Прикладная математика (01.04.04 Прикладная математика)

Федерапьное;осударс ь ениое бюджетное образовательное учрежденне о 'т:ото образованна «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (нанпональный исследовательский университет)» (МХТУ им. Н.Э. Баумана) УТВЕЖДАЮ роректор— учебной работе Н.Э. Баумана Б.Н. Падалкнн 2017 г. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ В МАГИСТРАТУРУ по направлению подготовки 01.04.04 Прикладная математика Факультет Фундамептальиые науки (ФН) Кафедры Прикладная математика (ФН-2)," Математическое моделирование (ФН-12) Москва, 2017 г, Ь ОВП1ИЕ ПОЛОЖЕНИЯ К вступительным испытаниям в магистратуру допускаются лица, имеющие документ государственного образца о высшем образовании любого уровня ~диплом бакалавра, магистра или специалиста). Лица, предъявившие диплом магистра„могут быть зачислены только на договорной основе.

Прием осуществляется на конкурсной основе па результатам вступитслъных испытаний, П рограмма вступительных испытаний в магистратуру по направлению подготовки 01.04.04 Прикладная математика составлена на основании Федерального гасударственного образовательного стандарта высшего образования подготовки бакалавра па направлению 01.63.64 П . 3.0 Прикладнаи математика и охватывает базовые дисциплины подготовки бакалавров по названному направлению. Программа содержит описание формы вступительных испытаний, перечень вопросов для вступительных испытаний и список литературы, рекомендуемой для подготовки.

2. ЦЕЛЬ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ Вступительные испытания призваны определить степень готовности поступающего к освоению основной образовательной программы магистратуры по направлению 61.64.64 Прикладная математика 3. ФОРМА ПРОВЕДЕНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ Всту'пительные испытания провалятся в письменной форме в соответствии с установленным приемной комиссией МГТУ расписанием. Поступающему предлагается ответить письменно на 10 вопросов и задач билета, расположенных в порядке возрастания трудности н охватываюпшх содержание разделав и тем программы соответствующих всту'пительных испытаний. На ответы по вопросам и задачам билета отводится 210 минут.

Результаты испытаний оцениваются по стобалльиой шкале. Результаты испытаний оглашаются не позднее чем через три рабочих дня. 4, ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ Письменное испытание проводится по программе, базирующейся на основной образовательной программе бакалаврната по направлению 01.63.04 Прпкладиав математика Перечень разделов и тем, включенных в письменное испытание ДИСХ~ИТЛИНА. Ди44ергнцишгьные ураенения Введение 1. Основные понятия математического анализа: пределы и их вычисление: дифференцируемые функции и нх свойства„многочлен Тейлора и теорема Тейлора„.

исследование функций и построение нх графиков. 2. Основные понятия линейной алгебры: линейное пространство; базис; линейный оператор и ега матрица; преобразование матрицы линейного оператора и привеленне к диагональному виду, Собственные числа и собственные векторы Линейного Оператора. 3. Основные свойства интеграла. Неопределенный и определенный интегралы. Несобственные интегралы. Кратные интегралы и их вычисление.

4. Основные свойства числовых рядов: частичные суммы, сходимость„ признаки сходимости, Степенные ряды, область их сходимости. Приемы разложения функций в степенной ряд. Обыкновенные дифференциальные уравнения 5. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнение с разделяющимися переменными. Линейное уравнение н уравнение Бернулли. Однородное уравнение. 6. Обыкновенные диффере~щиапьные уравнения л-го порядка. Задача Коши и теорема о существовании н единственности решения. Методы понижения порядка. 7. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши н теорема о существовании и единственности решения. Первые интегралы нормальной системы дифференциальных уравнений н методы их нахождения. 8. Линейные дифференциальные уравнения л-го порядка.

Структура общего решения. Методы построения частного решения 1метод вариации и метод подбора частного решения при правой части специального вида). 9. Системы линейных дифференциальных уравнений. Понятие фундаментальной системы решений. Определитель Вронского и его свойства.. Структура общего решения такой системы. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными козффициентами. Характеристическое уравнение системы.

Общее решение такой системы. 10, Устойчивость по Ляпунову решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, Исследование на устойчивость положений равновесия Тметод функпий Ляпунова и метод линейного приближения). Критерий Рауса — Гурвица. Классификация положений равновесия двумерных линейных систем. 11. Преобразование Лапласа, его свойства.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методами операционного исчисления, Дифференццвльные уравнения математической фнзнкн 12. Постановки задач математической физики, Виды краевых условий. Понятие о корректной задаче математической физики. 13. Линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

Квадратичная форма дифференциального уравнения. Классификация линейных дифференциальных уравнений. Приведение квазнлинейного дифференциального уравнения от двух переменных к каноническому виду.. Уравнение характеристик. Уравнение характеристик в дифференциалах для уравнений от двух переменных, 14. Понятие гильбертова пространства, ортогональные системы в гильбертовом пространстве. Ряд Фурье по ортогональной системе„Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Минимальное свойство ряда Фурье.

Примеры ортогональных систем. 15. Понятие тригонометрического ряда. Тригонометрический ряд как ряд по ортогональной системе. Условия сходимости тригонометрического ряда. 16. Метод Фурье разделения переменных в задачах математической физики, Задачи на собственные функции. Задача Штурма — Лиувилля. 17.

Решение задач Днрнхле и Неймана для уравнения Пуассона в прямоугольнике.. 1Х. Понятие разностной схемы. Методы конструирования РазностНЫХ СХсМ, СХОД1ИОСТХ, устпйчиВОсть и порядок аппроксимации разностной схемы. 19. Методы построения разностных схем, Приемы реализации граничных условий. Анализ погрешности аппроксимации разностщах схем, их устойчивость и сходимость.

20. Явные и неявные разностные схемы. Типовые разиостные схемы для решения простейших задач математической физики !для уравнений теплопроводности, колебаний, уравнения Пуассона). Основная учебная литература Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов 1 Под ред. В.С. Зарубина, А.П, Крищенко. — 4-е изд., исправл, — М.: Изд-во МП'У им. Н Э. Баумана, 2006. — 352 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. УШ). Филиппов А.Ф.

Введение в теорию дифференциальных уравнений: Учебник. Изд. 2-е, испр. — М.: КомКнига, 2007. — 240 с. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: НИЦ «Регулярная н хаотическая дииамикаа, 2000. — 176 с. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. В.С Зарубина, А.П. Крищенко. — 3-е изд., исправя. — М,: Изд-во МГТУ им.

Н.Э, Баумана, 2006. — 368 с, !Сер, Математика в техническом университете; Вып. ХП). Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов. — 2-е изд., стереотип. / Под ред. В,С. Зарубина, А.П. Крищенко.— М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана„2004.

— 704 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. ХП1). Дополнительная учебная литература Владимиров В.С., Жарииов В.В. Уравнения математической физики, — М,: Физматлит, 2004. — 400 с, Булак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А,Н. Сборник задач по математической физике: учеб, пособие для ун-тов. — 4-е изд., испр. — М.: Физматлит, 2004, — 686 с. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э.

Баумана, 2010. 592 с. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971. — 552 с. Пример билета письменных вступительных испытаний е" -1 1. Вычислите предел 1пп * ' гйх +ьбпЗх 2. Исследуйте функцию у = 2х+ 6-Зфх+ 3)'- и постройте ее график. 18 баллов) 3. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного 0 0 своей матрицей 1 2 1 (8 баллов) -1 О 1 4.

Вычислите интеграл )1х+1)ЫЫуЖ, где К вЂ” тело, ограниченное поверхностями 2х+Зу+я=1; х=0; у=1; я=О. (8 баллов) 5. Для функции «(х) = — запишите степенной ряд по степеням х, укажите область 1-х «8 баллов) сходимости этого ряда Дайте определение сходнмостн разностной схемы. Исследуйте на устойчивость разностнУю схемУ и;"' — и,' = — '„1и;",' -2и," + и,',,'1+ — т~и,', -2и,' + и,'„1 дла одномеРного УРавнениа теплопроводности и„= и„„построенную по равномерной сетке с шагами г и Ь.