Першин В.Ф., Селиванов Ю.Т. - Расчет на прочность тонкостенных оболочек вращения и толстостенных цилиндров

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬТОНКОСТЕННЫХОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯИ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВO2nn1dϕn3O1dϕσsR1CσtR2σtDDn2qσs•Издательство ТГТУ •Министерство образования Российской ФедерацииТамбовский государственный технический университетРАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯИ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВМетодическое пособиедля студентов 2 курса дневного и 3 курса заочного отделенийспециальностей 655400, 655800Тамбов• Издательство ТГТУ •2002УДК 539.319.001.24ББК В 251.64-я 73П 279Р е це н зе н тКандидат технических наук,профессор Тамбовского государственного технического университетаА. А. КоптевП 279 Расчет на прочность тонкостенных оболочек вращения и толстостенных цилиндров: Метод. пособ.

/ Сост.: В. Ф.Першин, Ю. Т. Селиванов. Тамбов: Из-во Тамб. Гос. техн. ун-та, 2002. 20 с.Методическое пособие предназначено для студентов 2 курса дневного и 3 курса заочного отделений специальностей655400, 655800 для выполнения расчетно-проектировочной работы по курсу "Сопротивление материалов".УДК 539.319.001.24ББК В 251.64-я 73© Тамбовский государственныйтехнический университет(ТГТУ), 2002Учебное изданиеРАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯИ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВМетодическое пособиеСоставители: Першин Владимир Федорович,Селиванов Юрий ТимофеевичРедактор Т.

М. Федч енкоИнженер по компьютерному макетированию Е. В . Кор аб лев аЛР №020851 от 13.01.94Плр № 020079 от 28.04.97Подписано к печати 31.01.2002Формат 60 × 84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.Гарнитура Times. Объем: 1,16 усл. печ. л.; 1,02 уч.-изд. л.Тираж 100 экз. С. 45М.Издательско-полиграфический центрТамбовского государственного технического университета392000, г. Тамбов, ул. Советская, 106, к. 14ВВЕДЕНИЕТемы "Тонкостенные оболочки вращения, толстостенные и составные цилиндры" являются одним из разделов курса"Сопротивление материалов". В процессе изучения этого раздела студенты выполняют расчетно-проектировочную работу порасчету составной оболочки вращения.Настоящее методическое пособие составлено применительно к выполнению этой работы.К выполнению задания можно приступить только после изучения соответствующей темы в учебниках [1, гл.

9 п. 64, 65,66], [2, гл. 16 п. 16.1, 16.2], [3, гл. 9 п. 82] и решения задач из раздела [4, гл. 11 п. 11.2, гл. 12п. 12.1].СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯЗадание включает в себя построение эпюр меридиональных и кольцевых нормальных напряжений по высоте оболочкивращения. Учитывая, что сосуд включает в себя три типа оболочек вращения, необходимо при построении эпюр разбиватькаждый элемент тремя сечениями и в каждом из них рассчитывать величины меридиональных и кольцевых нормальныхнапряжений. При составлении условий равновесия каждого отсеченного элемента целесообразно осуществлять выборэлемента таким образом, чтобы крепление не попадало в схему отсеченного элемента. Это можно сделать рассматриваяравновесие отсеченной части, лежащей выше крепления как элемент сферы (см. прил.) и равновесие части, лежащей нижекрепления в виде сочетания цилиндр-сфера, цилиндр-конус.По условию задания оболочка заполнена жидкостью с удельным весом γ на высоту L1.

Внутри оболочки имеетсядавление Р. Если по условию задачи отсутствует коническая часть оболочки, то величина α (град), не используется.Задание выполняется по следующему плану.1 Составить расчетную схему с использованием схем и таблицы(см. прил.).2 Разделить сосуд на три элемента оболочек вращения. Каждый элемент разделить сечениями на три участка и длякаждого из участков рассчитывать значения σt и σS.3 По расчетным значениям σt и σS построить эпюры меридиональных и кольцевых нормальных напряжений по высотеучастка.4 Выделить наиболее опасное сечение оболочки по величинам рассчитанных напряжений σt и σS.Задание должно содержать расчетно-пояснительную записку и графическую часть.

Расчетно-пояснительная запискавыполняется на листах формата А4 (297 × 210 мм), скрепленных в виде тетради с обложкой из плотной бумаги, накоторой должны быть указаны: тема задания, шифр, номер группы, фамилия студента, дата выполнения, фамилия идолжность преподавателя, проверившего задание.

Графическую часть следует выполнять на ватмане формата А2 (илипо согласованию с преподавателем - А4). Все элементы графической части должны быть вычерчены в определенноммасштабе. На первой странице расчетно-пояснительной записки необходимо выписать условие задачи с числовымиданными, составить эскиз в масштабе и указать на нем буквенными обозначениями все величины, необходимые длярасчета.Решение должно сопровождаться краткими пояснениями и чертежами, содержать расчетные формулы и вычисления безсокращений.Полученные результаты записывать с указанием размерностей.Все расчеты рекомендуется выполнять на микрокалькуляторе с соблюдением правил приближенных вычислений,сохраняя три значащие цифры.ТОНКОСТЕННАЯ ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯТонкостенной осесимметричной оболочкой называется оболочка, имеющая форму тела вращения, т.е. оболочкаполярно симметричная относительно некоторой оси.

Причем толщина оболочки весьма мала по сравнению с радиусамикривизны ее поверхности.Задача о расчете оболочек вращения наиболее просто решается в том случае, когда возможно принять, что напряжения,возникающие в оболочке, постоянны по толщине, и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует. Теория оболочек,построенная на этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек.Срединной поверхностью оболочки называется поверхность, равноудаленная от наружной и внутренней поверхностей.Из оболочки, изображенной на рис. 1, а выделим двумя меридиональными плоскостями nn1n2 и nn3n2, (т.е. плоскостямипроходящими через ось симметрии оболочки), с углом dϕ между ними и двумя плоскостями, перпендикулярными осисимметрии оболочки ВС и AD, элемент ABCD.Радиусы кривизны О2А и О2В элемента ABCD в меридиональной плоскости обозначим через R2, а радиусы О1В и О1С вплоскости, перпендикулярной меридиану, обозначим через R1.

Нормальные напряжения, действующие по боковым гранямАВ и CD, соприкасающимся с меридиональными плоскостями, называются окружными напряжениями σt. Нормальныенапряжения, действующие по боковым граням ВС и AD, называются меридиональными напряжениями σS. Кроменапряжений σS и σt на элемент оболочки действует нагрузка в виде давления q, перпендикулярного поверхности ABCD.O2nn1dϕn3O1dϕR2σtR1σsCσtРис. 1Основным уравнением безмоментной теории оболочек является уравнение Лапласа, которое имеет следующий видσt σ s q+= ,R1 R 2 δ(1)где δ - толщина оболочки.Причем для сферической оболочки радиусы кривизны R1 и R2 равны радиусу сферы. Для цилиндрической и коническойоболочек радиус кривизны R2 = ∞, а радиус R1 определяется согласно рис.

3, 4.Определить из одного уравнения две неизвестные величины σS и σt невозможно, поэтому чтобы определить напряженияв стенке оболочки необходимо совместное решение уравнения Лапласа и уравнения равновесия части оболочки, отсеченнойконической поверхностью, перпендикулярной меридиану.Прежде чем перейдем к рассмотрению различных вариантов определения меридиональных напряжений остановимся нанекоторых различиях, вызванных наличием газа или жидкости внутри оболочки.В случае газового давления величина q постоянная во всех точках поверхности оболочки. Для резервуаров,наполненных жидкостью, значение q по их высоте переменно.Для случая наполнения резервуара жидкостью необходимо учитывать, что если на какую-либо поверхностьдействует давление жидкости, то вертикальные составляющие сил давления равны весу жидкости в объеме,расположенном над поверхностью.

Поэтому давление жидкости в различных сечениях оболочки будет различным, вотличие от давления газа.Рассмотрим варианты расчета меридиональных напряжений для различных, наиболее часто встречающихся, видовповерхностей оболочек вращения. Во всех случаях мы будем считать, что оболочки наполнены жидкостью с удельнымвесом γ.СФЕРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКАОтсечем часть сферической оболочки нормальным коническим сечением с углом 2ϕ при вершине и рассмотримравновесие этой части оболочки вместе с заключенной в ней жидкостью. Сферическую часть отделим от основной оболочкиплоскостью, перпендикулярной оси симметрии.На рис.

2 изображена расчетная схема сферической оболочки радиусом RS. Высота отсеченной поверхности x = RS (1 cosϕ). Давление q на отсеченную часть в этом и последующих случаях равно весу жидкости в объеме, расположенном надповерхностью, который равенq = hверхγ,(2)где hверх - высота столба жидкости выше отсеченной части оболочки.Уравнение равновесия отсеченной части может быть записано, как сумма проекций всех сил на вертикальную осьσS2πRtδsinϕ - G - qπRt2 = 0.(3)В данном уравнении величина G - вес жидкости, заполняющей отсеченную часть сферической оболочки (см.

рис. 2).G = Vнижγ,(4)где Vниж - объем нижней отсеченной части сферической оболочки.Путем интегрирования объем сферического сегмента может быть определен по формулеπR S3(1 − cos ϕ)2 (2 + cos ϕ).(5)3После подстановки уравнения (5) в выражение (4), и затем, в (3), получим конечное уравнение равновесия длясферической части сегментаV ниж =σ S 2 πR t δ sin ϕ − γπR S3(1 − cos ϕ)2 (2 + cos ϕ) − qπR t2 = 0 .3(6)Из этого уравнения можно определить величину меридионального напряжения σS, и, после подстановки в уравнениеЛапласа (1), найти величину окружного напряжения σt.σsRtσsqσsqσsϕR1=RtRsGGРис.

2Рис. 3ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКАРасчетная схема цилиндрической оболочки показана на рис. 3.В данном случае цилиндрическая часть отделена от остальной части оболочки сечением, перпендикулярным осисимметрии.Уравнение равновесия отсеченной части может быть получено, как сумма проекций всех сил на вертикальную ось.σS2πRtδ - G - qπRt2 = 0,где G = γVниж - вес жидкости, заполняющий отсеченную часть цилиндрической оболочки.Объем цилиндра с высотой х и радиусом Rt может быть определен по формулеV = πRt2x.(7)(8)С учетом этого уравнение равновесия принимает видσS2πRtδ - γπRt2х - qπRt2 = 0.(9)В этом уравнении, также как и предыдущем случае, одна неизвестная σS.Для случая цилиндрической оболочки при подстановке в уравнение Лапласа необходимо учесть, что величина R2 = ∞,значитσS/R2 = 0.КОНИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКАОтсечем часть конической оболочки нормальным коническим сечением с углом 2ϕ при вершине и рассмотримравновесие отсеченной части.RtσsϕqαR1σsGαРис.