Вариант 9 дифур (Дифференциальные уравнения (Кузнецов Л.А.)), страница 2

— - - -. а 1' ) «) =-, — —. = Яа ГГХ ) 1) 'Ь«11)' ) 1х) ')1«1 )р«1ВН«н11е зыгк1к1 прнйехгп1 к В11з««равнения с 1 азаепявнпимнся пере«1енны1яи; «4)1«) „Ь ьх.=- '-'а)1«з)- —:-'-:О Г)х)1)ГГХ) = ' — хбх 1)х и 1)рогн1ге1рпровав обе 'асти зго1 о «равие1щя. полункм сп я«ТО1щ1О й11ра1ксння: , гЬ )' Гх) „ Ьх' ) Г) «)1))'Г х ) == ='- ) - хб « -- - — — =- ". — -". С =-' =- Г1Х) -- 1:х;-- —: «. ))айл«м «' гм усгювнЯ.

Иго Г)х) прохОГВП '1ер«1 1адгин1у1«1 1О ГК«' М1 . Ь),Г)У)) з ~ б =;.'2,') —... Н= ",— ВС вЂ”.з, Гаким об1разохз, нсхох1ая нинин описывается огопгм1 1л с.*1ед«Г$ОБ141~ уравнений Нзнн Оба удОжк гВОрявзт «сяойпк« зазщ'1И ): 1 ~. ) ) (х) — ' и е еинналвнвге «' Ввнезнгн.

Ва нанз 1" Нанти Оощее рещение лнфференциалвнОГО «уравнения. И ГДХ =-- '1-' Это дифференниапыще уравнение 3-то порядка, Оио не солергкгм В явном щ1де у и первой производной от у. Таким Образом, данное дкфференцпаньное уравненне допускает поннгкение степени с помощмо следующей замены 11еревзенной: х=я =Фя =у Тоста ур1«внение 0«дет Вм1мядетв тая: 1))т = з- МВ1 нот1учнли уравнение с разлелягощнмнся переменнммн. П~О«1нтегрируезз лев«чО н праеуго части: 1)З с2СС1З.«1)Т вЂ” — — — -" )и!"! —— з)п(з1Н х) +ГГ .~ 1 Л АВ1Н2Х =з = = .4 «1п ' х =О у' =- Л ) В1Н1 хдх = — х — ' з- + Б ВВ -А Л««пах, А 1 А . =- « = )(-' — х — -- — ' зГ))1)х = --хг — — зга х+Вх+Г) 4 4 4 1« 'Зтом ураанснн11 А.

В и Г) — пронзвояънвге к(«нстантм. »11)) -- () ) )) ):: ~11» ф .)а 1\(а) '" а Ь Ь ~1х )» 1» * а'»10 а;*,Оа ъ =-1) )х11» =- -))яБ асад ада Зада а 11 ! 1аяха 1»'1йаййа дада'7й Еал1и: ) '" а 1) а)а у сна );-- )) 11)а»а»ааааа с дадяР1п)да 33маа) ла)дамайаОЙ: Заааа»а!4 ).1»аайллм Б яааь;х асрс'аа1ББах: 1)арейдаа к у)»аваавлю с рааделискиимйсл варамаиньжа.

«11» ~ча7~4яы»а ата 1» '— ' -"-: Б)х'Ф1»аа)»а)»ул4 лаа) а» Б ыраааад чайн ураанайия: ~ - ))а)й ) 'дю ъ~Ь )»' — .ааа а '(„ ))саады)ам рл ааатва г1))) =-. 0.)»1))) = -; .= ~, ааааа 11) ):- ) ' —.:; С = 1) -- ».' = 2 со» ). ).Ь))адааям '»йвчай»а." »»»ис1ак1ы )З; ~д))) .--. О =.

1) -Б =- О а. ~М:=» )З--: 0 Найти оощее решение диффсрснциж«ьного уравнения: Зу" + у' =- 6 т -- 1 16«й мт Ооиш«рей1сттт«с ИБФФсреттц«тьчтьйс«г«О «равйштия: - у'- «'- *, .= 1ХИ, 4М' '.1то неоднородное линейное дифференинальное уравнение 4-мт порядна. ЕГО 1и".щейи«. является с чгмой ой«нето рситейия однородтки О уравнения и частного решения неоднородного. Найдем общее решение. для чего составим хар;тктернстн «еское «равнение: За' + а" =- 11 =.

а,, =- О, от = -1/3 1'отде общее решение б'дет вмглядеть таь: у --- Аг " ' е В + С'.«,- Вх' Тейерь нам иутино тийтн час~нос решение неоднородного уравнения. Бгдем нск«тть его в следующем виде: у =-х 1ах+Ь1 Подсгавив чг«т в«яра«нет«не в исходно уравнение, получим следующие тйачения БО уффйииетттов а, Ь и с: — 1ч 12 6 Ттзгд««ионное решение дйфференцначьйото «равнения О«тв т таяим: 16 « =-А»" - В+Схч1)х + — х — — х' 12 6 тго 1Гсо.тй«~1т«'.л«~«тс кийс«тйо«,'втффс1«снииьчтьйО«." «1тдвзшйи» «-го щ ряляа, 1;го рчиеннс является с«ммой О«Бием« 1«мщсййя «т,тиОр««тт«т«и'«««1«йвйт."ийя и чйс Б1«Б О рс1лсиття ИСОЛВОРОДИОГО: 11айзсм Ооншс ре~т«синс.

лля те«о составим хт«1тдйт'с1««тстттчесяое " 'рвййейты: г«' ч- у — Ь . 1 .= И 1«««1«нл «м«1танге1««тсти ~Оси«тго «1«авттс«т«1я: гч --- .1:.. =- -1 1., =1 1отсат «т«чйтес 1««ч«тст«ис Олй(«т«Одйщ.О днффе1«сй«тиат ийшО «1«авйеййя «Осеет йьидялегь слсл«ющйм О61«атом: --. 6 - . ': 6. х .с. Надаем часгтюе ртейшййе 1тс«тгтттт«1««тднттттт урввйсиия.

Ылсят исятгь его в с.юд«юишм вйде: «„.:: х1а.«1«хЫ' За«тит«1е«т Берт«ьтс «1««т иг«опчводйме т«О«О 1«ен«е~тйя: т ., —. ихе - ас .~- Ьх'с ! 'Ьх« «", =-ах«" -ас' -:Ое« .'. Ьхгс' 2Ьхе' ИОЬхе' ч.",1«с' —:. -.-. ю;е' — ' .:ас' Ьх с' —: 4Ьх«'" 'Ьс" ЗЬ=-3 4а+ЗЬ = 4 ~а=- — 1 11олстввим чагнлое ре!11енне в исходное уравнение н найдем возф$нннегггы а и Ь: ахе' е За»'* -г Ьх е" е 6Ьхе' в 6Ье' +(ахе' г Зае' в Ьх'е' : 4Ьхе'. ")зе" ~ — 1ахе'+ае'+Ьх'е' + "Ьхе')- — х(а е Ьх Ь' = (Зх -~ 4) =в х '(Ь е Ь- Ь вЂ” Ь)е" '- е-х1а+6Ь на '. 4Ь вЂ” а -?Ь вЂ” а)с'+ -,(За-'6Ь -,За ЗЬ вЂ” а)е' =(Зх+4)е' Составим систему нз двух уравнений: Рщнением втор гсистемм будут следующие значения а н Ь: 11одстввим зтн зна гения в формулу ддя ~истин~о ре~~ения неоднородного уравнения и нМдем его: 1оглв иоллос ргиненгге дг~ффереиниатчвного уравнения у = у,„* у.„== г.', ".", " '- С'з х - е ' + С., е' х(х — 1)е' Зада га 14 11ввз н гввнсс рец:гни .

двффсренщщльного *,равнения: т' ' Ьт' -1)т ==с'" сов4х 'тго всодк ~)тонное ~инейное дифференнвалыюс .. )хгвнсвис норв тхв. 1 ~ о рщвснне вв:гвегся су мной ноннин )тевников одисротного уравнения и час гного 1рсныиия Бес 'яоло.'ннн о: 11а1)дсм Згнее рещение. для что сощ явим хорах ~ гроота вюхос уравнение: Р1К): гг -«6А в 13:-. 0 Еорг~в хврахге)знств тесного уравнения; '16гла общее рещение одно1хзднщо дй~(>фсренниаввгюго равнения б) Ле, ввння тств сведу~олтан воротом: 1 Ы)дем гню инге оеысяие неодгю~втнОго уравнения: 3гьхвнц 15 у +оу'--,13у =с ' сох4х;у„.„= Ке'- —— ~ Р( — 3 41)) сов4х е! в)п4х 1 =-.' " Ке1- — — -- — -1= — -е ' ов4х — 12 у 12 у — -у, ьу,„, =-С е'" в)п2х-'Се "сов2х — - — еснсов4х 12 Огвст: у--- С,е"" яп2х +С,е "сов2х — — е "сов4х 12 1)вйвн огпгнее реп~ение пнффсренцнвльного урввиення; -4» ' = Зв)п2х — 4сов 'х ".

24с' "вго неопцородцое пнцейнги~.цнффсренццвпьнос урпвненне .'.и о порхпхв. 1цо рсгцснпс ввпвсгсв супной оценено 1 ецвпц1Я цпнорогпгого урвнненнн ц поенного рснпсннв Бсгсхно)хцпцпо.* 1Ыдехг обгцее решецвс, лдя !его сосгавны 'О1)дктсрй~л цнескос урвмгспцге: Р1Ц:= г. — 42 --. О корон хврвхге1)пстннссхо1 о у пвпеннв: ! ггцы огнпее ре~ненне оцнороцпого лнффер."нцпепьного срввцення Оул~.г вьп хя гсгь спедхнйпнгн оо)хгнсн: 11вп гем ввозное пспгенкс нсохно)венного ~ рввневпл прнмснив прпнцнп супе)ггговнггнп. Нвйпегх цвсгнгвс С" - Ъ вЂ”.- 4С1*. Х , 11:-, ! ,,' — 4(соаьх+1а1П2х)ъ ) — 161 / 4 ) 4 Ъ г,ьйх, !..ы..

Х 1тск1скня гп1я каткйОГО сяагаъъь1ОГО Йа сОстаВляк1гкйх правь'къ часть дйффсрскцпальнОГО у)1авнект1я! у" — 4)' =-ъыбй2х; у = )Ъй~ — ---~= ~ РЪ21)х 3!';охх-11ы)пх)' 1 = )НЪ вЂ” — - ' ' — ! = — соз2х — 161,~ 2 Г.'О1ласйО прййккп) съйсрпОанцйк, часткОс рсп1скйс неоднородного уравнення буде! равно сумме частных Ре!пекй1) лйя Каждого сяагасмого: ) ОГда ООгнес )х п1сннс Оъдст тайны: "=.

7... -':- ъ'„, = С, ~ С !1.' + С;с СЗхс + — соа 1х ' — Яп2х *1,! Ответ: у=с',ъъ.1С -ЬС1с ' +Зхе' ъ — соа2х+ — ы)п2х 1 „! 2 4 Зьв)ача )а !111й1к регкснйс Ъа !а Й! Еыкйй )1О ксодкъъйолйос ййксйкос дкфферс1й)кайьйос ър11кйсйкъ "1О й11рхдеа. ):1ъъ П1К1аая '11с1ь !ахова.

Й1Р '1астгак )мгпсккс й!О1О ъравйъкйя какая !к!1)тй мгтойь'м по)ъйъра. ))11)!1!ем йб1нсс )мйк.йнс. Я1я 'ь.1О сос1аккм х11)к1к!сркстк«1ссхъьс ) 1ъавпсйнс: ъбгрйк хара!С1срйс111'1есхогк ъ й111вкскйя. ).. = .Ь) тоглл о "кп.'е Ръйыкис ОЪН1 Р11!П1О!т! Г)пффсрскцйалького ", равной йя !букс г кьи кяае гь еле;1у! Йпкм абра ЙЪм; ) )!ЪН!!)- м 1асткос )тс!Ксййс ксодйй)!кайо!О ъ Равйейпя.

йск1С1ььуя )П1я п1йй мегод акрйайий ирои!воль!1ь1х пй" 1Ояййьйь 2ь1я 1то1О 11е)ъеьп!см О1 ЙРОпчйолькььх ЙОкстаит !.'; й ! „к фуйкнкям Г:1)х) й «:-ъх): СО$ Х С, (х) =- —,-'-С, (х) сйп х ) (тг:21=-4:4 — А=4=-: А=-О у = С,(х)з(пх з С.,(х)соах (*) Яолгхкнм попс лннтельное условие: С, (х)ьсп х + С. (Х1соьх = О Вместе с уравненнем, получанзгпиьгся после подстановки фульпни ( ) в исходное дифферснцлззьное уравнение, мы получаем следувнпузо систему уравнений с двумя Беизвестнымн: С. (Х)я)ох+С. (х)соях =О сов х С, (х)соах -С, (х)сйпх = 4 з(п х Вьйхмвм С~'(х) через Сз*(х) с помосдыо первого уравнения зтой системьк Псзлетааиа ЗтО РВВЕНСтВО ВО ВТОРОЕ УРавнеиис СнетЕМЫ, получим след)Бояне выражхеии: — Сгзь Х вЂ” ЯП Х, СОЗ Х вЂ” — — — — — — Сг (х) = 4- — о С-, (х) = — 4 соз х ~ сйп х 31Л х =ь С,(х) = — 4)сояхг)х =-4аьлх+ А В зтом выраьхении А — зто константа.

Теперь Найдем С1(х): 4С х .. г4 "х 4с. х С, (х(.=.- — -- —.с(.',(х)=- 1 —.— '-Ох= — ) — ---'--'-Н(с~ х(:= гйл х сйл х з(л' х 4со» х г~, 4 ейск х(-- 114 — — — —. -!О(созх ~ =-4соьх 1 — соз .. "( 1 — со..' х „ 1з .Овх - 2(л- — "- — +  — соз х  —. Но злкххе констьнта. 11овтавлм (й(х) и С;(х( в Вьгражснле для у: 1-:. соя х у--(4соьх-2(п- — -'- г В).-йлх ь(-4в(пхз-А)соьх 1-соя х )1 гйлсм лс(звуьз л(хо1змсно ~О оз БО;Г,чсББОГО вьц)ахссния. ~ 1-совх '1 у' -' Всовх —. Асйлх Ь4 -2)п' ; ~-СОВХ) 1')ского~ Бз Начальных ус.илиль Бавдем констан1ы А и В: у( 1г 2) = 4: В =- 4 1огла репьсяис зозачл (сол1Б О)лс1 вьлсо1лсгь так.' ! -сссвх .= (4соях — 1л-----.----.

4)я1лх -4мпхсозх 1-сох х 1.(-со; х Смвсгн з -"-(4со„х - 2(л--.- .-'.'- '-4)х)пх -4хслхсоах 1-сох х .