Першин В.Ф., Селиванов Ю.Т. - Расчет на прочность тонкостенных оболочек вращения и толстостенных цилиндров, страница 2

4Как видно из рис. 4 ϕ = π⁄2 - α.Уравнение равновесия отсеченной части оболочки будет иметь видσS2πRtδcosα - G - qπRt2 = 0,(10)где G = Vнижγ - вес жидкости, заполняющей отсеченную часть конуса.Vниж =1 2πR t x .3(11)С учетом (11), выражение (10) имеет следующий вид12σS2πRtδcosα - γ πR t x - qπRt2 = 0.3(12)Из этого уравнения можно рассчитать величину меридиального напряжения σs и, подставив его в уравнение (1), найтивеличину σt.Возможно отделение сечением не нижней, а верхней части оболочки с последующей записью уравнения равновесия.Это делается для того, чтобы при составлении условий равновесия отсеченного элемента крепление оболочки не попадало всхему отсеченной части.

В подобных вариантах во всех рассмотренных случаях изменится знак силы G, т.к. в этом случае еенаправление будет совпадать с направлением вертикальной составляющей напряжения σS.В этом случае, при расчете величины G, в качестве объема будет браться объем отсеченной верхней части Vверх, а прирасчете величины q в формулу (2) во всех случаях войдет величина hниж - высота столба жидкости в отсеченной нижнейчасти оболочки.

В остальном порядок расчета останется неизменным.В случае, если жидкость находится в сосуде под давлением Р, то при расчете величины q добавляется величинадавления Р. Формула (2) будет иметь следующий видq = P + hнижγ.(13)Если сосуд заполнен не жидкостью, а газом под давлением Р, то из уравнения равновесия во всех случаях исключаетсявеличина G, а давление q равно P.В некоторых задачах отсеченная часть представляет собой не какой-то один элемент, а два или болеесостыкованных элемента. При этом вид уравнений равновесия остается неизменным, а изменяется только величинаобъема верхней или нижней части сосуда, однако, если известны зависимости, определяющие объемы элементов, тонайти суммарный объем не представляет затруднения.На рис. 5, а показана схема оболочки вращения, состоящей из сферической, цилиндрической и коническойоболочек.

Крепление оболочки располагается на уровне стыка сферической и цилиндрической оболочек. Сосуднаполнен жидкостью, находящейся под давлением Р.На рис. 5, б показан пример построения эпюр напряжения. В левой половине оболочки расположена эпюра σS, а вправой σt.Ра)σsσtб)Рис. 5Полученные построения справедливы для участков, находящихся на некотором удалении от линии закрепленияоболочки и точек сопряжения сфера-цилиндр и цилиндр-конус.

В точках сопряжения возникают эффекты, которые не могутбыть учтены теорией безмоментного напряженного состояния. Все это также относится и к точкам, непосредственнопримыкающим к вершине конуса.ТОЛСТОСТЕННЫЕ ЦИЛИНДРЫОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯТолстостенным называется такой цилиндр, для которого отношение толщины стенки к внутреннему диаметру не менее1/20.Задача о расчете толстостенного цилиндра решается с учетом равномерно распределенного наружного давления Рн ивнутреннего давления Рв. Мы исходим из того, что такая нагрузка не может вызвать деформации изгиба цилиндра.Нормальные напряжения σt в сечениях плоскостями, перпендикулярными оси симметрии О цилиндра нельзя считатьравномерно распределенными по толщине стенки, как это делается при расчете тонкостенных оболочек вращения (рис. 6).Нормальные напряжения σr действующие по цилиндрической поверхности с радиусом r могут быть одного и того жепорядка и даже превышать напряжение σt, что при тонкостенных цилиндрах невозможно.В поперечных сеченияхцилиндракасательныенапряжениятакжепредполагаютсяравныминулю,однако,возможносуществованиенормальныхосевыхнапряженийσz,которыевозникаюткакследствиенагруженияцилиндрасилами,действующими вдоль оси.

Вдальнейшеммыбудемрассматриватьоткрытыецилиндры, т.е. не имеющиеднищ. Напряжения σz в такихцилиндрах равны нулю. ВыводРис. 6формул расчета напряжений втолстостенныхцилиндрахоснован на том, что длянихсоблюдается гипотеза плоских сечений, т.е. поперечныесечения цилиндра, плоские до нагружения, останутсяплоскими и после нагружения.Основными уравнениями для расчета напряжений в толстостенных цилиндрах являются формулы Ламе:σr = −σr = −rн21− rв212rн − rв2 2  r2Pн rн 1 − в2 r 2 + Pв rв2  rн − 1 ,2r(14)2 2  r2 2 rPн rн 1 + в2  − Pв rв  н2 + 1 . r r(15)При действии на цилиндр только наружного или внутреннего давления знаки эпюр σr, σt во всех точках цилиндраодинаковы.

Эпюры изменения радиального σr и окружного напряжения σt для случая действия только наружного давленияпоказаны на рис. 7. Эти напряжения во всех точках цилиндра отрицательны, что соответствует сжатию.При нагружении внутренним давлением эпюры изменение радиального окружного напряжения показаны на рис. 8.Окружное напряжение является расширяющим, а радиальное - сжимающим.PнσtσtσrσrPвРис. 7Рис. 8Анализ формул Ламе показывает, что увеличение толщины не может во всех случаях обеспечить необходимойпрочности цилиндра. Поэтому для сосудов высокого давления необходимо искать какие-то другие конструктивные решения.Одним из таких решений является создание составных, соединенных с натягом, цилиндров. Этот прием используется как втехнике высоких давлений, так и в артиллерийской практике для упрочнения стволов мощных орудий.В результате натяга в трубах возникают нормальные напряжения, которые частично компенсируют напряжения в трубеот действия высокого давления.СОСТАВНЫЕ ЦИЛИНДРЫ.

АВТОФРЕТИРОВАНИЕ.ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯИз формул (14) и (15) следует, что при действии только внутреннего давления напряжения σt в любых точках цилиндраположительны и по абсолютной величине больше напряжений σr. Наибольшего значения напряжения σt достигают у точеквнутренней поверхности цилиндра, где они равныσ t = PВ ⋅rН2 + rВ2rН2 − rВ2(см.

рис. 7).В остальных точках напряжения σt меньше этого значения.Наибольшее значение σt можно уменьшить путем применения составных толстостенных цилиндров, состоящих изболее тонких труб, надетых друг на друга. При этом наружная труба изготавливается с внутренним диаметром, несколькоменьшим наружного диаметра внутренней трубы. Разница между этими диаметрами до сборки принимается до изготовленияи называется натягом.Чтобы соединить цилиндры наружный цилиндр обычно нагревают, он расширяется и появляется возможность одетьего на внутренний цилиндр. Возможно также охлаждение внутреннего цилиндра в жидком азоте или запрессовкацилиндров в друг друга. После сборки выравнивается температура, наружный цилиндр плотно охватывает внутреннийи получается надежное соединение.В результате натяга в трубах возникают начальные напряжения, причем, чем больше величина натяга, тем большеначальные напряжения.Способ уменьшения напряжений σt и, как следствие, повышение прочности толстостенных цилиндров путем заменысплошного цилиндра составным был предложен академиком А.

В. Гадолиным.la∆/2b+∆/2lbcРис 9Обозначим через b и c радиусы наружного цилиндра, через a и b +∆/2 радиусы внутреннего цилиндра, а ∆ - натяг (см.рис. 9).При одинаковой длине соединенных цилиндров контактное давление рк равномерно распределено по посадочнойповерхности.Подставив в уравнения (14) и (15) параметры, характеризующие напряжения в наружном цилиндре получимс2 + b 2;с2 − b 2σ r = − pк .σt = рк(16)(17)Аналогично можно определить напряжения, возникающие на посадочной поверхности внутреннего цилиндраσt = − ркb2 + a 2;b2 − a2σ r = − pк .(18)(19)Если внутренний и наружный цилиндры изготовлены из одного и того же материала, то контактное давление ркопределяется зависимостьюpк =∆E, b2 + a 2 c2 + b 2 + 22b  22c − b2  b − a(20)где Е - модуль упругости материала внутреннего и наружного цилиндров.За счет натяга в составном цилиндре возникают начальные напряжения, характер изменения которых по наружномусечению показан на рис. 10.При приложении внутреннего рабочего давления на начальные напряжения накладываются рабочие напряжения(показаны на рис.

11 пунктиром). Суммарные напряжения показаны на рис. 11.Рис. 10Рис. 11В точках, расположенных на внутренней поверхности составного цилиндра, суммарное окружное напряжениеполучается меньше, чем в тех же точках целого цилиндра.Оптимальное значение натяга можно определить из условия равнопрочности внутреннего и наружного цилиндров,оптимальное значение радиуса контактной поверхности - из условия наибольшего снижения эквивалентногонапряжения в опасной точке.В соответствие с этим оптимальный радиус контактной поверхности:rк = r1r2 .(21)Натяг соответствующий этому радиусу и внутреннему давлению рв:∆=2 pв rк..E(22)Необходимо отметить, что детали, предназначенные для соединения с натягом, должны изготавливаться с большойточностью, т.к. даже небольшое отклонение от номинальной величины натяга может привести к снижению прочностисоединения.В технике высоких давлений, кроме посадки, применяется так называемое автофретирование, которое заключается впредварительной нагрузке цилиндра внутренним давлением, бóльшим рабочего, с таким расчетом, чтобы во внутреннихслоях цилиндра возникали пластические деформации.

После снятия давления во внешних слоях цилиндра сохраняютсяупругие напряжения растяжения, а во внутренних слоях возникают деформации сжатия (см. рис. 12).Вдальнейшемпринагрузкецилиндрадавлениемостаточныенапряжения суммируются сσtрабочимтак,чтовоσrвнутренних слоях имеетместо чистая разгрузка.Материалцилиндранеполучаетпластическихдеформаций, если толькорабочеедавлениенепревышает давление предварительного обжатия.ПРИМЕР РАСЧЕТАРис 12ЭЛЕМЕНТА ТОНКОСТЕННОЙОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ.

КОНИЧЕСКАЯ ЧАСТЬСхема показана на рис. 13.10Дано: толщина стенки δ = 0,02 м;давление внутри оболочки Р = 0,2 МПа; удельный вес жидкости γ = 1,5⋅104 н ⁄ м3.0,25BРешение: Рассмотрим отсеченную часть с действующими на нее силовымифакторами (см. рис. 4).I сечение проходит через т. АR1 = 0; R2 = 0; σs = 0; σt = 0.45oII сечение располагается на расстоянии х = 0,15 м.AВысота столба жидкости над сечением v = 10 - 0,15 = 9,85 м.Давление q = P + vγ = 0,2 ⋅10 6 + 9,85 ⋅1,5 ⋅10 4 = 347750 н/м 2 .В соответствии с уравнением равновесия нижней отсеченной части оболочки (13) имеем1σ s 2 πR t δ cos α − γ R t2 x − qπR t2 = 0;3o4 1σs 2π ⋅ 0,15 ⋅ 0,02cos45 −1,5 ⋅10 ⋅ π ⋅ 0,153 − 347750π ⋅ 0,152 = 03σ s ≈ 1,85 МПаВ соответствии с формулой Лапласа (1) имеем,Rσt σ s q0,15R1 = t =+== 0,212 м.

.cosα 0,707R1 R 2 hРадиус кривизны R2 для конуса равен ∞σt347750=; σ t ≈ 3,69 МПа.0,2120,02III сечение проходит через т. В.х = 0,25 м;v = 10 - 0,25 = 9,75 м;q = P + vγ = 0,2 ⋅10 6 + 9,75 ⋅1,5 ⋅104 = 346250 н/м 2 .Решая уравнение равновесие (12) получим:1σ s 2 πR t δ cosα − γ πR t2 x − qπR t2 = 0 ;31σ s 2 π ⋅ 0,25 ⋅ 0,02 cos45 o − 1,5 ⋅104 π ⋅ 0,253 − 346250 ⋅ π ⋅ 0,252 = 0;3σ s ≈ 3,07 МПа. .В соответствии с формулой Лапласаσt σ s qR0,25+= ; R1 = t == 0,354 м;cosα 0,707R1 R 2 hσt346250=; σ t ≈ 6,13 МПа.0,3540,02Эпюра напряжений показана на рис.