и подтвердить или опровергнуть её с определённой долей вероятности.Генеральная совокупность xn  ( x1 , x2 ,..., xn ), n  60 , её вариационный рядxn  ( x(1)  x(2)  ...  x( n ) ) имеет вид:35,576,096,587,338,063,845,576,096,797,348,14,115,666,116,817,398,284,525,746,146,817,48,324,545,746,186,887,48,414,985,876,216,897,538,51Возьмём количество разбиений равное 7-ми, тогда h 1,002,003,004,005,006,007,003,004,005,006,007,008,009,004,005,006,007,008,009,0010,002,004,0013,0018,0013,008,002,005,25,886,226,917,78,515,365,886,367,067,78,69x(n)  x(1)75,55,96,57,167,779,065,536,026,547,167,871010,030,070,220,300,220,130,033,504,505,506,507,508,509,50Для приближённого определения плотности теоретической вероятности функциираспределения, на основе данной таблицы построим гистограмму и полигон:20Ряд12015151010550Ряд1012345670,002,004,006,008,0010,0012,00По виду гистограммы мы предположим, что наша генеральная совокупность имеетнормальное распределение.( x  a )212H 0 : N (a,  ),f ( x, a ,  ) e 2 22где a  математическое ожидание, а   дисперсия нормального распределения.В качестве оценки параметра a возьмём выборочное среднее, а в качестве оценки параметра2 возьмём исправленную выборочную дисперсию:1 n1 7aˆ ( xn )  x  6.62 ˆ 2  S 2 ( xi x ) 2 ( xi*  x )2  1.85  ˆ  S  1.36n  1 i 1n  1 i 1Функция распределения с учётом найденных параметров примет вид:22( x  6.62)( x  6.62)1f ( x) e 3.69  0.29e 3.691.36 2212Критерий ПирсонаW  статистика Пирсона, имеющая распределения  2 .7(ni  ni )2ni 2W    nni  npinii 1i 1 niВероятность попадания случайной величины в интервал для нормальногораспределения описывается уравнением: x a x aP( xi    xi 1 )  Ф  i 1Ф i    x xx xzi  i,zi 1  i 1 P ( xi    xi 1 )  Ф  zi 1   Ф  zi S1S1n-2,71-1,96-1,21-0,460,281,031,78-1,96-1,21-0,460,281,031,782,53-0,50-0,48-0,39-0,180,110,350,46-0,48-0,39-0,180,110,350,460,490,020,090,210,290,240,110,031,305,2712,5217,4314,236,811,913,083,0413,5018,5911,889,402,10После расчётов приведённых в таблице получили, что Wнаб  1.59Теперь выясним, является ли Wнаб допустимой.

Пусть   0.01 - уровень значимости(вероятность совершить ошибку), в свою очередь 1    0.99P W   кр | H 0  ;W2 (r )где r - число степеней свободы, равное: r  k  1  l  7  1  2  4 W 2 (4) кр   2 (1 ) (4)   2 (0,99) (4)  13.28Мы видим, что Wнабл   кр  с надёжностью 0.99 наши экспериментальные результатыописываются нормальным распределением.Построим доверительные интервалы для параметров a и  2 :Так как параметр  2 неизвестен, то воспользуемся известной статистикой, имеющейраспределение Стьюдента с n  1степенями свободы:x assT (n  1) n; x t  (n  1)  a  x t  (n  1)Sn 1 2n 1 2t0,995 (59)  2.66; 6.43  a  7.01То есть мы получили, что a  6.62  0.39 с надёжностью 0.99Для параметра  2 возьмём статистику вида:S 2 (n  1) S 2(n  1) S 222 (n  1)  (n  1) 2 ;  2   2 (n  1)  (n  1)120,995(59)  91;20,0052(59)  36; 21.2    3.03  1.09    1.742Мы получили, что   1.36  0.38 с надёжностью 0.992Критерий КолмогороваСуть метода состоит в сравнении интегральной и эмпирической функций распределения. (t , xn )Fˆn (t , xn )  эмпирическая функция распределения.nСтатистика Колмогорова имеет вид: D( xn )  sup | Fˆ (t , xn )  F (t ) | .xR0,030,100,320,620,830,971,00Dнабл  0.94;0,010,060,200,460,740,920,980,020,940,110,150,090,050,02P( D( xn )  d кр | H1 )  0.01;d кр  0.207Видно, что гипотеза H1 не выполняется, так Dнабл  d кр  что наши экспериментальные данныеописываются нормальным законом распределения с надёжностью 0,993Задача №2 Вариант 207 Ягубов Р.Б.Дана генеральная совокупность, состоящая из случайных величин, являющихся результатаминекоторого опыта.

Необходимо проанализировать данные величины, выдвинуть гипотезу о виде ихраспределения и подтвердить или опровергнуть её с определённой долей вероятности.Генеральная совокупность xn  ( x1 , x2 ,..., xn ), n  60 , её вариационный рядxn  ( x(1)  x(2)  ...  x( n ) ) имеет вид:0,000,180,370,470,751,110,020,190,370,550,801,280,030,230,370,580,891,650,040,240,390,640,941,840,040,240,420,640,962,190,060,290,430,660,963,050,070,300,430,660,993,050,150,300,430,660,993,05Возьмём количество разбиений равное 10-ми, тогда h 123456789100,000,400,801,201,602,002,402,803,203,600,400,801,201,602,002,402,803,203,604,002418912103110,170,320,440,691,083,40x(n)  x(1)102/51/51/91/601/201/201/151/601/301/600,170,330,460,711,084,00 0.40,20,611,41,82,22,633,43,8Для приближённого определения плотности теоретической вероятности функциираспределения, на основе данной таблицы построим гистограмму и полигон:3030Ряд12525202015151010550Ряд100,00 0,40 0,80 1,20 1,60 2,00 2,40 2,80 3,20 3,60 4,00123456789По виду гистограммы мы предположим, что наша генеральная совокупность имеетэкспоненциальное распределение.H 0 : Exp (t ,  ),0, t  0f ( t ,  )    t e , t  0В качестве оценки параметра  возьмём выборочное среднее в минус первой степени:1ˆ   1.25xФункция распределения с учётом найденных параметров примет вид:0, t  0f (t , ˆ )  1,25t,t  01, 25e410Критерий ПирсонаW  статистика Пирсона, имеющая распределения  2 .n7(n  n  ) 2n2W  i i  i  n; ni  npi .nii 1i 1 niИзвестно, что вероятность попадания случайной величины в интервал для показательногораспределения описывается уравнением:P( xi    xi 1 )  F ( xi 1 )  F ( xi )0, t  00, t  0F (t , ˆ)  ˆ1,25t t,t  01  e , t  0 1  e00,40,81,21,622,42,83,23,60,40,81,21,622,42,83,23,600,3934690,6321210,776870,8646650,9179150,9502130,9698030,9816844 0,9888910,3934690,6321210,776870,8646650,9179150,9502130,9698030,9816840,9888910,9932620,3934690,2386510,1447490,0877950,053250,0322980,019590,0118820,0072070,00437123,6081614,319078,6849575,2676933,1950171,9378761,1753810,7129050,4323990,26226324,3983422,627169,3264710,1898361,2519490,516029012,624412,3126813,812967После расчётов приведённых в таблице получили, что Wнаблюд  17.06Теперь выясним, является ли Wнаблюд допустимой.

Пусть   0.05 - уровень значимости(вероятность совершить ошибку), в свою очередь 1    0.95P W   кр | H  ;W2 (r )где r - число степеней свободы, равное: r  k  1  l  10  1  1  8 W 2 (8) кр   2 (1 ) (8)   2 (0,95) (8)  15.51Мы видим, что Wнабл   кр  с надёжностью 0.95 наши экспериментальные результаты неописываются экспоненциальным законом распределением.5Критерий КолмогороваСуть метода состоит в сравнении интегральной и эмпирической функций распределения. (t , xn )Fˆn (t , xn )  эмпирическая функция распределения.nСтатистика Колмогорова имеет вид: D( xn )  sup | Fˆ (t , xn )  F (t ) | .xR0,40,70,850,8666670,90,9166670,9166670,9666670,9833331Dнабл  0.08;0,3188690,6839960,8533930,9319830,9684440,985360,9932080,9968490,9985380,9993220,0811310,016004-0,00339-0,065320,0684440,068693-0,07654-0,03018-0,01520,000678P( D( xn )  d кр | H)  0.01;d кр  0.207Видно, что гипотеза H не выполняется, так Dнабл  d кр  что наши экспериментальные данныеописываются экспоненциальным законом распределения с надёжностью 0,99.6.