ЛР_№2_Цепи_син._тока_теория (Лабораторные работы с официального сайта с примерами)

1ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ОДНОФАЗНОГОСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКАСинусоидальные электрические величиныЭлектромагнитный процесс в электрической цепи, при котором мгновенные значения напряжении и токов повторяются через разные промежутки времени, называется периодическим.Если величину, являющуюся периодической функцией времени t, обозначить через F(t), то длялюбого положительного или отрицательного значения аргумента t справедливо равенствоF (t  T )  F (t ),где Т – период.Величина, обратная периоду, т.

е. число периодов в единицу времени, называется частотой:1f  .TЧастота имеет размерность 1/сек, а единицей измерения частоты служит герц [Гц].Преобладающим видом периодического процесса в электрических цепях является синусоидальный режим, характеризующийся тем, что все напряжения и токи являются синусоидальнымифункциями одинаковой частоты. Это возможно только при синусоидальных э.д.с.

и токах источников.На рис. 2.1 изображена синусоидальная функцияu  U m sin(t  ψ);(2.1)здесь U m - максимальное значение, или амплитуда;  - скорость изменения аргумента (угла),называемая угловой частотой; она равна произведению частоты на 2 :(2.2)  2f , рад/секψ - начальная фаза, определяемая величиной смещения синусоиды относительно началакоординат.Рис. 2.1. Синусоидальная функция2.2. Действующее значение функцииО величине тока судят обычно по так называемому действующему (среднеквадратичному)значению за период.Действующее значение периодической функции f(t) вычисляется по формулеF1TT2f (t ) dt .(2.6)0В соответствии с (2.6) действующее значение периодического токаT1 2Ii dt .T 0(2.7)Аналогично действующее значение периодического напряженияT1 2Uu dt .T 0(2.8)2При синусоидальном токеIImU 0,707 I m ; U  m  0,707 U m .22(2.9)2.3.

Синусоидальный ток в сопротивленииЕсли синусоидальное напряжение u  U m sin(t  ψ) подвести к сопротивлению r, то черезUmsin(t  ψ)  I m sin(t  ψ). Следовательно, наrпряжение на зажимах сопротивления и ток, проходящий через это сопротивление, имеют одинаковую начальную фазу, или, как говорят, совпадают по фазе: они одновременно достигают своихамплитудных значений U m и I m и соответственно одновременно проходят через нуль, рис. 2.3.сопротивление пройдет синусоидальный ток i Рис. 2.3.

Синусоидальный ток в сопротивлении.Разность начальных фаз двух синусоид, имеющих одинаковую частоту, называется фазовым сдвигом. В данном случае фазовый сдвиг между напряжением u и током i равен нулю:  ψ u  ψ i  0.При прохождении синусоидального тока через сопротивление r не только мгновенные значения напряжения на сопротивлении и тока в нем, но и амплитуды и соответственно действующиезначения напряжения и тока связаны законом Ома:U m  rI m ; U  rI .Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление,(2.11)pr  ui  U m I m sin 2 (t  ψ)  UI 1  cos2(t  ψ),изменяется с угловой частотой, удвоенной по сравнению с частотой напряжения и тока, иколеблется в пределах от 0 до 2UI .Среднее значение мощности за периодTP1pr dtUI  rI 2 .T0называется активной мощностью и измеряется в ваттах.2.4.

Синусоидальный ток в индуктивности.Пусть через индуктивность L, рис. 2.5, а, проходит токi  I m sin(t  ψ).Электродвижущая сила самоиндукции определяется по формулеdieL   L  LI m cos(t  ψ)  U m sin(t  ψ  ).dt2Значит, напряжение на индуктивностиu L  eL  U m sin(t  ψ  ).2Полученное выражение показывает, что напряжение на индуктивности опережает ток наугол π/2: максимум напряжения смещен влево относительно максимума тока на π/2, рис.

2.5, б, когда ток проходит через нуль, напряжение достигает положительного или отрицательного максимума.3Рис. 2.5. Синусоидальный ток в индуктивностиПод фазовым сдвигом φ тока относительно напряжения понимается разность начальныхфаз напряжения и тока. Следовательно, в данном случае  ψu  ψi .2Амплитуды, так же как и действующие значения напряжения и тока, связаны соотношением, подобным закону Ома:U m  LI m  x L I m ; U  x L I .Величина xL  L , имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротивлением; обратная ей величина bL  1 / L называется индуктивной проводимостью.Итак, I m  bLU m ; I  bLU .Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, будет:p L  ui  U m I m sin(t  ψ  ) sin(t  ψ) 2U I m m 2 cos(t  ψ) sin(t  ψ)  UI sin 2(t  ψ).2Она колеблется по синусоидальному закону с угловой частотой 2ω, имея амплитуду UI.Поступая от источника, энергия временно запасается в магнитном поле индуктивности, затем возвращается в источник при исчезновении магнитного поля.

Таким образом, происходит колебание энергии между источником и индуктивностью, причем активная мощность, поступающаяв индуктивность, равна нулю.2.5. Синусоидальный ток в емкостиПусть напряжение на емкости С, рис. 2.7, а синусоидально:u  U m sin(t  ψ).Рис. 2.7. Синусоидальный ток в емкости.Тогда мгновенное значение тока, проходящего через емкостьdui C CU m cos(t  ψ)  I m sin(t  ψ  ). (2.12)dt2Под фазовым сдвигом тока относительно напряжения здесь, как и раньше, подразумеваетсяразность начальных фаз напряжения и тока, т. е.

  ψ u  ψ i   / 2.Таким образом, в отличие от цепи с индуктивностью, где    / 2 , фазовый сдвиг тока4относительно напряжения в случае емкости отрицателен    / 2.Амплитуды и соответственно действующие напряжение и ток связаны соотношением, подобным закону Ома:1Um I m  xC I m ; U  xC I .CВеличина xC  1 / C , имеющая размерность сопротивления, называется емкостным сопротивлением.

Обратная ей величина bC  C называется емкостной проводимостью. Следовательно,I m  bCU m ; I  bCU .Мгновенная мощность, поступающая в емкость,pC  ui  U m I m sin(t  ψ) sin(t  ψ  )  UI sin 2(t  ψ)2колеблется синусоидально с угловой частотой 2ω, имея амплитуду, равную UI.Таким образом, так же как в случае индуктивности, происходит колебание энергии междуисточником и емкостью, причем активная мощность Р=0.2.6.

Последовательное соединениеПри прохождении синусоидального тока i  I m sin t через электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов r, L, и C, рис. 2.9, на выводах этой цепи создается синусоидальное напряжение, равное алгебраической сумме синусоидальных напряжений на отдельных элементах (второй закон Кирхгофа):u  u r  u L  uC .Рис.

2.9. Последовательное соединение сопротивления, индуктивности иемкости.Напряжение u r на сопротивлении r совпадает по фазе с током i, напряжение u L на индуктивности L опережает, а напряжение uC на емкости С отстает по фазе от i на  / 2 , рис. 2.10.Рис. 2.10. Напряжения на сопротивлении, индуктивности и емкости(соединенных последовательно) при синусоидальном токе.Следовательно, напряжение u на выводах всей цепи равно:1U m sin(t   )  rI m sin t  LI m cost I m cost  rI m sin tC(2.13)1   L  cost  I m r sin t  x cost .C 1называется реактивным сопротивлением цепи, которое вCзависимости от знака может иметь индуктивный (х>0) или емкостный (х < 0) характер.Для нахождения U m и  воспользуемся тригонометрическими соотношениями:Величина x  x L  xC  L 5n(2.14)m sin   n cos  m 2  n 2 sin    ;   arctg .mИтак,x(2.15)U m  r 2  x 2 I m ; tg  .rВыражение (2.15) показывает, что амплитуда и действующее напряжение на цепи и ток,проходящий через данную цепь, связаны соотношением, аналогичным закону Ома:U m  zI m ; U m  zI m ,(2-16)z  r 2  x2называется полным сопротивлением рассматриваемой цепи.Активное, реактивное и полное сопротивления, относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей.Выражения (2.13) и (2.15) показывают, что ток i отстает от напряжения u на уголx  arctg .rЕсли задано напряжение u  U m sin(t  ψ) на выводах цепи с последовательно соединенными r, L, и C, то ток определяется по формулеUi  m sin(t  ψ -  ).zУгол  , равный разности начальных фаз напряжения и тока, отсчитывается по оси t в направлении от напряжения к току и бывает острым или прямым   / 2.Угол  положителен, при индуктивном характере, цепи, т.

е. при х > 0; при этом ток отстает по фазе от напряжения и  отсчитывается по оси абсцисс вправо от напряжения к току, рис.2.11.гдеРис. 2.11. Ток отстает от напряжения.Угол  отрицателен при емкостном характере цепи, т. е. при х < 0; при этом ток опережаетпо фазе напряжение и  отсчитывается по оси абсцисс влево от напряжения к току, рис. 2.12.Рис. 2.12. Ток опережает напряжение.Ток совпадает с напряжением по фазе при x  x L  xC  0 , т.

е. при равенстве индуктивногои емкостного сопротивлений. Такой режим работы электрической цепи называется резонансомнапряжений.Из выражений (2.15) и (2.16) следует, что активное и реактивное сопротивления цепи связаны с полным сопротивлением формулами:r  z cos; x  z sin .6(2.17)2.7. Параллельное соединениеЕсли к выводам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов r,L, и C, рис. 2.13, приложено синусоидальное напряжение u  U m sin t , то синусоидальный ток,проходящий через эту цепь, равен алгебраической сумме синусоидальных токов в параллельныхветвях (первый закон Кирхгофа):i  ir  iL  iC .Рис.