Рыба к курсовой работе по ЧМ (Неизвестные варианты курсовых работ)

I. Постановка задачи.Решить интегральное уравнение2e sx( )d  z (s) , где s  [0;3](1)0тремя методами:1) приближение ИУ методом конечных сумм на основе составных формулпрямоугольников и численное решение соответствующего СЛАУ методом Гаусса свыбором ведущего элемента по столбцу. Внесение в правую часть абсолютнойошибки и решение соответствующего СЛАУ методом Гаусса с выбором ведущегоэлемента по столбцу;2) метод регуляризации по невязке в правой части;3) метод регуляризации по невязке в правой части.Сравнить решения.II.Теоретическая часть.Интегральным уравнением (ИУ) Фредгольма 1-го рода называется уравнение видаb K ( x, t ) (t )dt  f ( x)aне содержащее искомой функции вне интеграла.Известно, что задача решения такого ИУ является некорректной, т.е.

отсутствуетустойчивое его решение к малым изменениям правой части.Многие математические задачи состоят в том, что по исходным данным u ищется решениеz. При этом считается, что u и z связаны функциональной зависимостью z = R (u). Задачаназывается корректной задачей (или корректно поставленной), если выполнены следующиеусловия (условия корректности):1) задача имеет решение при любых допустимых исходных данных (существованиерешения);2) каждым исходным данным u соответствует только одно решение (однозначность задачи);3) решение устойчиво.Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию корректности, называютсянекорректными задачами (или некорректно поставленными).1III.

Практическаячасть.A. Приближение ИУ кусочно-постоянными функциями.Численное решение соответствующего СЛАУ методомГаусса.Подставляем в ИУ (1) вместо x ( ) модельное решение:1   , x  1x( )  0, x  11,21x0,80,60,40,21,71,821,941,11,221,341,461,580,50,620,740,860,980,020,140,260,380tauРис.1. Модельное решениеПолучаем правую часть по модельному решению21110000z (s)   e s x( )d   e s (1   )d   e s d   e s d  e s  1  e s (s  1)  1  s  e s  1ss2s2Теперь решаем уравнение вида:2s  e s  1 sex()d0s22Для этого приближаем интеграл  e s x( )d кусочно-постоянными функциями0Т.к.    0, 2 и s   0,3 , то разбиваем отрезок  0, 2 по  на 20 точек (берем центральноравномерную сетку) и отрезок 0,3 по x на 50 точек (сетка также центральноравномерная) ; и решаем СЛАУ размерностью 20  20 методом Гаусса с выбором главногоэлемента по столбцу.2Получаем решение:Решение, полученное при решении методом Гаусса50004000300020001,821,941,71,221,341,461,581,10,620,740,860,98-10000,500,020,140,260,38x1000-2000-3000-4000-5000tauРис.2.

Решение, полученное при решение СЛАУ методом Гаусса.Данное решение явно отличается от модельного (см. рис.1). Но проверим матрицу В,полученной при замене интеграла в уравнении, для этого подставим получившееся решениев уравнение B  x   z и сравним правые части:Рис.3. Сравнение правых частей.3Как видно из рис.3 правые части уравнения практически совпали, отсюда делаем вывод, чтоматрица В найдена правильно.Теперь внесём в правую часть уравнения (2) абсолютную ошибку.С помощью датчика случайных чисел создаем вектор из 20 нормально распределённыхвеличин, т.е.

 i N (0,1) . Для этого в данной курсовой использовался математический пакетExel.z   z  A  ,где А=0,01 – константаПолучили таким образом «испорченную» правую часть и решим следующее уравнение:B x  z(2)так же методом Гаусса в выбором ведущего элемента по столбцу (показать, как получаетсяматрица B).Рис.5. Решение, полученное при решение СЛАУ методом Гаусса при внесении погрешностив правую часть.Проверим получившееся решение, подставив его в (2):4Рис.6. Сравнение правых частей при внесении погрешности.B. Метод регуляризации по модельному решению.Из пункта А мы видим, что поставленная задача некорректна, и для её решениявоспользуемся регуляризацией.Составим такой функционал: H TBBx  TBz ,(3)где  - параметр регуляризации,H – матрица, стабилизирующая функционалВ работе H  E   ij kkСтроим функцию:2   xmod  x() d ,0где x()  H  T BB1TB z2opt  arg min ( k )   xmod  x(( k ) ) d 05Рис.6.

Функция    ~~ opt   ( k ) =0.0055Построим функцию x(opt )  x(0.0055)  opt H  T BB1TB  z и сравним её с модельнымрешением.Рис.7. Сравнение x(0.0055) с модельным решением6C. Метод регуляризации по невязке.Вектор B  x   z , для   x называют невязкой.Строим функцию: ()  B  x()   z / k ,eгде B x()  z - среднеквадратичное отклонение,ek - количество точек разбиенияВ данной задаче k  50 .При  opt :    opt  ? A  0.01 , таким образом opt  0.007Рис.8. Функция    Построим x(opt )  x(0.007)  opt H  T BB1TB z :Рис.9. Сравнение x(0.007) с модельным решением7IV.

Литература.1. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения . 4-е изд.,исправленное. -М.: УРСС, 2007.2. Пирумов У.Г., Численные методы. 4-е изд., стереотип., –М.: Дрофа, 2007.3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. “Элементы теории функции и функционального анализа”.7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.4.

Краснов М.Л. “Интегральные уравнения. Введение в теорию”. 2-е изд. М.: КомКнига,2006.5. Садовничий В.А. “Теория операторов”. 4-е изд. М.: Дрофа, 2001.8.