Квашнин С.Е., Нестеров А.В. - Медицинские ультразвуковые электроакустические преобразователи

1Московский государственный технический университетим. Н.Э.БауманаС.Е. КВАШНИН, А.В. НЕСТЕРОВМЕДИЦИНСКИЕ УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕПРЕОБРАЗОВАТЕЛИРекомендовано редсоветом МГТУ в качестве учебного пособия по курсу"Медицинские электроакустические системы"Издательство МГТУ2003Москва2Рецензенты И.Г.Ястребов, Р.Ш.ЗагидулинКвашнин С.Е., Нестеров А.В.В учебном пособие к выполнению курсовой работы по курсу«Медицинские электроакустические системы» рассмотрены методырасчетаипроектированияприменяемыхвтерапииихирургииультразвуковых медицинских электроакустических преобразователейиспользующих пьезоэлектрический и магнитострикционный эффекты.Уделено внимание расчету излучаемой в среду акустической мощности,синтезу электрических эквивалентных схем и расчету сосредоточенныхпараметров этих схем.Для студентов старших курсов и аспирантов, обучающихся поспециальностям “Биотехнические и медицинские аппараты и системы” и«Инженерное дело в медико-биологической практике».Ил.Библиогр.

назв.Редакция заказной литературыСергей Евгеньевич КвашнинАлексей Викторович Нестеров3Цель работы - способствовать более глубокому усвоению студентамилекций, привитию им навыков самостоятельного мышления, овладениюсовременными методами расчетов и проектирования медицинскойаппаратуры с широким использованием вычислительной техники.Курсовая работа посвящена расчету и проектированию типовых ультразвуковых медицинских колебательных систем (УЗКС) для диагностики,хирургии и терапии. Работа выполняется студентами в 9-м семестре изащищается перед комиссией, состоящей из преподавателей кафедры, взачетную сессию.В курсовой работе студентами выполняются проектировочные расчетыУЗКС, состоящей из электроакустического преобразователя (ЭАП),согласующего элемента, сменного волновода-инструмента и рабочегоокончания, форма которого определяется видом работ на биологическихтканях.Характеристики нагрузки, вид УЗКС, применяемые материалы, методрасчета, вид колебаний УЗКС - задаются преподавателем в задании накурсовую работу.Пьезоэлектрические преобразователиВ пьезоэлектрических преобразователях в качестве активного элемента,осуществляющегоэлектроакустическоепреобразованиеэнергии,применяются элементы из пьезоэлектрических материалов.

Для приемаультразвуковых волн используется прямой эффект - возникновениеэлектрической индукции D в пьезоэлементев результате действиямеханических напряжений σ , а для возбуждения - обратный пьезоэффект возникновение деформаций при создании в пьезоэлементе переменногоэлектрического поля.4Связь между деформацией ε ij , электрическим полем E j , упругимнапряжением σ ij и электрической индукцией Dk (где i, j, k=1, 2, 3; l,m=1– 6) при малых величинах воздействия описывается линейными уравнениями прямого и обратного пьезоэффектов [6] (Таблица 1).Таблица 1.Прямой пьезоэлектрический эффектОбратный пьезоэлектрическийэффектεEDi = eiμ ⋅ ε μ + aij E jσ λ = cλμε μ − e jλ E j .(1а)(2а)DEi = − hiμ ⋅ ε μ + β ijε D jσ λ = cλμε μ − h jλ D j .(1б)(2б)EDi = diμ ⋅ σ μ + aijσ E jε λ = sλμσ μ + d jλ E j .(1в)(2в)DEi = − giμ ⋅ σ μ + β ijσ D jε λ = sλμσ μ + g jλ D j .(1г)(2г)где aij , β ij - тензоры второго ранга, соответственно, диэлектрическихпроницаемостей и непроницаемостей.

Верхние значки указывают напостоянство деформаций e или напряжений s; cλμE - тензор 4-го рангаупругихпостоянных,eiμ -податливостей,Esλμтензор4-горангапьезоэлектрическийкоэффициентовкоэффициент,hiμ -пьезоэлектрический коэффициент деформаций, diμ - пьезоэлектрическиймодуль, giμ - пьезоэлектрический коэффициент.Между пьезоэлектрическими коэффициентами и тензорами упругихпостоянных и коэффициентов податливостей имеют место следующиесоотношенияeiλ = diμ cμλ , при i=1,2,3 и l,m =1 – 6,diλ = eiμ sμλ при i=1,2,3 и l,m =1 – 6.Дляописанияпьезоэлектрическогоэффектатакжеиспользуюткоэффициент электромеханической связи k , определяющий соотношениемежду электрической и механической энергиями в пьезоэлектрикеk = W122 (W1W2 )(гдеW12 , W1 , W2 -соответственнопьезоэлектрическая,механическая и электрическая энергии), причем справедливы следующиесоотношения51W1 + W12 = ε λσ λ , l=1 – 6,2W2 + W12 =1Di Ei , i=1 – 3,2Для гексагонального класса симметрии C6V , к которому можно отнестишироко распространенные пьезокерамики, полученные поляризациейвнешним электрическим полем в направлении 3-й кристаллографическойоси, уравнения (1) и (2) упрощаются и, например, для случая (б – таблица1) принимают вид:σ 1 = c11ε1 + c12ε 2 + c13ε 3 − h31 D3 ; ⎫σ 21 = c12ε1 + c11ε 2 + c13ε 3 − h31 D3 ; ⎪⎪σ 3 = c13ε1 + c13ε 2 + c33ε 3 − h33 D3 ; ⎪⎪τ 23 = σ 4 = c44ε 4 − h15 D2 ;⎪⎪τ 13 = σ 5 = c44ε 5 − h15 D1 ;⎬⎪τ 12 = σ 6 = c66ε 6 ;⎪E1 = − h15τ 13 + β11 D1 ;⎪⎪E2 = − h15τ 23 + β11 D2 ;⎪E3 = − h31ε1 − h31ε 2 − h33ε 3 + β 33 D3 ;⎪⎭(3)Переход от тензорной записи к матричнойосуществляется заменой индексов i, j или k, l на l или m по правилу11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 = 32 → 4, 13 = 31 → 5, 12 = 21 → 6, а также ε q = ε ijпри i=j и ε q = 2ε ij при i ≠ j , i=1,2,3, а ось x 3 совпадает с направлениемполяризации.Для одномерного случая, когда пьезоэлемент совершает колебания лишь внаправлении оси поляризации x 3 и вектор электрической индукции Dпараллелен этой оси, уравнения (3) упрощаются:σ 3 = c33ε 3 − h33 D3 ,(4)E3 = −h33ε 3 + β 33 D3 .(5)Из-за большого различия скоростей распространения электромагнитных иупругихволнсвязью между ними пренебрежем, тогда процессвозбуждения и распространения медленных упругих волн описывается всоответствии с принципом д'Аламбера уравнением равновесия:6∂N∂2u= ρF ( z ) 2 ,∂z∂t(6)а соотношение для N в силу уравнения (4) примет видN% ( z , t ) = c33 F ( z ) ε 3 − h33 F ( z ) D3(здесь и далее ось x1 обозначена z), то так как ε 3 =Юнга E, тоN ( z , t ) = EF∂u, а c33 - это модуль∂z∂u− h33 FD.∂zОднако в большинстве случаев УЗМИ работает в резонансном режиме,при котором вся подводимая к УЗМИ энергия идет на излучение внагрузку и на рассеяние в элементах УЗМИ.

Учтем потери намеханический гистерезис, тогда последнее выражение для N примет видN ( z , t ) = EF∂ u ψ 0 ∂ 2u+− h33 FD,∂ z 2πω ∂ z∂ t(7)где ψ - коэффициент поглощения в материале УЗМИ.При стационарных продольных колебаниях и меняющемся гармоническитоке I через пьезоэлементы, т.е.I ( z , t ) = ⎡⎣ I1 ( z ) + jI 2 ( z ) ⎤⎦ exp jω t(8)илиD ( z , t ) = ⎡⎣ D1 ( z ) + jD2 ( z ) ⎤⎦ exp jω t(9)(где D1 , D2 - действительная и мнимая составляющие амплитуды индукцииэлектрического поля) решение системы уравнений (6), (7) ищется в видеu ( z , t ) = ⎡⎣u1 ( z ) + ju2 ( z ) ⎤⎦ exp jω t ,N ( z , t ) = ⎡⎣ N1 ( z ) + jN 2 ( z ) ⎤⎦ exp jω t ,(10)тогда уравнение (6) после подстановки в него соотношений (10)распадается на два:N1′ = −ρF ( z )ω 2 u1 ( z ),N 2′ = −ρF ( z )ω 2 u2 ( z ),(11)7а уравнение (7) после приравнивания действительных и мнимых частей сучетом (10) распадается также на два:ψ ⎞⎛N1 ( z ) = EF ⎜ u1′ −u2′ ⎟ − F ( z )h33 D1 ,2π ⎠⎝ψ ⎞⎛N 2 ( z ) = EF ⎜ u2′ +u1′ ⎟ − F ( z )h33 D2 .2π ⎠⎝Разрешая полученные выражения для N 1 , N 2 относительно u1′ , u2′ , имеем−1⎡⎛ ψ 2 ⎞⎤ ⎡ψψ⎤u1′( z ) = ⎢ EF ( z ) ⎜1 + 2 ⎟ ⎥ ⎢ N1 ( z ) +N 2 ( z ) + h33 ( D1 +D2 ) F ( z ) ⎥ ;2π2π⎦⎝ 4π ⎠ ⎦ ⎣⎣−1⎡⎛ ψ 2 ⎞⎤ ⎡ψψ⎤′u2 ( z ) = ⎢ EF ( z ) ⎜1 + 2 ⎟ ⎥ ⎢ N 2 ( z ) −N1 ( z ) + h33 ( D2 −D1 ) F ( z ) ⎥ .2π2π⎦⎝ 4π ⎠ ⎦ ⎣⎣Такимобразом,системаобыкновенных(12)дифференциальныхуравнений (11), (12) четвертого порядка, разрешенная относительнопервых производных, может быть решена на ЭВМ с применениемчисленных методов интегрирования (например, методом Адамса, РунгеКутта, Хемминга и т.п.).Причем, в случае продольного пьезоэффекта задается токчерез k-йпьезоэлемент и по соотношению:D1k + jD2k = ( I1k + jI 2k )( jωF )Cгде Fc - площадь пьезоэлемента в сечении, перпендикулярном векторуэлектрического поля) определяются компоненты вектора электрическойиндукции, которые затем используются в системе (10).В случае же поперечного пьезоэффекта используется другая парауравнений пьезоэффекта – уравнения (1а, 2а), задаются компонентыэлектрического напряжения на каждом k-м пьезоэлементе и посоотношениюE1k + jE2k = − (V1k + jV2k ) (hC )(гдеhc-толщинапьезоэлементавнаправлении вектора электрического поля) определяются компоненты8вектора напряженности электрического поля, которые затем используютсяв системе (10).В результате решения краевой задачи полностью определяются смещенияU(z,t), усилия N(z,t), механические напряжения и деформации.Далее с использованием местных уравнений для прямого пьезоэффекта (1)при продольном пьезоэффекте вычисляют электрическое напряжение наk-ом пьезоэлементеV1k = −[u1k (hC ) − u1k (0)]h33 + hCβ 33 D1k − hCβ 33 D2k tg δ ,V2k = −[u2k (hC ) − u2k (0)]h33 + hCβ 33 D2k + hCβ 33 D1k tg δ ,где k=1...p; tgδ - тангенс диэлектрических потерь; - смещение левого краяk-го пьезоэлемента, (q=1,2); -смещение правого края k-го пьезоэлемента,(q=1,2).В случае же поперечного пьезоэффекта используют соотношение дляпрямого пьезоэффекта в записи (3) и вычисляют электрический ток черезk-й пьезоэлемент:{= F ω{e}ε E },I1k = FC ω e33 hC [u1k (hC ) − u1k (0)] + ε 33ε 0 E1k ,I 2kC33hC [u2k (hC ) − u2k (0)] + ε 330k2Затем для обоих перечисленных вариантов определяют и полныйэлектрический импеданс k-го пьезоэлемента -Z k (ω ) = V k / I kдлятекущего значения частоты.Далее вычисляют импеданс блока ZZ из однородных пьезоэлементов взависимости от способа их соединения в блоке.