Возможности ANSYS, страница 11

Разрешающее уравнение для линейногоподхода имеет следующий вид:([K] - λ[S]){u} = 0,где[K][S]λ{u}- матрица жесткости конструкции;- матрица эффективной жесткости;- собственное значение (масштабныйфактор);- собственный вектор,определяющий форму выпучивания.Точка на кривой “нагрузка-смещение”,которая соответствует началу выпучивания,называется точкой бифуркации, так как в этойточке происходит разветвление форм равновесия.Заточкойбифуркациисистематеряетустойчивость или продолжает нести нагрузку внекотором новом равновесном состоянии (рис.20).Следует иметь в виду, что линейныйподход не может учесть нелинейности любогорода и несовершенства системы.

Эти факторы,если они присутствуют в реальной конструкции(а они обычно имеются), приводят к снижениюнагрузок, полученных в линейном случае. Вместес тем, линейный анализ весьма эффективен ипотомутребуетотносительнонемногокомпьютерного времени по сравнению снелинейным подходом. Его полезно использоватьдля изучения общего поведения конструкциипередвыполнениемнелинейногоанализаустойчивости или перед более серьезнымисследованием.Рис.

20Сопоставление нагрузки в точке бифуркации (прилинейном выпучивании) с критической нагрузкойуказывает на неконсервативную природулинейного расчета, т.е. расчет “не в запас”.Нелинейный подходДляболееточногоопределениякритических нагрузок следует использоватьнелинейное решение.

Нелинейный анализОфис 1703, 77, Щелковское шоссе, Москва, 107497, РоссияФакс 913-23-00e-mail: cadfem@online.ruВозможности программыустойчивости - это, в сущности, исследованиевлияния больших смещений. В разделе этогообзора “Конструктивные нелинейности” описано,каким образом программа ANSYS корректируеториентацию элементов конструкции, используякомбинированный способ решения на основеметода Ньютона-Рафсона в сочетании с техникойкорректирующих дуг Рикса.Подход,использующийпроцедурупоследовательныхприближенийНьютонаРафсона, приводит к следующему соотношению,справедливому для некоторой равновеснойитерации:[K] i-1 {∆u}i = {F} - {Fel }i-1,гдематрица жесткости на предыдущей[K] i-1итерации;вектор, компонентами которого{∆u}iявляются приращения перемещенийдвух последовательных итерацийнагрузке.

Затем арка прощелкнется в новуюформу и вновь начнет сопротивляться нагрузке.Эта новая устойчивая форма может быть найдена,если продолжить процесс сходящихся итерацийдо критической точки или за нее.Какприопределениикритическойнагрузки, так и при анализе закритическогоповедения конструкций используется методкорректирующихдуг.ЕслииспользоватьнемодифицированныйметодприращенийНьютона-Рафсона, то матрица жесткости системыможет оказаться сингулярной в тех случаях, когдапроисходит полная потеря равновесной формыили перескок в новое устойчивое состояние.Методкорректирующихдугвынуждаетсходиться равновесные итерации НьютонаРафсона в пределах отрезков определеннойдлины на кривой “нагрузка-перемещение”, что ипозволяет осуществлять нелинейный анализ (рис.21, 22).{u}i = {u }i-1 + {∆u}i ;{u}i{F}{Fel }i-1вектор перемещений, относящихся ктекущей итерации;вектор приложенных к системе сил;вектор упругих сил,соответствующих перемещениямпредыдущей итерации с номером(i - 1).В программе ANSYS нелинейный анализустойчивости выполняется за счет постоянногоконтроля за поведением приращений ∆u витерационном процессе.

Обычно при решениизадач с учетом больших смещений фактуменьшения прироста перемещений междуитерациями свидетельствует о достижениисистемой стабильного, устойчивого состояния.Однако если конструкция нагружена вышекритического уровня, то приращения ∆u будутрасти от итерации к итерации (т.е. решениерасходится). Критической нагрузкой (нагрузкой,соответствующей потере устойчивости) являетсятот ее уровень, при котором решение начинаетрасходиться.Величинакритическойнагрузки,полученной при нелинейном подходе, обычнониже той, которая определяется точкойбифуркации линейного решения (рис. 20).

Эторазличие обусловлено тем, что при нелинейномрешении возможно учесть присущие реальнымконструкциям начальные несовершенства инелинейности (геометрические и физические).Другимприложениемнелинейногоподхода к устойчивости является анализ систем,теряющих устойчивость с перескоком. Многиесистемы после достижения точки бифуркациимогут переходить в новое устойчивое состояниепри дальнейшем росте нагрузки. Примером такойсистемы может служить пологая арка сзакрепленными шарнирно концами, котораянагружена сжимающей силой, приложенной в еевершине.

С ростом нагрузки арка будетпрогибаться вниз, пока не достигнет критическойточки и более не сможет противостоять растущейПредставительство CAD-FEM GmbH в СНГТел. (7-095) 913-23-00, 468-81-75Рис. 21Нелинейный анализ устойчивости, как, например,для случая прощелкивания пологой арки, можновыполнить, используя возможности программыANSYS учитывать большие смещения.Рис. 22Офис 1703, 77, Щелковское шоссе, Москва, 107497, РоссияФакс 913-23-00e-mail: cadfem@online.ru26Перевод и редактирование Б.Г.

Рубцова, оформление Л.П. ОстапенкоМетод ограничивающих дуг используется впрограмме ANSYS при нелинейном анализе дляобеспечения сходимости равновесных итерацийНьютона-Рафсона к верному решению.КонструктивныенелинейностиКонструктивные нелинейности вынуждаютконструкцию или ее составные части реагироватьнепропорционально приложенным нагрузкам. Посуществу, все конструкции неизбежно являютсянелинейными, но не всегда до такой степени,чтобы это проявлялось при анализе. Однако еслиустановлено, что нелинейные эффекты стольсильно сказываются на поведении системы, чтоиминельзяпренебречь,нужнорешатьнелинейную задачу.Программу ANSYS можно применять какдля решения статических, так и динамическихнелинейных задач. Статический нелинейныйанализ осуществляется посредством замены всейнагрузки серией ее небольших приращений ивыполнением на каждом таком шаге по нагрузкепоследовательности линейных приближений дополучения состояния равновесия.

Каждоелинейное приближение требует обращения к“решателю” уравнений системы, т.е. выполненияравновесной итерации. Подобным же образомнелинейный нестационарный анализ сводится кпоследовательности решений для несколькихнагрузок, зависящих от времени и возрастающихот шага к шагу; на каждом шаге выполняютсяравновесные итерации. Однако в этом случае дляучета инерционных эффектов требуется ещеинтегрирование по времени.Принелинейноманализематрицажесткости системы и вектор нагрузок могутзависетьотрезультатоврешенияи,следовательно, неизвестны. Для преодоленияэтого затруднения в программе ANSYSиспользуется итеративная процедура на основеметода Ньютона-Рафсона, которая состоит в том,что выполняется серия линейных приближений,обеспечивающихсходимостьпроцессакистинномурешению.Пристатическомнелинейном анализе для управления процессомсходимости решения можно воспользоватьсяметодом корректирующих дуг (рис.

22).В методе Ньютона-Рафсона матрицажескости и/или вектор нагрузок модифицируютсяна каждой итерации. Используются соотношениягде:[K] i-1{∆u}i[K] i-1 {∆u}i = {FA} - {FNR}i-1,- матрица коэффициентов тангенциальной жесткости для деформи-рованнойгеометрии на (i-1) итерации;- вектор, компонентами которогоявляются приращения перемещений двухпоследовательных итераций:{∆u}i = {u}i - {u }i-1;Представительство CAD-FEM GmbH в СНГТел.

(7-095) 913-23-00, 468-81-75{u}i- вектор перемещений, относящийся ктекущей итерации;- вектор приложенных к системе сил;{FA}{FNR}i-1 - вектор нагрузок в методе НьютонаРафсона, соответствующих перемещениям для итерации с номером (i - 1).Пользовательимеетвозможностьуправлятькакразбиениемнагрузкидополнительными шагами на ряд небольшихприращений, так и выбором максимального числаравновесных итераций. Процесс итерацийпродолжается до тех пор, пока не достигаетсясходимость решения или не исчерпывается ихпредельное число. Для всех видов нелинейностейпроверка сходимости делается по невязке усилий({FA} - {FNR}i-1 ) и/или по величине приращенияперемещений {u}i при переходе к следующемушагу.В большинстве нелинейных статическихзадач для получения верного решения требуетсяприложение нагрузки малыми шагами.

Нагрузкаплавно нарастает от начального (обычнонулевого) значения до конечного. ПрограммаANSYS может выбрать шаг нагружения,обеспечивающийполучениеточного,сходящегося решения. Пользователю достаточноуказать конечное значение нагрузки, а такжеминимальную и максимальную величину шага.При нелинейном динамическом анализеинтегрированиеуравненийдвижениявыполняется методом Ньюмарка. Непрерывныйдинамический процесс представляется в виденабора величин для ряда дискретных точек по оси“время”. Разность между значениями в любыхдвух соседних точках этой оси называется шагоминтегрирования по времени; именно его величинаопределяет точность решения. Пользовательуказывает начальный шаг интегрирования,принимая во внимание условия нагружения,собственные частоты системы и другие факторы.Существенной особенностью программы ANSYSявляется возможность автоматического выборашага интегрирования, когда увеличение илиуменьшение шага по времени происходит наоснове частотных свойств системы или степени еенелинейности.

Это уменьшает общее числошагов, требуемых для получения решения присохранении достаточной точности.Кроме автоматического выбора шага иметода корректирующих дуг, в программеANSYS имеются и другие средства улучшениясходимости, такие, как процедуры предикции,бисекции, линейного поиска и адаптивногоспуска. Предикция представляет собой процессслинейного прогноза для неизвестных степенейсвободы в начале каждого шага решения, абисекция и адаптивный спуск позволяютостановить счет и выполнить рестарт, еслиобнаруживается, что решение отклоняется отверного.Вкачествеальтернативыможноиспользовать решатель явного типа ANSYS/LSDYNA, чтобы эффективно решать задачи приналичии сильных нелинейностей, включаячисленное моделирование динамических ударов иОфис 1703, 77, Щелковское шоссе, Москва, 107497, РоссияФакс 913-23-00e-mail: cadfem@online.ruВозможности программыконтактов при авариях, процессов штамповкиметаллов, глубокой вытяжки, сверхпластичногоформования, экструзии и прокатки.Программа ANSYS, решая задачи какстатического, так и динамического анализа,может справиться с большим числом различныхнелинейностей.