ЛР №2_теория (Лабораторные работы с официального сайта с примерами)

1ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ОДНОФАЗНОГОСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКАЭлектромагнитный процесс в электрической цепи, при котором мгновенные значения напряжении и токов повторяются через разные промежутки времени, называется периодическим. Если величину, являющуюся периодической функцией времени t, обозначить через F(t), то для любого положительного или отрицательного значения аргумента t справедливо равенствоF (t  T )  F (t ),где Т – период.Величина, обратная периоду, т. е. число периодов в единицу времени, называется частотой:1f  .TЧастота имеет размерность 1/сек, а единицей измерения частоты служит герц [Гц].Преобладающим видом периодического процесса в электрических цепях является синусоидальный режим, характеризующийся тем, что все напряжения и токи являются синусоидальнымифункциями одинаковой частоты.

Это возможно только при синусоидальных э.д.с. и токах источников.На рис. 1 изображена синусоидальная функцияu  U m sin(t  ψ );здесь U m - максимальное значение, или амплитуда;  - скорость изменения аргумента (угла), называемая угловой частотой; она равна произведению частоты на 2 :  2f , рад/секψ - начальная фаза, определяемая величиной смещения синусоиды относительно начала координат.Рис. 1. Синусоидальная функцияО величине тока судят обычно по действующему (среднеквадратичному) значению за периодT1 2Ii dt .T 0(1)Аналогично действующее значение периодического напряженияT1 2Uu dt .T 0(2)2При синусоидальном токеIImU 0,707 I m ; U  m  0,707 U m .22(3)Синусоидальный ток в сопротивленииЕсли синусоидальное напряжение u  U m sin(t  ψ) подвести к сопротивлению r, то через со-Umsin(t  ψ)  I m sin(t  ψ).

Следовательно, напряжениеrна зажимах сопротивления и ток, проходящий через это сопротивление, имеют одинаковую начальнуюфазу, или, как говорят, совпадают по фазе: они одновременно достигают своих амплитудных значенийU m и I m и соответственно одновременно проходят через нуль, рис. 2.противление пройдет синусоидальный ток i Рис. 2. Синусоидальный ток в сопротивлении.Разность начальных фаз двух синусоид, имеющих одинаковую частоту, называется фазовымсдвигом. В данном случае фазовый сдвиг между напряжением u и током i равен нулю:  ψ u  ψ i  0.При прохождении синусоидального тока через сопротивление r не только мгновенные значениянапряжения на сопротивлении и тока в нем, но и амплитуды и соответственно действующие значениянапряжения и тока связаны законом Ома:(4)U m  rI m ; U  rI .Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление,pr  ui  U m I m sin 2 (t  ψ)  UI 1  cos 2(t  ψ),изменяется с угловой частотой, удвоенной по сравнению с частотой напряжения и тока, и колеблется в пределах от 0 до 2UI .Среднее значение мощности за периодT1P   pr dtUI  rI 2 .T0(5)называется активной мощностью и измеряется в ваттах.Синусоидальный ток в индуктивности.Пусть через индуктивность L, рис.

3, а, проходит токi  I m sin(t  ψ).Электродвижущая сила самоиндукции определяется по формулеdieL   L  LI m cos(t  ψ)  U m sin(t  ψ  ).dt2Значит, напряжение на индуктивностиu L  eL  U m sin(t  ψ  ).2Полученное выражение показывает, что напряжение на индуктивности опережает ток на уголπ/2: максимум напряжения смещен влево относительно максимума тока на π/2, рис. 3, б. Когда ток про-3ходит через нуль, напряжение достигает положительного или отрицательного максимума.Рис.

3. Синусоидальный ток в индуктивностиПод фазовым сдвигом φ тока относительно напряжения понимается разность начальных фазнапряжения и тока. Следовательно, в данном случае  ψu  ψi  .2Амплитуды, так же как и действующие значения напряжения и тока, связаны соотношением, подобным закону Ома:(6)U m  LI m  xL I m ; U  x L I .Величина xL  L , имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротивлением; обратная ей величина bL  1 / L называется индуктивной проводимостью.Итак, I m  bLU m ; I  bLU .Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, будет:p L  ui  U m I m sin(t  ψ  ) sin(t  ψ ) 2U mIm2 cos(t  ψ) sin(t  ψ)  UI sin 2(t  ψ).2Она колеблется по синусоидальному закону с угловой частотой 2ω, имея амплитуду UI.Поступая от источника, энергия временно запасается в магнитном поле индуктивности, затемвозвращается в источник при исчезновении магнитного поля.

Таким образом, происходит колебаниеэнергии между источником и индуктивностью, причем активная мощность, поступающая в индуктивность, равна нулю.Синусоидальный ток в емкостиПусть напряжение на емкости С, рис. 4, а синусоидально:u  U m sin(t  ψ).Рис. 4. Синусоидальный ток в емкости.Тогда мгновенное значение тока, проходящего через емкостьduiC CU m cos(t  ψ )  I m sin(t  ψ  ).dt24Под фазовым сдвигом тока относительно напряжения здесь, как и раньше, подразумевается разность начальных фаз напряжения и тока, т. е.

  ψ u  ψ i   / 2.Таким образом, в отличие от цепи с индуктивностью, где    / 2 , фазовый сдвиг тока относительно напряжения в случае емкости отрицателен    / 2.Амплитуды и соответственно действующие напряжение и ток связаны соотношением, подобнымзакону Ома:1(7)Um I m  xC I m ; U  xC I .CВеличина xC  1 / C , имеющая размерность сопротивления, называется емкостным сопротивлением.

Обратная ей величина bC  C называется емкостной проводимостью. Следовательно,I m  bCU m ; I  bCU .Мгновенная мощность, поступающая в емкость,pC  ui  U m I m sin(t  ψ) sin(t  ψ  )  UI sin 2(t  ψ)2колеблется синусоидально с угловой частотой 2ω, имея амплитуду, равную UI.Таким образом, так же как в случае индуктивности, происходит колебание энергии между источником и емкостью, причем активная мощность Р=0.Последовательное соединениеПри прохождении синусоидального тока i  I m sin t через электрическую цепь, состоящую изпоследовательно соединенных элементов r, L, и C, рис.

5, на выводах этой цепи создается синусоидальное напряжение, равное алгебраической сумме синусоидальных напряжений на отдельных элементах(второй закон Кирхгофа):u  u r  u L  uC .Рис. 5. Последовательное соединение сопротивления, индуктивности иемкости.Напряжение u r на сопротивлении r совпадает по фазе с током i, напряжение u L на индуктивности L опережает, а напряжение uC на емкости С отстает по фазе от i на  / 2 , рис. 6.Рис. 6. Напряжения на сопротивлении, индуктивности и емкостипри последовательном соединении.Следовательно, напряжение u на выводах всей цепи равно:5U m sin(t   )  rI m sin t  LI m cos t 1I m cos t  rI m sin tC1   L  cos t  I m r sin t  x cos t .C 1Величина x  x L  xC  L называется реактивным сопротивлением цепи, которое в завиCсимости от знака может иметь индуктивный (х>0) или емкостный (х < 0) характер.Для нахождения U m и  воспользуемся тригонометрическими соотношениями:nm sin   n cos   m 2  n 2 sin    ;   arctg .mИтак,x(8)U m  r 2  x 2 I m ; tg  .rВыражение (8) показывает, что амплитуда и действующее напряжение на цепи и ток, проходящий через данную цепь, связаны соотношением, аналогичным закону Ома:(9)U m  zI m ; U m  zI m ,(10)z  r 2  x2называется полным сопротивлением рассматриваемой цепи.Активное, реактивное и полное сопротивления, относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей.xПри последовательном соединении ток i отстает от напряжения u на угол   arctg .rЕсли задано напряжение u  U m sin(t  ψ) на выводах цепи с последовательно соединенными r,L, и C, то ток определяется по формулеUi  m sin(t  ψ -  ).zУгол  положителен, при индуктивном характере, цепи, т.

е. при х > 0; при этом ток отстает пофазе от напряжения. Угол  отрицателен при емкостном характере цепи, т. е. при х < 0; при этом токопережает по фазе напряжение.Ток совпадает с напряжением по фазе при x  xL  xC  0 , т. е. при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом напряжений.Активное и реактивное сопротивления цепи связаны с полным сопротивлением формулами:(11)r  z cos  ; x  z sin  .гдеМощность в цепи синусоидального токаРазберем общий случай участка электрической цепи, напряжение на котором равно u  U m sin t ,а ток i  I m sin(t   ).Мгновенная мощность, поступающая в цепь,p  ui  U m I m sin t sin(t   )  UI cos   cos(2t   ) (2.25)состоит из двух слагающих: постоянной величины UI cos  и синусоидальной, имеющей удвоенную частоту по сравнению с частотой напряжения и тока.Среднее значение второй слагающей за время Т, в течение которого она совершает два цикла изменений, равно нулю.

Поэтому активная мощность, поступающая в рассматриваемый участок цепи,6TP1uidt  UI cos  .T 0(12)Множитель cos носит название коэффициента мощности. Чем ближе угол  к нулю, тем ближеcos к единице и, следовательно, тем большая при заданных значениях U и I активная мощность передается источником приемнику.cos  P / S .При расчетах электрических цепей и на практике в эксплуатации пользуются также понятием реактивной мощности, которая вычисляется по формулеQ  UI sin и является мерой потребления (или выработки) реактивного тока.Эта мощность выражается в единицах, называемых вар [ВАР].Очевидно,QPQS 2  P 2  Q 2 ; sin  ; cos  ; tg  .SSPРасчет цепей синусоидального тока обычно ведется с применением комплексного метода.Положим, что в уравнении Кирхгофа, рис.

5di 1(13)i t  d tdt C заданными являются параметры r, L, С и синусоидальное напряжение u t   U m sin  t    , а искомойвеличиной является ток i. Ввиду того что здесь рассматривается установившийся режим цепи синусоидального тока, решение этого дифференциального уравнения должно дать синусоидальную функциювида:i t   I m sin  t    где I m и (   ) - пока неизвестные амплитуда и начальная фаза тока.Пусть синусоидальное напряжение символизируется комплексной функцией U e j t , а искомыйu t   ur t   u L t   uC t   ri t  Lmсинусоидальный ток – комплексной функцией Ime ; комплексные амплитуды напряжения и тока равны соответственно:U  U e j ; I  I e j (  ) .j tmmmmВ комплексном методе сложение, дифференцирование и интегрирование синусоидальных функций в уравнении (13) заменяются теми же математическими операциями над мнимыми частями комплексных функций:d1Im(U me j t )  r Im( Im e j t )  L Im( Im e j t )   Im( Ime j t ) dt.(14)dtCОпуская промежуточные вычисления, и учитывая, что уравнение (14) удовлетворяется для любого момента времени, получаем:1 (15)U m  rIm  jLIm I m.jCТок I может быть вынесен за скобки.