ЛР №2_теория (Лабораторные работы с официального сайта с примерами), страница 2

При этом вводится условное обозначение для комплексmного сопротивления рассматриваемой электрической цепи:1Z  r  j (L )  r  jx  r  jxL  jxC .CТаким образом, получается уравнение(16)7(17)U m  ZIm ,выражающее закон Ома для комплексных амплитуд.Разделив обе части уравнения (17) на 2 , получим закон Ома для комплексных действующихзначений:(18)U  ZI.Следовательно, комплексное сопротивление электрической цепи равно отношению комплексногонапряжения на данной цепи к комплексному току в этой цепи.Комплексное сопротивление Z представлено в выражении (16) в алгебраической форме. Та жевеличина в тригонометрической и показательной (полярной) формах имеет вид:Z  z cos  jz sin  ; Z  ze j  z(19)xz  r 2  x 2 ;   arctg .rНа основании (17) комплексная амплитуда токаUUUIm  m  m e j (  )  m (   ),Zzzгде (   ) - начальная фаза тока.

Следовательно, искомый ток в тригонометрической формеUit   Im Im e j t  m sin  t    .zНа рис. 7 дана геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения (18). Рисунок7, а относится к случаю, когда реактивное сопротивление цепи имеет индуктивный характер (х >0) и соответственно ток отстает по фазе от напряжения (  0) . Рисунок 7, б относится к случаю, когда реактивное сопротивление цепи имеет емкостный характер (х < 0) и поэтому ток опережает по фазе напряжение (  0).Как видно из векторных диаграмм, приведенных на рис.

7, U r  rI - напряжение на сопротивлении r совпадает по фазе с током I , U L  jLI - напряжение на индуктивности L опережает ток I на1 угол  / 2 , и U C   jI - напряжение на емкости С отстает от тока I на угол  / 2 .CГеометрическая сумма векторов U r , U L и U C дает вектор приложенного к цепи напряжения:U  U  U  U .rLCРис. 7. Векторные диаграммы для последовательной цепи r, L, С при х >0 (а) и х < 0 (б).Прямоугольный треугольник, катетами которого являются U r и U L  U C , а гипотенуза которогоравна U , называется треугольником напряжений.Если все стороны-векторы этого треугольника разделить на вектор I , то получится треугольниксопротивлений, подобный треугольнику напряжений и повернутый относительно последнего на угол(   ) по ходу часовой стрелки.8Рис.

8. Треугольник сопротивлений при х > 0 (а) и х < 0 (б).Треугольник сопротивлений представляет собой геометрическую интерпретацию уравнения (16).Комплексная форма записи мощностиДопустим, что через электрическую цепь проходит синусоидальный ток, причем положительныенаправления тока и напряжения на выводах цепи приняты совпадающими, рис. 9.Рис. 9. Положительные направления (а) и комплексные напряжения и ток (б).Комплексные ток и напряжение равны соответственно:I  I 1 ; U  U 2 .Фазовый сдвиг тока относительно напряжения равен разности начальных фаз:   2  1 .Умножим U на комплексное значение I  I  1 , сопряженное с I :U I  UI( 2  1 )  UI .Отсюда следует, что~S  U I  UI cos   jUI sin   P  jQ.~Таким образом, комплексная величина S определяет действительной частью активную мощностьP , а мнимой частью реактивную мощность Q , поступающую в цепь.~~Модуль S равен полной мощности S.

S носит название мощности в комплексной форме, иликомплексной мощности.Баланс мощностейИз закона сохранения энергии следует, что для любой электрической цепи соблюдается закон баланса активных мощностей: активная мощность, генерируемая источниками, равна активной мощности,потребляемой всеми приемниками.В свою очередь можно показать, что и сумма отдаваемых реактивных мощностей равна суммепотребляемых реактивных мощностей.Если воспользоваться комплексной формой записи токов, напряжений и мощностей, то можнозаписать~~ Sист   Sпотр   Pист   Pпотр ;  Qист   Qпотр.Суммируя комплексные мощности источников и потребителей по всем n ветвям электрическойсхемы, можно записать итоговое уравнение баланса мощности в виде:nnnnn  ~  ~2SEIUISEIUI ист  k k  k k   потр  k k  k k  I k  Z k . k 1k 1k 1k 1k 19Здесь I k2  Ik  I k .Классификация элементов на источники и потребители энергии осуществляется по тем же правилам, что и для цепей постоянного тока.РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХРезонанс представляет собой такой режим пассивной электрической цепи, содержащей индуктивности и емкости, при котором ток и напряжение цепи совпадают по фазе.

При резонансе реактивноесопротивление и реактивная проводимость цепи равны нулю; соответственно равна нулю реактивнаямощность на выводах цепи.Резонанс напряжений наблюдается в электрической цепи с последовательным соединениемучастков, содержащих индуктивности и емкости. При резонансе напряжений индуктивное сопротивление одной части цепи компенсируется емкостным сопротивлением другой ее части, последовательносоединенной с первой. В результате реактивное сопротивление и реактивная мощность на выводах цепиравны нулю.В свою очередь резонанс токов наблюдается в электрической цепи с параллельным соединениемучастков, содержащих индуктивности и емкости. При резонансе токов индуктивная проводимость одной части цепи компенсируется емкостной проводимостью другой ее части, параллельно соединенной спервой.

В результате реактивная проводимость и реактивная мощность на выводах цепи равны нулю.Частоты, при которых наблюдается явление резонанса, называются резонансными частотами.Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений. Резонансная цепь с последовательным соединением r, L и C , рис.

5, является простейшей цепью для изучения явления резонансанапряжений.Комплексное сопротивление такой цепи зависит от частоты:1 Z  r  j  L (20).C Резонанс напряжений наступает при частоте 0 когда11(21)0 L  0 .0CLCРезистивное сопротивление контура при резонансе.Z0  r .Определим реактивные сопротивления на индуктивности и емкости при резонансе:LС1L1LX L0   0 L L, X C0 .C0 CСCLCВидно, что сопротивления X L0  X C0 L  – характеристическое (волновое) сопротивлениеCконтура.Резонансные свойства контура характеризуются добротностью Q .1Величина, обратная добротности, d называется затуханием.QДобротность последовательного колебательного контура:10Q0 L1rr 0 C r(22)Частотные характеристики последовательного колебательного контура.Условимся называть относительной расстройкой частоты по отношению к резонансной частотеконтура величину - 0 (23) 1.00Сопротивление контура согласно (20) и с учетом (21) и (22)  0   L 1   r 1  jQ,Z  r 1  j 0 r  0  0 LC  0  откуда, используя (23),1   1 или 0 , получаем:0  11   2jZ  r 1  jQ   1   r 1  jQ  ze .  1   1 Следовательно, полное сопротивление и фазовый угол цепи2 2 (24)22 2z  r 1 Q  . ;   arctgQ 1  1 (25)Ток в цепиEE(26)I  . 2Zr 1  jQ 1 На рис.

10 кривые даны в относительных значениях: по оси абсцисс отложена относительная расстройкачастоты  , а по оси ординат – отношение полного сопротивления z к активному сопротивлению r, рис.10 а, и угол  , рис. 10 б.Рис. 10. Частотные зависимости сопротивления (а) и угла (б).Полное сопротивление цепи минимально при резонансе напряжений; при этом ток в цепи достигает своего максимального значения I 0 .На рис.

11 изображены резонансные кривые тока в относительных значениях: по оси абсцисс, каки на предыдущих графиках, отложены значения  , по оси ординат – отношения токов к максимальномутоку при резонансе:11IE E r :  I0 z r z1 21  Q 2 2   1 2.(27)Рис. 11. Резонансные кривые тока в относительных единицахЧем выше добротность цепи Q, тем острее резонансные кривые. Таким образом, величина Q характеризует остроту резонансной кривой («остроту настройки»).Полосу частот вблизи резонанса, на границах которой ток снижается до 1 / 2  0,707 максимального (резонансного) значения I 0 , принято называть полосой пропускания резонансного контура.При токе I  I 0 / 2 мощность, расходуемая в сопротивлении r, равна:21 I r  0   rI 02 ,2 2т.е. составляет половину мощности, расходуемой при резонансе.

Поэтому полосу пропускания характеризуют как полосу, границы которой соответствуют половине максимальной мощности. На границахполосы пропускания резонансного контура активное и реактивное сопротивления равны r  x . Фазовый сдвиг между напряжением на выводах цепи и током составляет 45°; на нижней границе комплексное сопротивление цепи имеет емкостный характер (ток опережает напряжение) и   45 ; на верхнейгранице комплексное сопротивление цепи имеет индуктивный характер (ток отстает от напряжения) и  45.На основании (27) условие для границы полосы пропускания записывается в следующем виде:2 2 22 211(28)1 Q   1  1,2  1  1  2  Q 12Q  1 4Q 2(знак минус перед корнем, получающийся в результате решения квадратного уравнения, опускается,как не имеющий смысла).

Индексы 1 и 2 и соответственно знаки минус и плюс в выражении (28) относятся к границам ниже и выше резонанса.По определению полоса пропускания резонансного контура находится из условия  1 11(29) 2  1   2  d    2  1  0 .Q0QQВ условиях, близких к резонансу, напряжения на индуктивности и емкости могут быть весьма велики, что необходимо учитывать во избежание повреждения изоляции.На рис. 12 показана векторная диаграмма тока и напряжений при резонансе.12Рис.

12. Векторная диаграмма при резонансе напряженийНапряжения на реактивных элементах при резонансе определяются из выраженияUU L 0  U C 0  j 0 L  jUQ.(30)rПоследняя формула показывает, что добротность рассматриваемой цепи определяется как кратность перенапряжения на L и С при резонансной частоте.При Q> 1 эти напряжения превышают напряжение U, приложенное к резонансному контуру.Однако значения, получаемые на основании (30), не являются максимальными: максимум напряженияU L располагается несколько выше (правее), а максимум U С - ниже (левее) резонансной частоты, рис.13.Рис. 13. Частотные зависимости напряжений на индуктивности и емкости в относительных единицах..