Интегралы 2 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-2Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-2анУсловие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеОбозначим:. Получаем:U.ru. Получаем:tiGTВоспользуемся формулой интегрирования по частямanОбозначим:СкачаносВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-2Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:. Получаем:РешениеU.ruСпособ 1Способ 2Задача Кузнецов Интегралы 4-2tiGTУсловие задачиВычислить определенный интеграл:осanРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 5-2Условие задачиСкачРешениеанВычислить неопределенный интеграл:Под интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:Получаем:U.rutiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:Задача Кузнецов Интегралы 6-2Условие задачиanТогда получаем:анРешениеосВычислить неопределенный интеграл:СкачРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTanосТогда:Задача Кузнецов Интегралы 7-2анУсловие задачиНайти неопределенный интеграл:СкачРешениеРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:tiGTU.ruСкачаносanВычтем из второго уравнения четвертое:Тогда:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 8-2Условие задачиРешениеВоспользуемся универсальной подстановкой:анПодставим:осanОткуда:tiGTВычислить определенный интеграл:СкачРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачТогда:U.ruаносanВычтем из четвертого уравнения второе:tiGTВычтем из третьего уравнения первое:Задача Кузнецов Интегралы 9-2Условие задачиU.ruВычислить определенный интеграл:tiGTРешениеanЗамена:ПриСкачанИмеем:осПриЗадача Кузнецов Интегралы 10-2Условие задачиU.ruВычислить определенный интеграл:аносantiGTРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 11-2Условие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеЗамена::tiGTРазделим знаменатель и числитель наU.ruПолучаем:осanПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 12-2Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Замена:Получаем:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 13-2Условие задачиanНайти неопределенный интеграл:Решение, откудаТак, как- целое, то используем замену:аносПод интегралом дифференциальный бином, где- знаменатель дробиСкачТ.е.

в нашем случае замена имеет вид:Получаем:.U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 14-2Условие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:СкачаносanРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 15-2Условие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.1.2.U.ruРешениеПределы интегрирования:Площадь под кривой:прямыми,,Площадь прямоугольника:4.Искомая площадь,..Задача Кузнецов Интегралы 16-2Условие задачиtiGTт.к. площадь не может быть отрицательной, надо взять ее модуль3.Из площади под кривой надо вычесть площадь прямоугольника, ограниченногоanВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.СкачаносРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 17-2Условие задачиU.ruВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.РешениеanНайдем производную данной функции:, определяется формулойtiGTДлина дуги кривой, заданной уравнениемСкачаносТогда по вышеприведенной формуле получаем:Задача Кузнецов Интегралы 18-2U.ruУсловие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.tiGTРешениеДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойдля заданной кривой:anНайдем производные поСкачаносТогда по вышеприведенной формуле получаем:Задача Кузнецов Интегралы 19-2Условие задачиU.ruВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.РешениеtiGTДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулойanНайдеманосПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 20-2Условие задачиСкачВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.В сечении данной фигуры плоскостьюtiGTU.ruРешениенаходится эллипс:равнаanПлощадь эллипса описываемого формулой:аносНайдем радиуса эллипса:СкачЗадача Кузнецов Интегралы 21-2Условие задачиВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.является осью вращения, то объём находится по формуле:осНайдем пределы интегрирования:anПоскольку осьtiGTU.ruРешениеСкачанНайдем объём тела, как разность объёмов двух тел вращения:Задача Кузнецов Интегралы 22-2tiGTU.ruУсловие задачиВычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочнойтрапеции (см.

рис.). Плотность водыравным 10 м/с2.Указание: Давление на глубине равном,м..anм,кг/м3, ускорение свободного паденияаносРешениеСкачподобенположитьосанСкачU.rutiGTan.