ЛР_№2_Цепи_син._тока_теория (Лабораторные работы с официального сайта с примерами), страница 3

Следовательно, искомый ток в тригонометрической формеUit   Im Im e j t  m sin  t    .zНа рис. 3.5 дана геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения(3.10). Рисунок 3.5, а относится к случаю, когда реактивное сопротивление цепи имеет индуктивный характер (х >0) и соответственно ток отстает по фазе от напряжения (  0) . Рисунок 3.5, ботносится к случаю, когда реактивное сопротивление цепи имеет емкостный характер (х < 0) и поэтому ток опережает по фазе напряжение (  0).Как видно из векторных диаграмм, приведенных на рис.

3.5, U r  rI - напряжение на сопротивлении r совпадает по фазе с током I , U  jLI - напряжение на индуктивности L опере-L1 жает ток I на угол  / 2 , и U C   jI - напряжение на емкости С отстает от тока I на уголC / 2.Геометрическая сумма векторов U r , U L и U C дает вектор приложенного к цепи напряжения:U  U r  U L  U C .11Рис. 3.5. Векторные диаграммы для последовательной цепи r, L, С при х >0 (а) и х < 0 (б).Прямоугольный треугольник, катетами которого являются U r и U L  U C , а гипотенуза которого равна U , называется треугольником напряжений.Если все стороны-векторы этого треугольника разделить на вектор I , то получится треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряжений и повернутый относительно последнего на угол (   ) по ходу часовой стрелки.Рис.

3-6. Треугольник сопротивлений при х > 0 (а) и х < 0 (б).Треугольник сопротивлений представляет собой геометрическую интерпретацию уравнения (3.11).Параллельное соединение r, L и С.Ограничиваясь записью для комплексных действующих значений, пропорциональных комплексным амплитудам, имеем в соответствии с первым законом Кирхгофа:1 I  gU U  jCU  Ir  IL  IC .(3.12)j LЗдесь Ir  gU - ток в сопротивлении r, совпадает по фазе с напряжением U ,1 IL   jU ток в индуктивности, отстает от напряжения на  / 2 ; IC  jCU - ток в емкости,Lопережает напряжение на  / 2 .Выражение12 1Y  g  j C   g  jb Lпредставляет собой комплексную проводимость рассматриваемой цепи; g и b - активная и реактивная проводимости цепи.

Уравнение(3.14)I  YUвыражает закон Ома в комплексной форме. Следовательно, комплексная проводимость электрической цепи равна отношению комплексного тока в данной цепи к комплексному напряжению на еевыводах.Тригонометрическая и показательная (полярная) формы комплексной проводимости имеютследующий вид:Y  y cos  jy sin ; Y  ye j  y  ;здесь y  Y - модуль комплексного числа Y - представляет собой полную проводимость цепи, а  - аргумент комплексного числа Y :by  g 2  b 2 ;   arctg .gНа основании (3.14) комплексный ток равен:it   Im Ime j t  yU m sin t    .На рис. 3.7 дана геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения(3.12).

Рисунок 3.7, а относится к случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет индуктивный характер (b > 0) и соответственно ток отстает по фазе от напряжения (  0) . Рисунок 3.7, ботносится к случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет емкостный характер (b <0) и соответственно ток опережает по фазе напряжение (  0) .Прямоугольный треугольник с катетами Ir и IL  IC и гипотенузой I называется треугольником токов.Рис.

3.7, Векторные диаграммы для параллельной цепи rLC при b > 0 (а) и b < 0 (б).Если все стороны-векторы этого треугольника разделить на вектор U , то получится треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов и повернутый относительно последнегона угол  по ходу часовой стрелки.13Рис.

3.8. Треугольник проводимостей при b > 0 (а) и b < 0 (б).3.3. Комплексная форма записи мощностиДопустим, что через электрическую цепь проходит синусоидальный ток, причем положительные направления тока и напряжения на выводах цепи приняты совпадающими, рис. 3.9.Рис. 3.9. Положительные направления (а) и комплексные напряжения и ток (б).Комплексные ток и напряжение равны соответственно:I  I 1; U  U 2 .Фазовый сдвиг тока относительно напряжения равен разности начальных фаз:   2  1 .Умножим U на комплексное значение I  I  1 , сопряженное с I :U I  UI ( 2  1 )  UI  .Отсюда следует, что~S  U I  UI cos   jUI sin   P  jQ .~Таким образом, комплексная величина S определяет действительной частью активнуюмощность P , а мнимой частью реактивную мощность Q , поступающую в цепь.~~Модуль S равен полной мощности S. S носит название мощности в комплексной форме,или комплексной мощности.~На комплексной плоскости S изображает гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого служат P и Q , рис.

3.10.Треугольник мощностей, изображенный на рис. 3.10, подобен треугольнику сопротивлений:Q x  tg .P rРис. 3.10. Треугольник мощностей на комплексной плоскости3.5. Баланс мощностейИз закона сохранения энергии следует, что для любой электрической цепи соблюдается закон баланса активных мощностей: активная мощность, генерируемая источниками, равна активной мощности, потребляемой всемиприемниками.В свою очередь можно показать, что и сумма отдаваемых реактивных мощностей равнасумме потребляемых реактивных мощностей.Если воспользоваться комплексной формой записи токов, напряжений и мощностей, томожно записать14~~ Sист   Sпотр   Pист   Pпотр ; Qист  Qпотр .Суммируя комплексные мощности источников и потребителей по всем n ветвям электрической схемы, можно записать итоговое уравнение баланса мощности в виде:nnnnn  ~~ 2SEIUISEIUI ист  k k  k k   потр  k k  k k  I k  Z k .k 1k 1k 1k 1k 1 Здесь I k2  Ik  I k .Классификация элементов на источники и потребители энергии осуществляется по тем жеправилам, что и для цепей постоянного тока.4.

РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХРезонанс представляет собой такой режим пассивной электрической цепи, содержащей индуктивности и емкости, при котором ток и напряжение цепи совпадают по фазе. При резонансереактивное сопротивление и реактивная проводимость цепи равны нулю; соответственно равнанулю реактивная мощность на выводах цепи.Резонанс напряжений наблюдается в электрической цепи с последовательным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. При резонансе напряжений индуктивное сопротивление одной части цепи компенсируется емкостным сопротивлением другой ее части, последовательно соединенной с первой. В результате реактивное сопротивление и реактивная мощность на выводах цепи равны нулю.В свою очередь резонанс токов наблюдается в электрической цепи с параллельным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости.

При резонансе токов индуктивная проводимость одной части цепи компенсируется емкостной проводимостью другой ее части, параллельно соединенной с первой. В результате реактивная проводимость и реактивная мощность навыводах цепи равны нулю.Частоты, при которых наблюдается явление резонанса, называются резонансными частотами.4.1. Последовательный колебательный контур.

Резонанс напряжений. Резонанснаяцепь с последовательным соединением r, L и C , рис. 4.1 является простейшей цепью для изученияявления резонанса напряжений.Рис. 4.1. Последовательный колебательный контур.Комплексное сопротивление такой цепи зависит от частоты:1 Z  r  j  L (4.1).C Резонанс напряжений наступает при частоте  0 когда110 L  0 .(4.2)0CLCРезистивное сопротивление контура при резонансе.Z r.Определим реактивные сопротивления на индуктивности и емкости при резонансе:LС1L1L, X C0 .X L0  0 L LC0 CСCLCВидно, что сопротивления X L0  X C0 L  – характеристическое (волновое) сопроCтивление контура.Резонансные свойства контура характеризуются добротностью Q .151Величина, обратная добротности, d называется затуханием.QДобротность последовательного колебательного контура: L1Q 0 (4.4)rr 0 C rНа рис. 4.4 показана векторная диаграмма тока и напряжений при резонансе.Рис.

4.4. Векторная диаграмма при резонансе напряженийНапряжения на реактивных элементах при резонансе определяются из выраженияUU L 0  U C 0  j0 L  jUQ.(4.11)r4.2. Параллельный колебательный контур. Резонанс токов.Явление резонанса токов будем изучать применительно к электрической цепи с параллельно соединенными r, L и С, рис. 4.6, так как при этом можно непосредственно воспользоваться результатами, полученными в предыдущем разделе.Рис.

4.6. Параллельный колебательный контурДействительно, выражение для комплексной проводимости такой цепипо своей структуре аналогично выражению (4.1) 1Y  g  j C .(4.13) LПри резонансе:Y  g , 0  1 L C , f0  1 2  L C .bC0  0 C bL0 10 L1LCCCg,LLСCg,LLгде g – характеристическая проводимость контура.Добротность определяется как отношение реактивной проводимости индуктивности или C1b .емкости при резонансе к активной проводимости: Q  0 gg 0 L g16Ток достигает минимума при резонансной частоте, так как при этомI0  gU .В случае резонанса токи в индуктивном и емкостном элементах схемы рис. 4.6 равны ипротивоположны по знаку:IC 0   IL 0  jCU  jI0Q.Полученное выражение показывает, что добротность рассматриваемой цепи определяетсякак кратность токов в L и С по отношению к суммарному току I 0 .

При Q > 1 эти токи превышаютI0 .Схема рис. 4.6 является идеализированной, так как она не учитывает активных потерь вветвях L и С. Поэтому рассмотрим другую схему, приняв во внимание активные сопротивления вветвях L и С, рис. 4.7.Рис. 4.7. Колебательный контур с двумя параллельными ветвямиЗапишем выражение для комплексной проводимости параллельных ветвей:1  r2  jr1  jL 11C Yr1  jL r1  jL   r  j 1  r  j 1 r1  jL r  j 1 22CC  2C  1  1  r2  j r1  jL   r1r2LC  C. 2j 22222222r1  L r  L r1  L  1  1    2  1 1r22  r22  r2   C  C    C Приравнивая к нулю мнимую часть выражения, находим резонансную частоту контура:1L r2L1 C 1C(4.14) 2 0  0 .22LLC2rL11 r2r22  C C Явление резонанса возможно при этом только в случае, если подкоренное выражениеLL(4.14) имеет положительный знак или, что то же, величины  r12 и  r22 имеют одинаковыйCC1, то цепь резонирует на любой частоте.знак.

Если r1  r2 LCНа рис. 4.8 показана векторная диаграмма при резонансе токов в цепи рис. 4.7. Токи в индуктивной и емкостной ветвях слагаются из активных ILa , ICa и реактивных ILp , ICp составляющих, причемILp  ICp ; ILa  ICa  I0.17Рис. 4.8. Векторная диаграмма при резонансе токовПри резонансе вся цепь имеет только активную проводимостьY0  g0 r1r12 L 2r2r22 1  C откуда с учетом (4.14)Y0 r1  r202 LCr12  0 L 2.2,.