ЛР_№2_Цепи_син._тока_теория (Лабораторные работы с официального сайта с примерами), страница 2

2.13. Параллельное соединение сопротивления, индуктивности иемкости.Ток ir в сопротивлении r совпадает по фазе с напряжением u, ток i L в индуктивности L отстает, а ток iC в емкости С опережает напряжение на π/2, рис. 2.14.Рис. 2.14. Токи в сопротивлении, индуктивности и емкости(соединенных параллельно) при синусоидальном напряжении.Следовательно, суммарный ток в цепи равен:11I m sin(t   )  U m sin t U m cost  CU m cost rL(2.19)1 1U m  sin t   C  cost   U m g sin t  b cost . LrУравнение (2.19) представляет собой тригонометрическую форму записи первого закона1Кирхгофа для мгновенных токов. Входящая в него величина b  bL  bC  C называется реLактивной проводимостью цепи, которая в зависимости от знака может иметь индуктивный (b > 0)или емкостный (b < 0) характер.Для нахождения I m и  воспользуемся соотношениями (2.14):bI m  g 2  b 2 U m  yU m ; tg  .(2.20)gИз (2.20) следует, чтоI m  yU m ; I  yU .(2.21)y  g 2  b2 .где(2.22)- полная проводимость рассматриваемой цепи.Активная, реактивная и полная проводимости относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей.Согласно (2.20) ток i отстает от напряжения u на угол71 CbL  arctg  arctg.ggЕсли задано напряжение u  U m sin t на выводах цепи с параллельно соединенными r, L, иC, то ток определяется по формулеi  yU m sin(t  ψ -  ).Угол  , как и в предыдущем случае, отсчитывается по оси углов t в направлении от напряжения к току и является острым или прямым   / 2.Угол  положителен при индуктивном характере цепи, т.

е. при b > 0; при этом ток отстаетпо фазе от напряжения.Угол  отрицателен при емкостном характере цепи, т. е. при b < 0; при этом ток опережаетпо фазе напряжение.Ток совпадает с напряжением по фазе при b  bL  bC  0 , т, е. при равенстве индуктивнойи емкостной проводимостей. Такой режим работы электрической цепи называется резонансомтоков.2.8. Мощность в цепи синусоидального токаРазберем общий случай участка электрической цепи, напряжение на котором равноu  U m sin t , а ток i  I m sin(t   ).Мгновенная мощность, поступающая в цепь,p  ui  U m I m sin t sin(t   )  UI cos  cos(2t   ) (2.25)состоит из двух слагающих: постоянной величины UI cos и синусоидальной, имеющейудвоенную частоту по сравнению с частотой напряжения и тока.Среднее значение второй слагающей за время Т, в течение которого она совершает два цикла изменений, равно нулю. Поэтому активная мощность, поступающая в рассматриваемый участокцепи,TP1uidt  UI cos  .T 0(2.26)Множитель cos носит название коэффициента мощности.

Как видно из (2.26), активнаямощность равна произведению действующих значений напряжения и тока, умноженному на коэффициент мощности.Чем ближе угол  к нулю, тем ближе cos к единице и, следовательно, тем большая призаданных значениях U и I активная мощность передается источником приемнику.cos  P / S.При расчетах электрических цепей и на практике в эксплуатации пользуются также понятием реактивной мощности, которая вычисляется по формулеQ  UI sin и является мерой потребления (или выработки) реактивного тока.Эта мощность выражается в единицах, называемых вар [ВАР].Очевидно,QPQS 2  P 2  Q 2 ; sin  ; cos  ; tg  .SSP3. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И ВЕКТОРНЫХДИАГРАММ К РАСЧЕТУ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ3.1.

Представление синусоидальных функций в виде проекций вращающихся векторовИзвестно, что каждая точка на комплексной плоскости определяется радиус-вектором этойточки, т. е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке,8соответствующей заданному комплексному числу, рис. 3.1.Рис. 3.1. Вектор, изображающий комплексное число.Пользуясь показательной или полярной формой записи комплексного числа, имеем:A  Ae j  A ;здесь А - модуль; - аргумент или фаза;j   1 (в электротехнике не пользуются обозна-чением i   1 , так как буква i обозначает ток).Применив формулу Эйлера, можно получить тригонометрическую форму записи комплексного числа:A  A cos   jA sin или соответственно алгебраическую форму:A  A1  jA2 ,A1  A cos ; A2  A sin  .гдеОчевидно,AA 2  A12  A22 ;   arctg 2 .A1Вектор, вращающийся в положительном направлении, т.

е. против хода часовой стрелки, сугловой скоростью ω может быть выражен следующим образом:(3.1)Ae j (t  )  A e jt ,jгде A  Ae  A - комплексная амплитуда, представляющая данный вектор в момент t=0, рис.3.2.Рис. 3.2. Вращающийся вектор.Множитель eявляется оператором вращения; умножение комплексной амплитуды A наe jt означает поворот вектора A на угол ωt в положительном направлении.Записывая комплексную функцию (3.1) в тригонометрической формеj tAe j (t  )  A cos(t   )  jAsin(t   ),заключаем, что синусоидальная функция A sin(t   ) может рассматриваться как мнимая частькомплексной функции (3.1), взятая без множителя j, или, что то же, как проекция вращающегосявектора на мнимую ось.Условно это записывается так:Asin(t   )  Im A e jt .9Символ Im обозначает, что берется мнимая часть комплексной функции.Аналогично косинусоидальная функция может быть в случае необходимости представленакак действительная часть комплексной функции (3.1)A cos(t   )  Re A e jt ,где символ Re обозначает, что берется действительная часть комплексной функции.Представления гармонических колебаний с помощью комплексных чисел лежат в основесимволического метода расчета электрических цепей (метод комплексных амплитуд).it   I m sin t  i   Im  I m e j i – комплексная амплитуда, где j   1 (мнимая единица).Iit   I m sin t  i   I  Ie j i – комплекс действующего значения, причем I  m .2I  I e j i , I  I e j i – запись в показательной форме.

Существует запись в алгебраичеmmской форме, для этого используем формулу Эйлера: e j x  cosx  j sinx .Im  I m cos i   j I m sin  i   a  j b , где a  I m cosi  , b  I m sin  i  .3.2. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной формеРассмотрим применение метода комплексных амплитуд в случае последовательного и параллельного соединений элементов r, L и С.Последовательное соединение r, L и С.Положим, что в уравнении Кирхгофаdi 1u t   u r t   u L t   uC t   i t  R  Lit  d t(3.4)dt C заданными являются параметры r, L, С и синусоидальное напряжение u t   U m sin  t   , а искомой величиной является ток i.

Ввиду того что здесь рассматривается установившийся режимцепи синусоидального тока, решение этого дифференциального уравнения должно дать синусоидальную функцию вида:it   I m sin  t    где I m и (   ) - пока неизвестные амплитуда и начальная фаза тока.Пусть синусоидальное напряжение символизируется комплексной функцией U me j t , а искомый синусоидальный ток – комплексной функцией I e j t ; комплексные амплитуды напряжеmния и тока равны соответственно:U m  Ume j ; Im  I me j (  ) .Сложение, дифференцирование и интегрирование синусоидальных функций в уравнении(3.4) заменяются теми же математическими операциями над мнимыми частями комплексныхфункций:d1(3.5)Im(U me j t )  r Im(Ime j t )  L Im(Ime j t )   Im(Ime j t )dt.dtCОперации над мнимыми частями комплексных функций могут быть заменены операцияминад самими комплексными функциями с последующим выделением мнимой части полученногорезультата.d1Im( U me j t )  Im rIme j t  L Ime j t   Ime j t dt .dtCПолученное уравнение удовлетворяется для любого момента времени.

Поэтому заключенные в скобки комплексные выражения, от которых берется мнимая часть, должны быть равныдруг другу. Производя дифференцирование и интегрирование, получаем:10U me j t  rIme j t  jLIme j t1  j tI me .jC(3.6)В результате сокращения всех частей уравнения (3.6) на множитель e j t получается алгебраическое комплексное уравнение1 U m  rIm  jLIm Im.(3.7)jCТок I может быть вынесен за скобки. При этом вводится условное обозначение для комmплексного сопротивления рассматриваемой электрической цепи:1(3.8)Z  r  j (L )  r  jx.CТаким образом, получается уравнениеU m  ZIm ,(3.9)выражающее закон Ома для комплексных амплитуд.Разделив обе части уравнения (3.9) на 2 , получим закон Ома для комплексных действующих значений:(3.10)U  ZI.Следовательно, комплексное сопротивление электрической цепи равно отношению комплексного напряжения на данной цепи к комплексному току в этой цепи.Комплексное сопротивление Z представлено в выражении (3.8) в алгебраической форме.Та же величина в тригонометрической и показательной (полярной) формах имеет вид:Z  z cos  jz sin  ;(3.11)Z  ze j  z.Здесь z  Z - модуль комплексного числа Z - представляет собой полное сопротивлениецепи, а  - аргумент комплексного числа Z :xz  r 2  x 2 ;   arctg .rНа основании (3.9) комплексная амплитуда токаUUUIm  m  m e j (  )  m (   ),Zzzгде (   ) - начальная фаза тока.