Том 2 (Седов Л.И. - Механика сплошной среды), страница 8

А.ЭтаработаосновнойсталагазовойвВпространственнойгверхностиЭтонеустановившиесяпараметрыкоординатыхарактеристикицилиндрическимивсеслучаеэтомоднойотconst=вседвижения—1902г.струях»1).газовыхсовременныхмногихразвитияис-Этодинамике.Одномерныения.ив«ОработедляУравненияу.использованоипо-искомыепеременныхклинейным.преобразоватьпредложенознаменитойеговихзаменойудаетсябылослучаеэтомкогдапеременныхдвухспециальнойтакжеЧаплыгинымтеорийотслучаеэтомфункцийпреобразованиесжимаевтечений,лишьвкомыхуравнениеразвитиеплоскопараллельныхзависятдвиженияволновоедвиженияНаибольшеежидкости.функциииооЛапласа.уравнениев—*-а0Ес-уравнением.волновымтонесжимаемая,плоскими,стече-зависятдвижениягтолькоt.времениидвиженияНапо-гл.VIIодинаковы.сферическимииволнами.Кт.задачам1классаэтогозадачимногиеуравненийПотенциальные§ 12.СвойстванесжимаемойтеперьидеальнойтеченияпотенциальныеИзучимчас™^Ф=4я:гх)G.Я-,А.гЧа1948;пУ(х=лыготдельное-фундаментальноеЛапласаин,х,ТО+газовыхиздание,(У§ 3(см.Ранеерассмотрено—решенияосновныенекоторыеЛапласа.ненияуравненияГостехиздат,жидкости.жидкости.уравненияЛапласазадачи.практическиенелинейна.функцийРассмотримнесжимаемойраспространенииоважныедвижениягармоническихОсновныепоршнем,другиеслучаеэтомвврассмотренныегазаиволнвзрывныхСистемаотносятсявытесненииоVoY-струях,Гостехиздат,гл.I)уравбылорешение+(zСобр.z0J-1949.сочинений,A2.Dт.I,158Гл.Q ^>(приXqjфизическийегоустановлени0)VII .смысл(пристокаилиГидромеханикакакQтечения0),<отисточникаврасположенныхточкеZq.У(нРешенияЛапласауравнениячастныеновыерешенияТакимиможнофобразом1/г=получаемочевидно,Например,получитьнекоторомупопутемтакимполучатьЛапласа.Лапласауравненияцированиялинейности,егосилууравнениярешениярешениевдифференцироватьскладывать,можночастноедифферен-путемнаправлениюs.решение(х„х0)—(у+а?/о) 3 +—(гz0)—7г-so^A2.2)Сгде„dx.const,=аdiin-=—|з,ctsсsправлениярадиус-вектор,=осями=cisSправленияВтсоответственно,zyo,zo,ns°х0,вна-качествеуравнениярешениеследующее——единич-выбравчастности,получимх,на-угловкосинусыasу,х,S.ось-зточкиизнаправлениявектор=координатпроведенныйныйdzТ-г—,Лапласа:дгРешениеОнокавQЭтофполучаетсяравныминаправленииsх0,ней,ввтунийлаСновыес/АЯ(—),-~-решения\приразличнымуравнениядиполяпостроениипрост*Жид-бесконечна.Sнаправлениюпоикакболеедругих,«х,(?/4лг,решениеобщихрешепотенциа-в2,.

.,и67).(рис.стороныего—особойдифференцированиинаправлениямЛапласаС.вявляетсяскоростьточкиЛапласа,уравненияaвеличинедиполь,этойAs->0,AsнаправлениеапротивоположноймногократномповторномпоизвытекаетрольЛапласа.важнуюуравненияПриA2.1)0,точкужеРешениеиграетi>Сеслилегкоконечнойдиполя,расположенпроверить,гдеz0,z/0,какусловии,точечногооттечениемрасстояниичтокисточни-истокаотстремитсямоментомназываетсяТочкакаетAsj—QназываетсяСкость,другсмысл.напридруга,оттеченийсуммырасположенныхизQ,чтоТак,точкой,/пределевтечениеосью.А"расходамиооранстве,АчфизическийпростойимеетOSс_>_С-о-(—=«„получаютсявте-12.§ПотенциальныеСоответствующиетечениярегулярныA2.3)потенциалыисчезаниявсравнениюх0)=точкежидкостииихх,х0,=утакимz0=обра^Постро-способомтечениятечениямиотСвойстватиполей.мулъ-теченияотпо-определяютсямультиполяСпстояннойнаправлениямиsltидифференцированиякоторыеспособом.СнийпроизРис.A2.3)видавсехприрадиус)циалзначительныйопределяетг0диусаПотенциалточкевцентромисточниковпространством.тветствуютточкамнекоторыйзанятойиопределяемаяобъемVoх0,функциячтоoQ (x0,функция,случаяхх)См.формулынужный§ 25xof-+соо-z0ф(х,z),у,этойA2.5)главы.dz0A2.5)-интегрируемаяфункциейсиф.ВЖ.ввыборапомощьюМожнопоказатьнекотоис-можнозадачгидродинамическихрешениипотенциал(Vпроизвольнаянекоторая—гармоническойприизнаходить1zn)y0,являетсярыхходитьбес-всему0,интеграломV(xгде¦областивнесокоординатыОчевидно,ранесжимаемойдвижущейсянесовпадающейПустьVo.потен-сферывнеz0.у0,х0,объемаA2.4)жидкостижидкостьюконечнымподхо-СоответствующийВозьмемg)fнекоторый—ди„течениеобъемногораспределениядиполя.видапроизвол.регулярноесг0рядLJL2^=содержащий(гдег0гбйвыбранныйобразомотпост-можносходящийсядТечение67.реше-сложенияпомощьюрроитьдящимS2,.

.,sn,выбиратьможновольнымz0z0;этойвжидкостиенныеу0,у0,порядокповышенныйимеютyo,z—бесконечность.называютсях0,х0,точкикромеz,поособой,скоростьву,производныебесконечностиявляетсящаетсяпостоянныхприпространстве159жидкости1/г.сТочка(гвсемво^несжимаемойдвижениях),Qфункциичто,если160Гл.функциятоQ (х0,объемевVII .z0)z/0,потенциалVoГидромеханиканепрерывнаякусочно<р(х,ПуассонаАФВнутриVoимеетсяQ (х,плотностьюмойжидкостивz).у,объемv=Пустьпростого(рис.68).всейПоверхностьримобъемных0)несжимае-движенияобъемевчтоFoусловиене-удовлетворяется.неимеем—¦областивнеможетЖ>или2,поверхностьнекоторуюнезамкнутую,или2систочниковпродолженииобластиграницейA2.6)z).у,получим,замкнутуюнуюСЛОЯсоПриVoVo,внутриуравнениюудовлетворяетраспределение(divсжимаемостиQ (х,=гладкаяz)у,расположен-движениявнекоторыхснекоторойS7S.SDжидкостислучаяхеесовпадатьРассмот-частью.интегралФгдеqнекоторая—Очевидно,A2.7),потенциалфункциейгармоническойповерхностипоисточниковраспределенияфункцияполученныйинтегрируемаяпроизвольная2.поверхностимощью=2.внеРешениеса,с2,A2.7),по-являетсяЛапла-уравненияформулойпредставляемоеназываетсяпотенциаломслоя.простогоАналогичным(x'y,z)точексрешениекоторыхнаправ-нормалипопомощьюповерхностипоосиленыможнопутемпостроитьраспределения2 диполей,По-2.кп0лучим68.Рис.Схемадляпостроенияпростогопотенциалов»двойногоифслоя.Здесь(М))х(х,многиху,2,ностиилиA2.8),источниковныеФункцияфункцияф,z)кqфункциизнакиподе.к(M)входятг\IфункцияформулойA2.8)Потенциалобзадачуобзадачевходящихт.,A2.8)d50.по-точекA2.8),—называетсяслоя.приложенияхсводят2.1/°п°интегрируемаяопределяемаявнедвойногоВоФнекоторая—2.верхностигармоническаяпотенциалом3\Jи(М)-~—(—)=обзадачеподзнакпотенциалаинтеграловотысканиидиполейилиотысканиифункцийотыскании\iинтеграла,(M).вплотностейВповерх-точекA2.7)формулахраспределенияэтомпоэтомунеизвест-случаесоответству-12.§ющиеПотенциальныеуравнениядляинтегральнымиСвойстванесжимаемойдвиженияфункцийэтихопределения161жидкостиполучаютсяуравнениями.РассмотримгармоническихнесколькосвойствIгармоническихSПустьверхность,происходитрасположеннаяфункций.некоторая—областивпо-замкнутаяТ),потенциальноерегулярноеважныхоченькоторойвнутринесжимаемойтечениежидкости.Непосредственночтоуравненияследующееизимеетвсегдаместовидно,неразрывностиравенство:Vгденесжимаемойобъем,—жидкостиограниченныйсовпадатьВозьмем3),точкепотокповерхность,SПоверхность3).сферуSповерхностиМ.Накачествеве.т.замкнутуюнулю.равенобластинекоторойвромлюбуючерезграницейсS,поверхностьюобластиврасположеннуюA2.9)0,=RрадиусасA2.9)формулыоснованииможетцентможнонаписатьСЦ-Д2<^da>гдетелесный—скаяS,S,соответствующихотрадиусамо0=?2угол,подынтегральныхзначения?2.точкам=const,ЭтосвойствовторымипроизводнымибЛ.ивыраженнойсреднем,И.Седов,том2точкахвчтонезависи-любойA2.10)вфункциивсферысA2.11),впо-своимисообластидляточ-центромМожновместеввидеданнойфункций.непрерывнаяудовлетворяющаяравенством4я.ум=переписатьгармоническихфункция,всякаячто^фЛоещеповерхностиповажное—казать,можногармоническойзначениесреднемуравноМ.точкеоA2.10)равенствоМконцентриче-берутсяследует,аследовательно,кефункцийт.е.пПоследнеесфера,единичнаяОтсюда0,=Sсферы\ фЛо—~{ц>AмR2или@) теоремесферSс3)с162произвольнымит.VII .Гл.радиусамие.Пусть—область,3)неЛапласа.уравнениюможетобластифункциякоторойвA2.11),свойствомдостигатьВсамомделе,Мточкевсехпредположим3)внутриNточкахпотенциалскольвыполнятьсянималойугодногармонична;функциячтовнутриминимумаПустьпротивное.достигаетфz)у,показать,максимума,25.(х,рлегконифункцией,гармоническойявляетсяудовлетворяетпользуясьФГидромехааиканекоторойвМточкиокрестностидолжнонеравенствоA2.12)Фм<флг,наличииприновследовательно,малойокрестностиф.чтофЖведливорегулярногодляиРассмотримVВеличина'ниевеличинымойжидкости\dj)потен-прискоростизначе-максимальноедвиженииграниценаявляютсянеменеенепотенциальномпридф/dz.^\8zJтемскоростидостигаетсяэтоду/ду,скоростивеличиныфункциями,гармоническимиЗф/Зх,об-спрасвой-жидкости:квадратиЭто%.частности,ввеличины-\-dx~)скоростиповжидкостипроизводныхквадратнесжимаемойтеперьдвижениициальномзначенияобластифункций,гармоническихвсехвыполняетсяоб-функциимаксимумовграниценаточекАналогичнымнесжимаемойтолькоможетневсехдляминимальныеитечениядостигаютсядляствоточекнетмаксимальныетенциалаласти3)внутриСледовательно,A2.12)неравенствоМнедопустимо.точкиполучим,разомA2.11)формуланеравенстватакоговыполняться,Nвотогдаминимума,несжимае-жид-потокарегулярногокости.ДокажемМвнутриТогдаv\i^>рестностиТакиметьдется3)г>дг,М,какЭф\tox/мгармоническаямаксимума,такаяtr&Nточкалюбая—вдостигаетмаксимума.достаточномалойпараллельнохосьнекоторойвпустьточкаНаправимбудемтогдапротивное:скоростивеличинаМ.точкиточкеПредположимэто.точкеоквскоростииметьА.'функциятоN,любойвв[Эф\\оуJM/Э<р\ ozпdyldxмалойвокрестностикоторойдхJN^\дх/м'точке)А1мМточкинеможетМнай-г12.§НоПотенциальныеналичииприе.т.потокавнутриМаксимальныенесжимаемойвыпол-должноПриБернуллилуминимальноезначениеминимальнымдавлениемлений,намаксимальноеинтегра-согласноскоростивсоответствуетпотокеСледовательно,давления.находитсяточкаповерхностинавозникаетсКави-тела.близкойвблизиобласти,вобте-поверхностинаобтеканиикавитацияпотока.границахпотокомдостигаетсявозникаетвпервыепоэтомутациядостигаютсябезграничнымскоростиустановившемсямаксимальнойвеличинытел.скорости.движениипотенциальномпривсегдател2максимумареализацияжидкостикаемых\2/0ф\2-|скоростиобтеканиизначение/5фневозможназначенияПриминимумукдав-обте-поверхностител.каемыхМинимальноезначениеграницах,вопример,воточкахвнутреннейточкесрзначение,Формулы={х1—равноеГрина.[Рz—0=на-Натечениядляимеетскоростьминималь-V,соВ,Q,Р,функциисвоимиоднозначныепроиз-частнымиГауссаврегулярнойограниченномвместефор-изгтПустьОстроградского.—Остроград-—видеу) +(п,cosпредставляющиеследствия,-.ФормулувQГрина,полезныепорядка.+z2—ГауссатриVданынаписатьх)уформулывнутри(п,cosу2)объемеS,можноможетнулю,потока.=простые-^мулыпервогоскогох-\-собойконечномводнымиравнойначастнос-нулю.жидкостинекоторомповерхностьюинепрерывныеВпотенциальногоВыведел!Кинети-энергиякаквозникатьпотока.скоростью,внутреннихпотенциаломноесоточкакритическаяходитьсяможетскоростипотенциальноговнутриитакти,\подавно\2/Эф\2>ческаянеравенстваэтого163жидкостинеравенствонятьсяснесжимаемойдвиженияRz) ](n,cosda=s""">_,Щгде(n,cosвнешнейвектораставимгде1x),A2.13)вф(х,у,z) ит|5cos(n,у),кобъемуР, Q, R,(х,у,z)—cosV(и,нормалиопределенныепроизвольныеz),духozпкI/12.13)dxединичногокомпоненты—dR\Под-S.поверхностиформуламиоднозначныеф^нкции,164Гл.непрерывныевместесосвоимивключительнорядкафДф^т+по-получимполучаетсялегко<р и tyполучимместамиформулы,фтогдаэтогоизрезультатперво-идеальнойтеченияформулыизжидкости,Дляпервой.извычтемискоростейпотенциал—A2.14)SГринапоменяемначальнойвторогоV^-^-da.=Vформуламаемойдоподстановкиgradq>-gradi|;dT\VПустьпроизводнымиПослеГрина\ВтораявA2.14)V.внутриформулупервуюГидромеханикаVII .A2.14),еслинесжи-положитьг|э,=фполучим±±\Очевидно,объемевжидкостиинтеграломобъемV,односвязный,лярно,замкнутойна=фнаодних0,тоиз| gradV;неимана2ЗадачаSD,называетсяфconst,=обе.т.гармоническойДирихле.понаS—3)границесмешанной,когдафункциинаоднихограни-об(х,фффчастяхопреу,функцииназываетсягармоническойопределении3),ф (х,нормальнойфункциизначениямзаданнымО=покоится.значениямгармоническойэтихвI dzду=функциизаданнымдругихнапоэтомуdyldyобласть2.ЗадачаповерхностьюS,ажидкостьнекотораяданаО,==ну-равна0,=фЕду/дхилизадачейопределениивнутриdffldnпроизводнойНеймана.Задача0,поназываетсяобрегулярнойф,|фду/дпчтоследует,=объ-конечногогранице—поверхностиделениивнутриграницеобпредположениепроизводнаяиличеннаясмешаннаярегулярнойвA2.16)ПустьиполучаетсяфтоSэтойотсюдаДирихле,Задачипотенциаланулюравначастяхимеемслучаяхвнутрирегу-движениемногосвязный,—потен-однозначностипотенциальноеповерхностифункцияду/дпVформулысмыслусущественно.филилю,обкоторомкинетичес-поверхностнымПоS.однозначностьЕслиоднозначностиемавтоавтоматически.ЕслиVV представляетсяпредположениеф.Еслижид-энергиичтопоказывает,поверхностисущественноциалаA2.16)объемевA2Л6)кинетическойравняетсяграничнойпоA2.16)ФормулаV.энергиякаяЕвеличиначтокости4$z),наz),у,задачей(х,границыу,z)12.§2неЗадачинавнешнейслучаеможнокогдавнутренних'пределеоблегкошенийуказанныходачжидкостиус-такогот.скорости,любомупопути.единственностьдоказатьре-внутреннихвышеза-движениинесжима-потенциалчтооднозначенфобластьконечна,е.A2.17)0=потенциальномпредположении,энергиявкинетическаядобавочныеисчезанииlooФТеперьзадаччтослучаекачествебесконечностьврешенияемой3)противномзадаватьВточке.требованиеудалениипригобластивнутривнеобходимоудаленнойпринятьЕдинственностьпроизводнаяточка,| gradвнормальная—задачибесконечновловия165жидкостивнешними.называютсяусловиядругихвнутренними,удаленнаябесконечносодержитсяВаф,называютсязадачинесжимаемойдвиженияфункциязаданад<р/дп.Потенциальные3)ибытьможетмно-госвязной.Всамомделе,даютФх и ф2гармоническуюоднозначнойцийфхСф2,иф2,чтофзадачиотличнойфнуля,отфг=жезначениямиВзадачиНейманазадачеграницеффункцииДирихле2.фх=или—дляможетпостояннаяопределяетсяжидкостидвижениенодляфунк-длянакДляconst.0.чточтозадача,примененной==Очевидно,ф2.—таA2.16),формулыполучим,задачи.ф получаетсяснулевымитольконосмешаннойбытьффункциипомощью—рассматриваемойфункциюфункцииРассмотримгармоническиеоднозначныедвепустьрешениядваоднозначно.ПолученныенаоснованаопираютсярешенияA2.16);формулуформулыэтойсправедливостьчтодопущении,наединственностиовыводысущественноинтегралA2.18)\2dxЕдинственностьсуществует.шений,дляложненныхДляформулы2, необходимонечноноевблизиинтегралаинтегрированиявблизиточку,удаленнуюобесконечно3)необходимоиДлянарешенияэтогодобавочфсходимостьгарантируетраспространенноговблизибеско-потенциалаконечноститочкиосновенарешениясодержитчтопоказать,регулярностиудаленной3).задачобластьчтоиреус-счетS.поведенииоучесть,ещезавнешнихусловийкромеклассевграницыединственностиA2.16),A2.18),неинтегралрешениядоказательстватребованиенарушаетсясуществует,решенияэтоткоторыхсвойствобластьбесконечнуювопросанижемы166Гл.болеерассмотримфункцииЗаметимдлясмешанныезадачидляэтомслучаеусловия,циркуляциимногосвязнойкакГрина.суммафункцияпотенциаловпростогодвойногоивнымнуюгармоническуюобъемау,ность,вблизиприэтойформулыSуz0,иz0о,такуюz0=некоторуюпеременособен-поформулаz0,/о,z0)—zу0=z)у,x,уz)у,ду/дпифасимптотическаяверна(х,фобъема.х0,х0,=можнозначенияу0,переменнымхГринафункциюэтогоi|> (х0,точкивнутриоднознач-V черезграницепоимеющуюz,чтоточкувыражающуюфункциифункциюх,—ввторойформулу,качествегармоническуюдополнительнеоднозначностистягиваемымпомощьюнаВозьмемвыставлятьдатьвнутрислояединственных25.областиGФункцияГармоническаярешениявыделениядлянерешениянеоднозначныхслучаепериодыконтурам,поещеединственностьтребуетсярешенийфиксирующиенеоднозначныход-иметьВср.Ней-задачаединственнымсмогутобластяхВместа.имеетныепотенциаламногосвязныхвфзадачи.3)нарядупотенциаломнеоднозначнымгармоническойобластимногосвязнойдлярешениемфункцийнерегулярнойпространственнойповедениечтонекоторыенозначнымсподробноеще,иманаГидромеханикабесконечностивфVII .х,z)у,=+А—A2.19)где&функциягармоническаярегулярная—варгументовсвоихобъемеV.Дальшемевать,утMция=формулуобъемуудаленамалойРис.69.длявиюмулеОбластьоднозначныерегулярныеA2.15)(рис.че-функ-какособенность0,A2.15)вбудемтописатьприменитель-VltизкотороговнутренностьвесьмаStсферыцентроминтегрированияпотенциала.полученияz0.о,ин-обозначеныТакимеетгкфорподразу-переменныечтотегрированиярезх„,точкетройкебудемA2.15)мулынокаждойпоиспользованииприг=69).Таккаквобъемеполучим,*?.дп_ФЁеточкевфункциирадиуса'дфиVx,i)>усло-по—топофор-сО12.§ПотенциальныеИнтегралеек0->Ssсферепоинулюиспользуябудемнесжимаемойдвижениявычислим,асимптотическую167жидкостиустремляясферыПрирадиусA2.19).формулуиметьA2.20)z),у,поэтомуЭтаформуладастчтопринять,2.ЭтаженическаяформулафункцияНеймана.особенностипутемфункциифрешениюграничнымичастных=ДирихлеA2.22).Грина1/г,задачфункциюстроитьЕслиг|эположить=у,/-.vНейманачтокhфункциижеспутемзадачи.0,=длятакимсмешанной'сводитсядляОчевидно,hре-A2.22)иНейманадляимеютдля—даннымие.2наДирихлеит.задачиz)дпдпграничнымиусловиямиможнодзадачДвевид4^=общих2.надлях,2<ьимеютя,грешениепроизвольнымис2/о>нагармоназы-условияили-—О—илисоответствующиеh0=условиями,Дирихлеф (?<ъ.ЛТакимdty/dnфункцииеслигрчтоеслитакимизадачииНеймана,условиемфункциигармонической2сзадачидля3);внутригулярнойрешениеГринаДирихле,задачисовпадаетг|э определена1|з, определенныефункциямиГармоническиеваютсяSдастфункцииразличныевнутреннейрешениеповерхностьтоA2.21)формулавидпринимаетA2-23)Здесьластирегулярностиграницейобластипотенциалафслоя.чтопринять,можно3).ввидефункциисуммыSФормулалюбая—фпотенциаловчтоA2.23)об-внутриповерхностьилиSдаетпростогоссовпадаетпредставлениеидвойногоТ—168VII .Гл.РазложениеТеперьпотенциаламожнобытьmсрПt,=ЯгдеразложенаМyV"=нородный-f- !ClX.(-—+!C2'/_2Хпричемz2,г/2 -|-одинлюбаяПоверхностьпоA2.9)может2jмеждуесли2,поверхностьтем,вообщеповерхностейМмаемойжениятри5sт.од-—n2.поверхностие.2,Знак2кактакминусвзятарасходу2,внутрител,Мвторогоувнутреннейкжидкостичерезкоторое0,=3).внутриотличнойотозадачубытьможет2еслидвижущихсяисостоитизжидкости.еслинуля,будеммысферырасширенииA2.24).i?ltвсферуПотенциалобъема,точкедоказательствуктеперьрадиусацентромщаяA2.24)1несжи-вжидкости.Обратимсянати,лпп/\,поверхностьюнаРасходнуля.например,рассматривать,п'охватывающаяравняетсяконечнойбудетZ)постоянные,—3),ср регулярна.нормальобъемаоттвердыхВеличинаV,я'=изменение—отличнымобластие.мdV/dt'степенисМт.(х,"vповерхность,чтовеличиначтоc3c2,областифункцияс2>совпадать2исвязанОчевидно,сьзамкнутаяграницы2j,интегралаi_полиномвнутренниеразгдеС,?Р„.,#-j-—j_достаточнограницывидарядC3Zгармоническийсферывсевгармониче-чтовсякойвнеохватывающейрадиуса,можетпоказать,A2.17),виюбольшого3),Гидромеханика2ХПустьсправедливостисфера—охватывающаях,у,z,внутриср (х,ограниченногоу,z)центромповерхностибольшоговесьма(рис.себя2Хсявляетсясферами70).гармонической2^22,разлоначалев2,ирадиусакоорди-22R2,—сферафункциейипоэтомуссодержавнусогласноJ12.§(8.23)Потенциальныенесжимаемойдвижения169жидкостинаписатьможно1/A2.25)УстремляяR2радиусзначенияТакбесконечности,квзятыхинтегралов,определимпредельные22.сферепокак~-djДляугол,поэтомуиз22первоеlimтосферыэлементавенствоM,=daимеемра-A2.26)\Tr^-G?a=—R^dio,=0.=гдеwA2.26)телесный—zдаетOR"откудаМи,следовательно,1Сгде=4яС,A2.27)постоянная—Покажемтеперь,СвеличинаВточкесамомделе,сне70.рис,Схема7?2-поинтегрированиякдоказательствучтозависиткоординатот~}-Ах,хкоординатамих,22сферувозьмему,z.радиусаДляэтойу,zR2сферыR2=написать,ДхсбудемчтоДх22-сферыцентра&Можнораз-A2.24).ложениявцентромиметь170Гл.|,гдеАх?т],0-*~VII .Гидромеханикаточеккоординаты—mПоA2.17)условиюRz->-чтоимеем,дС/дучтозависящаянеdCldzАналогичным0,=координатA2.25)формулы0.==отх,наdcp/dt,производнаядС/дхпоказать,естьИзформуласлучайводнойу,основанииЫдВ.г(сферуВнымивсякойТейлорарядысольотноравномерноиОтсюдаповблизичтоследует,степеннымфрядомжпофункциимоническиеся—ж',(х,z)у,у—функциями,аналитическими3)(ijr)ldnсферы,z',у'',zгкоторой=/=> 0.потенциалсходящимсяz'.—об-которойпредставляетсяу',конеч-сходящиесяввсразлагаютсяz',—Следовательно,х', у',регулярноститочкахвzх',точкипотенциалрегулярен,Фу',—гра-областиддругойвнутренниеточки1/гинапроиз-интегрировалюбойзаменитьвсе—A2.23)заменыповерхностьможновнутреннейу', z' функциихх',унекоторойвнутрих',A2.28)формулыпослеохватывающейокрестностикоординатамиполучимС.2).областиницыA2.27)и+д/дпповерхностью,чтовытекает,A2.26)чтоA2.28)формулевприобразомпостоянная.обобщениеОчевидно,производнуючерез2Х)замкнутойвсобойпредставляетзадачи.внешнейнияприисчезаетоткудаz,—Г-&)*ЭтапределедС.,следовательно,оо,можноС2а-Всференаполучимимеющимиz'гарявляют-любыхпроизводныепорядков.С70рис.помощьюусмотреть,легкочто1=—/ (а)причемMR.=/ (а=--В,),Функцияf(a-Bl)=-Lрегулярнойявляетсявкоторойрапо4 1потенциал21;сферыотдалекоi?jВ\4/ (афункциюд[1\ДСчитая,точкачтоО-4х,достаточнорасположенаф,разложим10.=f=ггдевсюду,определяется—5'i?x)(в4\рядТейло-R2A2.29)у,z,12.§ПотенциальныеПроизводнаяпоа,направлениюдгдеР,а,щего7дпервойдабудем\ V"jzдагдеп1зуя—полиномотматематическойяп+1яподнородный—1полиному,КаждыйTzх,.;,Я){х,у,г/,собойболееполейО.высокогоЭтотиразложениеф,потенциалачленавывода.вполучимразложении1-)-скоэффициентами,записать„ав;.A2>30)функциейисточника,отрасположенныхA2.30)разложениеA2.24)идиполявегоиинтегрировать.длявиде,гармоническойявляетсякоэф-счтоwравномерно,сходитсядифференцироватьПодставляякаждогорядапорядка,рядггверно,+течениечтостепениzможноz)Исполь-степени.степениzг/,г)показать,еслиA2.29)nэтогочленовизпредставляету-первойzж,Z,,r\,разложениеР.у +ах-\-х,Я1(ж'=4(_1)п«2^?)дГизсоединяю-?, лежащейт],1?.i,образом,1Тгот|,от?,отТакимдля,2iлегкополиномзависящимизависящими"^*индукции,однородный—фициентами,где=^у"*"ахСя1»однородный—методгденат|,иметь/'иЖ1,вектораточкой]JR\Э.переменнойпроизводнойсДля2^.,косинусыкоординатсфереравнад„171жидкостиочевидно,,направляющие—началонааесжимаемойДвижения1/гA2.24).непосредственноначалеможновформулуГармоничностьмульти-коордипочленноA2.28)очевидна172ГармоничностьГидромеханикаVII .Гл.однородныхвытекаетиз\(х,получаетсякотороеОднородныещиесякимдифференцированииг)Шгал1,у,образом,A2.17),&>пфункциямскорости,приравнойнулювбеско-фДлякинетическойничен,дляапотенциалабудетS,состоящуюизохватывающейвбесконечность,Первыйбудет2—ихVмереидеальнойслучай,S,бесконечноточкиповерхностьнаходящихся21;огра-ТогдаудаленнойВозьмемA2.24).тел,имеетнеA2.17).условиеокрестностиразложениеповерхностиповерхностиVобъемкогдавпотомкоторуюжидкостиустремимтогдабудетинтегралсматриватьпроизведениесилувфкрайнейпо—бес-врешениеаобъеманекотороговыполняетсясправедливоимитьсябесконечностинатвердого1/.R2,0фвы-телаповерхностьюРассмотримпотен-стремитьсякакмереМограниченногоA2.16).формуласяЕэнергиижидкости,нейбудет0),чтожидкости,в=по-условияясно,итеченияслучаеввхо-дляиз0,=1IR.несжимаемойвпоНейманазадачиСпри.Мкрайнейе.поляопределитьможнодвижением(т.внешнейопределенияA2.24)случаевсферическимпопостоянную,Тогдазванногонулюрядразложение<р,0.циалкв2*.для=Та-удовлетворяющаяаддитивнуюфоосуммирования,функциями.сферывполучаю-,ихпутемНесущественнуюДЯШУтенциалаконечностииразложенавнескоростейнечностикакA2.24)в7.)у,д2«+1сферическимифункция,z)/i?2171у,объеманеограниченногожидкостифункциигармоническаябытьпотен-Гн^и^сГаГэГрГя1-ЛП(Я,Yназываютсяможет(х,убыванияПорядокz)у,z)у,1/Rлюбаяусловию(х,дифференцирования.результатегармоническиепри(х,Д^>„(х,z)\у,вЛЗьп?Рпполиномовравенстватакиефразложенияк0убыватьконечнойвеличиной,(dq>/dri)2Хприприинтегрируемо.приA2.24)->-этомтакоо,поМкаккрайнейеслинакоторыхдлятечения,=0ВторойилиподынтегральноемереприбудеммыповерхностиинтегралС0=рас-1/i?3.Для2:побудетстре-выражениекак2телкинети.12.§ческойПотенциальныеЕэнергиинеограниченной*)иметьдемнесжимаемойдвижениямассыжидкостиобразом,кинетическаятечениеИзскойвнешнихрГ'смешшшой0=внешнихдоЗаметим,бесконечности,Вэтихотваниеоб2УсловиязеркальнойсимметриидляобластиобращаетсявщаютсяввнульПолагаяхказаннойх',вблизичтополучим,=т]иг\=Ф.р~~2~-СЕсли0фГ")0,фчтотоаддитивнойфункцииМ=zобра-у,?)?до-Тейло-ряд0=силуввпотенциал?2Е@ЛЕ,Л,+A2.32)V),"=2МНапомним,постоянный,их?,=т],=,вида:п=0ит]уоо?2^п(Е,гЬ.z'(?,фоо=г,производныепо—следующегорядвхчастныетолькоточкиV) разлагаетсягточкуz'.у'функциинаплоскостичерезвсеz),у,z',у',элементемалом(х,фх',точкичто——задач.проходящемразложимостивыше(L^.точке—гОчевидно,дифференцированиех', у',\, унуль.содержащиеф,z=требо-ифункциявблизиугодновединственностькраевыхрегулярнаяиуда-прибесконечностьвгармоническаяскользадач,ОднакогарантируютосновныхzаналогичноеплоскихдляисчезновенииПустьповеде-оцилиндры.скоростипотенциалагармо-простираетсяспециальноебесконечные—границфуНКЦИИх)на-слу-недействительно.необходимообвнутренних2рассуждениебесконечностиэторассматриваемыхСМзадачпринаповерхностьотдельноеоднозначностирешенияраивышечастности,требованиеслучаеотединственностивнутреннихсмешаннойраспространяютсявповерхностиленииФНейманафункцийтребуетсякоторыхНИЧеСКИХприведенныеограничнаяпроведенноетовэтомкинетичечторешенийавтоматическиеслиисследование,вбеско-взадач.чтогармоническихслучаяхниитеченияследует,энергиидоказательстваДирихле,A2.17)условиячайпроисходитконечнойоднозначныхличиискоростьисуществованиявышекогда(p)^объемаобъемеэтомвнулю.равнаЕдинственностьA2.31)неограниченногоеслипотенциальноенечности(gradэнергияконечна,жидкостирегулярноебу-этомпри^g<b.5Такимнесжимаемой1?3жидкости0./ (t),справатообъем,еслиТаккактоввсегдаA2.31)появитсяограниченныйпотенциалможно<р определенпринимать,добавочныйчлен2,поверхностьюсчтоточностьюСдо=0.г,174Гл.&>пгдеВ(ЩпипервомA2.32)Покажемфункции?,чтоAJ?n_2п-2.iSn_2Таклюбыхдлякак|,полиномыпостилинейнонезависимы,Отсюдабытьдолжнынотеореме12<ШпF,при1.Потеоремеот],среднем?2).л,нестепениA2.33)таккакполиномычтооднорододнородно-A2.34)ивкак?@„где(|,В?2)Ц,всемвоудовлетворяютделе,пустьотличноотнулячислоцелоепричемиметьдолжносамом0)П,нулю,равныхнеони0.=нуль(?,?,2ШпфункциямитакF,|,некоторых^р?рШп=?Ц,вA2.33)обращатьсядолжны<рплоскоститочкахв?2)П-ичастиправыеневозможно,этоЕ,полиномовчетныегармоническимисреднемоA2.34)С2),Л-показателямиследует,регулярнымипространстве,(б,поразличнымифункциитождественно.2С,+наA2.33)ОоднородныхтогармоничностисилувV)будетобразом,ТакимA2.34)сполучаетсяполиномаЛ.степенит],?опятьэтого4,полиномовныеt,полиномыпстепениа(I,Лап-оператора?-Я„-2(?,=однородные—дифференциро-исходного.VSn-t=гармонич-Путемт],степень(?#>„)с?.свойстваиз?,Z,.ц,Тейлорастепенямиприменениястепени|,порядачетными0.=послепричем(V@n)инечетные,@пвсепоменьшеДсслучаенашемчтополином,единицыгдевпчлены—полиномуоднородныйдвевторомчтооднородномуквоследует,проверить,легкованияласавсесгруппированытеперь,ностистепени1полиномыстепеняминечетнымиГидромеханикаоднородные—членеVII .местоточноеравен-ство:0где5li Фгдесфера—0,фЛ10.=любого^=0ДлярадиусадостаточноО(е)—сюдаотС&п&х,малыхдостаточнопричтополучим,оутверждениятом,е.ПослевA2.35)нулю.чтоимеемA2.36)синтегралравныхнее,5О(г%вместенулюкA2.35)в0) [1 +%,точкеобласти,@п=От0 дляп.Другоеправойобращениядоказательствонепосредственнополучитьможнония=справедливостьследуетлюбыхнулярадиусастремящаясяA2.36)отличен53)величина,подстановки0,=малогоЛ,вфиксированнойпринадлежащей0 сферые >центром^A2.35)dS,^)тьсплоскостина5SP@nd,где1?р®'„(|,=частиэтоговA2.34)извыражениянулю.@пдлянульпослелюбыхприравнива-п12.§ПотенциальныеРавенствоприобретаетA2.32)Фгде(|,ючтоИз(Б,С)Р0.где==Р'идругвкоопределениялучитсяВнутри?0=чтоф|,0,ших=0=т]с33обЗадачашегоJтоA2.32)подходефбудутточкиителознаком.потенциалДляпростотырезультатеВравену,2)=--^-,приложе-будетпослевначаленачинаютжидкостьударасразудвижениянижнеечтовнезапногоипослежидкостиф(ж,всепримем,телосилэтогонанесжимае«71).0=плавающееповерхностипокоились.Движениеи?плоскостизанимающейжидкости,импульсивныхвнешнихплоскостиплоскоститело,твердоегоризонтальной(рис.частичастип.т.имеемана-боль-отличатьсянаиозначает,достаточноэтойкплоскостивозможнопри3)по-0.=неэтоЕслипоявитьсямогут3)на-двигаться.нымпро-?многолистной,моиполупространствожидкостьния0толь-область0.=ф,приПустьтеласвой-областивсейпричемОднаконуль.значенияплаваю-удареИзвышеряда?=0;особыепоявитьсямогут?бытьможетрис.плоскостивсторонразныхОбластьизображениями71).аналитическогоф,функцииф(см.воплоскостифплоскостивыполнятьсяобращаетсякоторыхA2.38)доказанныесходимостиплоскостинана(/>'),ф-послефункциипродолжениелитическое??будутточкахвсехво=0=A2.39),иA2.32),радиусаф0?относительнофункция=следую-?):т|,выводимрядафмалойотносительноA2.38)симметричнойсферы(/>)фплоскостифункциигармоническойдолжениясвоихзеркальнымилегкосимметриисходимости(?,филиявляютсяA2.38)Свойстваобластифункцияпредположения,угодновытекаетсимметричныеР'шотносительнодругасимметриискольнепосредственнопотенциала-С)Ч,точки,РТочкиства(I,Физнекоторойна0,=для-—полученнойнульсимметрииП,A2.37)аналитическая?свойствоФ?ввид:S2),Ч,формулы,этойплоскостив?»(?,175жидкостиследующий=некоторая—обращаетсяфплощадищее?2)т],аргументов.несжимаемойдвиженияпотенциаль-ударабудет176Гл.VII .ГидромеханикагдеPtимпульс—lim\pdt=подействовавшийдавления,жидкостьнавмоментудара.ДлягармоническойопределенияследующийнепосредственноК71.Рис.обзадачеудареповерхностиризонтальнойсвободнойФсмоченнойнапристелаконтактаVn—внормалиПримемеще,егоимпульснаго-тела)внедавленияудара,тела,ptОднако,еслиизвестно,е.т.тосохранениипри2ХповерхностиимеемусловиеA2.41)"'скоростисоставляющаякхОурезультатеотдаизвестнаяплоскостизаранее.~ниюна2].дпгдемомент,вусловия:A2.40)жидкостиотрыважидкостью,z)у,плавающегожидкости.неизвестенвозникающееотсутствии(ж,0;=вообщенотела,движениеимеемчастителаповерхностинуля,отфудара,тела,(нажидкостиграницеотличенфункциипослетелапонаправле-поверхности.чтовбесконечностижидкостьпокоится,иэтому(gradТакимкрешениюобразом,смешаннойопределениеф)=потенциалазадачи.0.A2.42)ф(х,у,z)сводитсяпо-12.§ВПотенциальныесилуA2.40)условиятенциалфВпространство.чим,чтоствевнепотенциалсимметричнойA2.39)равенствамполучим,полуполу-продолженияz) будетопределен22;-fсимметрииРточкахвсемво2„симметричныхпо-верхнееваналитическогосвойствуиA2.38)соотношенияаналитическиу,177жидкостипомощьюповерхностивчтоспродолжитьрезультате<р (х,можнонесжимаемойдвиженияпространсогласнопричем2jповерхностиР'будути22-{-выполнятьсясоотношения?)дп/рВсамомделе,Р,а,у—A2.43).лучимНаниипусть(см.A2.41)вдачиA2.43).22-j-НейманазамкнутойсвойствамиA2.37),Случай,A2.38)когдаЕслифзначениябудуттосвойства(?,<рA2.37)(g,<вг\,?)вместоравенствоверно=об-равенствамипотенциаладляточкаходинаковыерешение1),выраженнымиравенствасимметри-наимеетA2.39).ипол-НейманазадачаA2.43)22,-J-симметрии,потенциалсимметричныхзадачачторавенству2гза-симметрич-следует,поверхностиладающеесмешаннойисмешаннаяОтсюдаудовлетворяющимиданными,чнойНейманапоставленнаятаксоответствующаяизамкнуданнымикраевымичтоэквивалентны.ностьювнешности—задачрешениягоризон-Неймана,задачесимметричнымиусмотреть,по-определежидкости,наплавающегообластиединственностинетруднозадачанаяв2а,обзадачадвижениятела,будутA2.39),равенстваиравносильнасРточкевсмешаннаясимметричнойповерхностииэтоударарезультатевИзкосинусы'норма-косинусынаправляющиежидкости,поставленнойA2.43)v¦возмущенногоповерхностиA2.41)\dnlp'A2.43)искоростейвозникшегоимеет71).рис.основаниитальнойстогдапотенциалатойC, у—направляющиеУчитываяa,Р'\точкевли=-№)_.2..A*4.44)С, ),Ц,следующиеудовлетворятьсясимметрии:—p(Hi.)[(dJL)[/p-'dlдг)jP-1?*-)—\{)pdr\A2.45)>A2.46)J)верхностиСм.Л.И.несжимаемойОбСедов,жидкости,твердогоудареТрудыплавающеготела,ЦАГИ,№187,на1933.по-178Гл.ИзVII .A2.46)равенстваГидромеханикаследует,чтоZ,плоскостинаО=внутрижидкости^Очевидно,вчтоотношениюэтомсимметричнымиVn=onЭтазадачакости,и=-?anкогда-~г0="?внетелаобограниченногособойляющейченноеПЛОСКОСТЬЮЛегкоz0верхнеевидеть,0^>2функцияfrУ (х-хоJгрхУоJ(у--Гх,для(z+zу,иж0,функция(плоскостикактак2ницебудетфункциячтоНейманазадачи—г/оJ+0) r|3j,Гринаr|>iГрина=равнятьсяОчевидно,иоднавта(z +какприz=0выполняетсяприобластиz)>0JИз0.=и0.">zже,—г]^.г|J приона*_,A2.19),A2.19)условиюусловиядля=гш>'гмрzoJA2.50;агра-начтоясно,полупространст-нижнего>zпредставляется!'такпредставограни-zoJ-удовлетворяетzфункция0z<(г/+г^соответствующаяваг0J—zoг/0,Дирихлезадачи=(х3),областивпо-Ди-задачдлягУздесьполупространство,точекдляГринаформулойпредставитсястенкой.0.=чтоповерхностью,Гринанижнеежид-симметрии,Нейманаи/жидврассмотренныхфункцииилиA2.\ 49)0.=непроницаемойзеркальнойстроимрихлеплоскостьюсдвижениянасвойствахLг»свободнойнеплоскойОсновываясьдляНК2олупро™ранства,пообластипогруженноготела,ограниченанеподвижнойприопределенииударарезультатежидкостьгоризонтальной22-\-Неймана:задачеввнешнейдляЪхданнымисоответствуетвозникшегокость,а22-)-задаче2\на"Нейманазадачаследующей-*—A2.47)поверхности2гнаэквивалентнаф(?,тьО)=?-О.аслучаесимметричнойк0,=0ипри0 дляz<формулойA2.51)краевоеусловиеПотенциалПотенциальные12.§скоростейРассмотримГпГУпрТстрОанствНеНГ>^,ограниченномz=несжимаемойдвижениядиполейников,ДлязаданныхудовлетворенияснарядуособенностейвтакуюНапример,искомоееслиPkтенциалинатамих,источникамисоответствующийтожидкостипо-Мточкевскоорди-формулойпредставитсяzу,краево-обусловленоQj,несжимемойтеченияособенностей.удовлетворятьтечениеточкахвдиполямисимметрич-зеркальносистемубудеттечениеверх-внижнемвтечениежеA2.52).точкахотисточ-A2.52)фиктивноестенкойподсуммарноечтоусловиюО,=0=заданныхотпоместитьследуетzещеВнизуОчевидно,вприввестиполупространствеполупространстве.му0=течениемнемточкахzобтеканияусловия^-ныхполупространстве,стенкойособенностей:мультиполей.идостаточнопотен-несжимаемойверхнемплоскойвограниченномсистемыотысканиидвиженияжидкостиплоскостью0обзадачуПростейЧиала179жидкостиA2.53)гдеиqkdSjrri]постоянные,заданные—тельноплоскостиПреобразованиеz??мtiуЛ2=V'срадиусомиРассмотрим—,направленияSсфераданакоординатхй2=иотноси-0.Пустьсферыотносительно,dSjPk,Qji Qjииточки=инверсииPhaсимметричныезеркально—«?преобразованиеzi?2С =-75-,координатr2гденачалевцентромЛ.x2=+^+z2.A2.54)Нетрудноусмотреть,внутрирадиусомградиусом|,\т],ипрямой,однойЛегкосферыг'координатамисточкасоответствуетi?2/r=проходящейпроверить,Рточкечтовнесферы;черезцентрA2.54)изчтох,Р'сРточкикоординатамижР'у,належатсферы.об-аналогичныеследуютформулы:ратныеЩ,*-Э?,*=?,где^=64Л'-1иzГA2.55)ISOVII .Гл.ТочкиРтельносферыIчаеР'иназываютсяS.т]х,=ГидромеханиказеркальноНа=г/Sсфере?и(х,гРМГ1'м(х-=F=Очевидно,S (г0внутрих0K+^оJ~Н-(УA~-h+(Sслучае,Р'(?,этомслу-и(гМЯ"'-zoJ-?)г\,Sсрадиусами-г*+г'2+^Мточкакогдаг'==(ж„,у0,z0)2г-г0•лежитцентраради-г0,•2г'-сто-=сференаравенствоверно^м=?г%м.СимметричнаяотгР<мсферыотносительноточкиг/оKУоУ-томвR),=т0вгРМинекоторойсферы:доусом-векторомz)у,гиг'векторамисоответственно,какотносительноРчексферы,относи-такрасстояниясимметричныхдляР,=z.=Рассмотримн^ТТад^^рихл?1"сферысимметричнымиР'имеемA2.58)переменныхотносительнох,у,иzх0,z0у0,функция1\f1ДГРМГГР'МГРМгармоническойявляется1/ГрмвблизиобращаетсяфункцияГринавr|)l5ЛегконеA2.56)силуопределенная5,сфереA2.57),сферы.ГринавнутрифункцияформулойчтоТакимA2.58).образомфункциидляг^!илисферыi|)iтипаособенностейдругихСледовательно,S.функциейявляетсядляК-\задачиДирихлепгРМполноеполучаетсяДирихлезадачSнанульвформулойГР'МреннейкоторойA2.51)2особенностьимеетвнутриимеетДирихлезадачиусмотреть,представитсясферывне/ЯП1увнутриР,точкиидляЛ==.решениесопределеныпомощьювнешнейформулыформуламииA2.21),A2.57)внутвиг§ 13.§ 13.идеальнойЗадачаозадачуобъемераниченномэтойидеальнойсистемыгг)уг,соVскоростьюнесжимаемойбудемсферане-(t)внеог-Дви-жидкости.сферы,движениемотсчетакогдаПустьнекоторойсилы.относительно(х±,вызванноежидкости,жидкости,массовыепоступательноотсчетасферытвердойидеальнойвнешниесистемыжениеабсолютнодвиженииодвижетсяаподвижнойобъемебезграничномвнесжимаемойдействуютнерадиусаносферы181жидкостимассежидкостьнасферыдвиженииодвижениинесжимаемойРассмотримбезграничнойвЗадачаотноситель-«абсолютным»называтьдви-жением.«абсолютное»ИзучатьсистемойподвижнойясьскрепленаПостановкаосферойсовФсилупотенциальным,изповерхностииA3.1)условиям:2сферыбезотрывностибесконечностив9)^жидкостьA3.2)0,=выполнятьсядолжнотечениясоставляющаянаяскоростиvnсоставляющейнормальнойсферыжидкостисферывневсюдуследовательно,и,ницаемостиПотенциал0(gradнаиК-,гнесжимаемойдлядобавочнымбудетнепрерывнопокоя.Лапласа=жесткожидкостионосостоянияуравнениюпользу-центре.еслинеразрывностиследующимпокоитсяеедвижение^возниклоуравненияудовлетворятьбудем,котораяz,у,вначалоАфих,Возмущенноесферыдолженжидкостиимеетизадачидвижениидвижениекоординатусловиежидкости,непрое.точекнормальравнятьсяповерхностискоростьюобтеканиязапишетсят.жидкостидолжнаскоростиFn.Еслиосисфера(такхследующимдвижетсясопоступательновыбираемобразом:х),осьтоусловиеVA3.3),точкиосисферы,жидкости.ную6 обозначенчерезгдесзренияхпеременныйVсоскоростьюнаиболееТакимНеймана.задачуобщимобразом,(t)случайявляется,случаемЗаметим,сферыдвижениявсилудвижениятребуетсятих.междууголобтеканияусловиярешитьполнойсферыпростейшуювдольчтовдольсимметриивидеальнойчаст-182Гл.VII .абсолютногоПотенциалГидромеханикаРешениедвиженияпоставленнойвенно;егоЛапласа.уравненияэтойочевидно,дляусловиюнепроницаемости.ниемначалесО.координатФАгдеА-~=некоторая—удовлетворяетстремитсяворяетк/будетобразом,т.е.АОМA3.3),удовлет-удовлетвоНаповерх-2^cos9получимQлгFcos0,=еслиудовлетворено,положитьVa*ААТаким—-.функцияVa3a3хFcos9,лоЕслинойпоставленнойрешениеЛиниидаетсферакакпоказанысоосейотносительноугоднотодляжидко-внаскоростью,координат,движениявозмущенногосферыдвиженииотеченияпоступательнодвижетсяскоростейлазадачипостроенноготокабудетжидкости72.рис.направленпотенциавернаформулагденачерезосиFl5координат.F2,F3обозначеныЕслискоростикомпонентыскоростьпоступательногосчA3>5)ч>=--2-;т=—2~75сти.фбесконечностивA3.3).cos^вA3.3)условие/\иметь—е.офункцияипостоянной2^cos9т.,iA3.4),производными,будемзначениеэто—5—непроницаемостиГ_Э_9cosподобраннаяподборомливбесконечности.вочевидно,Подставляятече-Лапласасвоимиусловию-А—Такнельзяграничному=уравнениюусловиюсферы,ностиА-^—гсоудовлетворяетрасположенногох,х.=—\вместенулюПосмотрим,иосипостоянная.граничномурить[ \ддхсферывненеПоложим.ре-воспользоватьсяпараллельнойосью,по-—1/г,источникаонотакПопробуемдиполяотсчастныхтипагодится,нецелиединст-вышерассмотренныхРешениемощьюшенийзадачисконструироватьлегкоVдвижениясферыг§ 13.сферызависитвремени,черезоттолькопроявитсяЕслисфераеечерезцентр,такомF2Fx (t),некоторойоколоскоростей(t),это(t).V3проходящейоси,составляющиенормальныебудутбудетне183потенциаладляповерхностиидеальнаявращениижидкостьтофункцииочевидно,еенасферыдвиженииовращаетсято,сферыстиЗадачаравныскоро-Поэтомунулю.привозму-щена.общемВслучаеизвольныхприпро-сферыдвиженияхкактелатвердогоскоростейалпотенци-представляетсяF3вкомпо-осях.Дляраспре-определениядавленийделенияусферыностисфе-центраподвижныхвкоторойявляютсяскоростинентамирыееA3.6),формулойF2,Fx,зоватьсяпоследует(х,фг„t) определенаz,Линиивтокаприидеальнойдвижениижидкости,—движениивдольподвижнойсистемепоступательному,„72.сферыКошиПри_оРис.восполь-интеграломЛагранжа.функция(см.A1.7)),поверх-восих,когдакоординатимеемA3.7)нечнофункцияудаленнойир=роо.гденайтиноПостановкаоб/ (t)Знаясилу,ужеопределенаточке,вобтеканиивосиудовлетворятьх.бесконечностиДвижениесферы^следующимV—такуюдвижущийся(обозначимуравнениювместеегоЛапласаграничнымусловиям:направленафотн)=со0в«от-бесконечностиПотенци-сферой.всюду2.будетжидкостидолженмож-скоростьпараллельназватьможнотечения=0ф]идеальной,-,случаекартину2,сферубеско-обтеканииобПустьиэтомвжидкостинапотокомгжидкости.равнаИменносрповерхностижидкостив0, |gYad=задачутеперьАфохнисторонынесжимаемойнаблюдатель,скоростейалсопонеподвижнойносительным».видетьпринято,Рассмотримпотокаданныхчтодавлениядействующуюсферыvнокоторойраспределениезадачиоснованиинавнесферы184ина2поверхностиПотенциалГидромеханикасферыДляотносительногообчиобтеканиисферы,предыдущейсообщимЛиниисистемевнеподзада-решениесфераплюс—V,Vгдеостановится,обтеканиипритокаполучимжидкостьмыэтомприпреды-сферыдвижениискоростьСфера73.Рис.всейеслизадачесферы.движенияочтовидеть,этойрешениерешениемзадачиЛегкожидкости.получитьвоспользуемсядущейвижнойчтобытогозадачи,движениявVII .Гл.сферы—скоростьимевшеесянааидеальнойжидкостью.параллельныйосиПотенциалпотенциалх,-^Т7V2Т7=функцией,гармоническойи"-r-f-'y-j-A3.8)2г2условиюкакЛиниисферытокавЧ=Jr=aэтомэтогослучае.сферы——^Г3A3.8)формулаобразом,Такимность\удовлетворяющейповерхностинаусловиюдгзадачи.Vx.—бесконечности5<Ротнтак/ЛFco30—поток,=теченияITVx—г3-,-<px,образомтакимибудеткоторогополученного=впоступательныйналожитсяжидкостидвижениеранеедаетрешениенаначерченытеченияявляется=/г=аповерхностьюрис.о.поставленной73.тока.Поверх-§ 13.Очевидно,фиксированныймоментVF(ix).=сферы,скоростейРаспределениеверхностиповекторомслучаеисоответствующегораспределениеr6образом,скорость0,—достигается-мербольшеразасферы-FsinO.времени,интеграломзоватьсяРЕслисферу.наравнаFтолькоF',притVи^(lгнезаполь-можносодавленийдвиженииA3.10).формулынапримерсила,суммарнаячтоясно,наиспытываетИзточках,симметричныхОтсюдаVскоростьюотносительномформулежидкостиненейраспределениеиA3.10).действующейсилы,топо-|sin»ej-впостоянна,встороныобтекаемуюсферу,точноПодъемнаясопротивления.нулю.былосферы,формы,поверх-распредескоростьвычислениивычислятьдвижущегосяотсутствии§ 8),Даламбера,(см.показанопарадоксаназваниемдлят~1Ьслирж-г=оодинаковы.ужеподполтораповычислитьuдвижущуюсядавленияравнаВышенапривскоростейможноабсолютномвможноегоСфератакжеболь-точкахе.т.установившеесявопросуVчтои-tV-iдавлении.насовестныйжидкостисферы,v*)кследует,нулю.силанойраспределениедвижениеодинаковоивипотока.Знаяскоростьсфере(см.