Вариант 9 дифур (Дифференциальные уравнения (Кузнецов Л.А.))

Скачанс с ЫБУаа!!я!и кс !Дифференциальные уравнения) 2!)()7 Данный ма1српал подготовлен 1щ принципах информапиоинояоисульщпиониого материала с Белью закрсплеющ у шиольнинов и с!удентов навыков праипгиссяой реализации знаний, Брнооретйнныя в объеме курса по теме !Дифференциальные уравнениям Настоящий матс)я!!)л прсдусмп1)кивасг щироку1О варна! нВНОсть приймов и методов заирспленпя 1щлно)О БЗЗзса В обьем!.

семестра по разделу чДифференцнвлыние уравиенилв в 1!Выси!С!3! Математниекь Рсноменлус1ся нзунеинс ванного материала в сопоставлении Всего ОСЬ!ив ПРЕДЛОаВСББЫТ РЕ1нсннй. 1) серии пречставлсиы ионсультаппонньы пособия по с!Седуинпим темам: а И)ПЕГРаЛЬНОС ИСБНСЛЕБИЕ Дпффе)я..нцнальньы уЗ)ввиения н КРЯТНЫС Инте)РПЛЫ Ряды а ) СОРИЯ ВСРОЯтиОС'Гей 11рслслы ТФ)н(1 Лиаз!И гн 1ссгп1Я геометрия а Лннсйная аЛЕОРВ (ЗС лорнь1)1 анализ ! !лемеиты теории поля) 1(апти Общин интеграл лнфференпна:!Ьного уравнения. (Ответ Брслст!впть в воде !)1(и.у) =-.

(:.) (кх!(т — йтс)у = Зх'3ьт! — 2хт г(т Данное ураВБСНБС яВля! Тся у)таВБснисм с раздавя)Ощимися пе)!сменными. 1)реоырвзусм !".го я свен! и!и!ему аннус бхай + Зху г2т = Зх )у(!'ь (Зуф ЗВВ1ишем дифференциалы, кая оо1пие мнозннтели: зьйх ч!ЗЗу х(3-! 1' )стт = .ч)к(х .1' 2)!)3* (х!+2) 3+у Пр!и!иге! рирусь! лсвуи! н пзавуто '!асти Вырви сщ!я: Зхйх г 3 БЛ! гс((х! ь 2) г).5!((у! + 3) (х 2) 3+ У! ха+2 Зь )д ВзяВ этн инте раль!.

Бы получим ООщий Б1ттсгр1ьк! ПанногО УР!ВВБСБНЯ. Т. С. СОВОИ) ПБОСТЬ РЕГПЕБИ)) В БСЯВНОМ ВНДС: 1п1х + 2(.= 1.5 1П)3+ у ) ь С ()ривсдеь! )ъ Бпсни!. ж требуемому Вил)с )п)х + 21 = 1.5 1п)З + у )+ С .=-. Х = А(у +3)! =-.('-'. х ) =-> — — — —,—,—,=.А (3-! у )'' В З 1'ОМ ВЫРакаснин А=с!."' — ПРОБЗВОЛЬИПЯ Бпнстанта. Задача !)л!)!!! Эътн!и!! !В!те!рая лнффере!Ьниально!о ъравнсиня Зу' — '-, ъ))-' + 4 )1О „!Нфферен1!Июн но!.' ъ Равнеяне на !ывлется о!Нъ!сн!ес!Ы1ъъ: н ъ. Геньзть его слелуе!' слелух11цей !Лмеън! Иереь!Оннси!! у = м =-ъ у' =- х -,: х' — --: 3(х е хы') =. х' —: ьх ", 4 ОЛНОРОЛИЫМ С НОМО1НЬЬО 1)Х 1()теоо)ъаэуъм лая1И!е ъ)ълннен!!е.

ъч1П ывал ч.О х йх тъ) х 4 ъ ът+4т хъ4 Х -') у 1+х =';) В '!1'Ом ьь!)махании А . 1нронэвОльная ЛОнстая!Ть хъ ъ4х (3!везя — "-- — — - =- д Зх!)л =!л -.-Зх-'4) (ъ У нлс 1жлъчнлоъ1 уравнение с рл!!!(слянэщньн!ся псреыеянь!ъ!н. ) Нньам с1'Р! !)х Зъ(х Оъ злу х х! Ьбх44 х (х+2.5) --).5! Пр1ъпн1е! рнруем леаък! н яравуьо части: д: „- !()х-' 5),, 3 '.х 25 — (,5,' х «(х ь 2.5)! — ).5 ' ' 2ъ).5;л ъ '5+),5' )ъ)!л ноль'и!Эп объни!) Инте!'рал Лйффе)теиняальио! 0 уравнения. П)жлъ!1!1Внх! ъто в виде ъ)!(хьюг) = С': 1 'Х "ъ .=" )О)х' .-- ---:- -- (и) ..

- ..' ---'-'-', + ' о )п~х = )и,'-5 — ~ + (* -.ъ 2ъ(.5 л .5 !.).5; '' ' =-;4! н е ьн яальнь!е авнення. !ха иант 13. Найти Обн!Пъи инте!р!ы дйфференниальнО1О ъ.равк!".Няя: 31' "3 2хьу — ) Н!1Йле!'ы точку пересечения Прямых 2х ' у — ) = 0 НЗу.!. 3 = б. 'Зто точка с хоорлннатамп (1,-) ). Перенесем НЛЧЬН!О КООРДПНЛТ В ЭТУ ТЪ!ъ!К) . Т.Ъ. СЛЕЛЛЕМ ЗВМЕНЪ и = 1*+ (.т =- х — 1, В новых переменных ураВнеяне Оудет выълядеъь тах: 3(л — П -!.

3 Зи 2ъъ2ъи-1 — 1 в+21 (. ДЕЭ!ВЕХ1 ЕЩък ОЛНУ '!ВМЕНУ: В=о'' И =!+Я! Полу н!ь!! 1-! () — Т)! !+ т!" =.—.= !и!'=- — -- = —----- !+2 !+2 Й+ ) й Преобразуем данное уравненне. учитывая что ! =- —: О'Ъ" (! ч 2)ъ(! 1)ъ П-!)! т Проинте! рнруем леау1о н нравунь частя: Г (!.ъ2)ъ(! !дъ: г !)! ! 2Й П вЂ” !)1 т ) — ! (1 — 1М , ! ъ((, т!)! ---31- — ' 21 —. --)пъ) = — 3)и!( — !! -2(1й14 С' =-ъ )†! !' () -О'ъ:) (х — ъ; — 2'! (1 — 1) (н)ъ:) (ъ -ъ П )) !!!Эм выральеяяи А - произволыьяя хонстаиъл.

(х — у — 2)' Отвд - ---""- — —,:-- = д (у+1)! '5ъалв1 Б1 4 )'(а11ъи (х.'1п н1не ъылъаи1 КО1яя: Г'Ь Ъ.,'"Х.:- Т'. Г()):. ) 'Уъъо .Ъняейное ВЪ~фе;1С11ЯИЪИ1ьн1ъы уръы1неине. Его рена*вне нйхолнтея с номОВ1ь1О репюнна сойтветстВуяяпнх о(ИЪО)ъоднО1о «1 неоднО)ъОдного уов13нсьв1Й. С11вчг1ыа рс1ннга ОГ(Н1ЪР1ЪЛНМС УРВВНЕНИЕ У' '. У/2Х = Р ф', (Ъ)ъ«ъъгъ)ъа1уем ллнное «ръ мнение, ъ'Ънъв1ВВЯ нъО )Г =.— Ъ(Т ог ЪЪЪ ()(вьв пте1 рн(ъуси Ъгевь ю и ЯЪъаву 1О '1аети: 116. -А.

--0 5)нх =-)пу-::-.4 = у =(,'.'ых Реаънм неолкъролное уравяеняе меголога вариации. Дыв ат1ы"1ъ пръъя'Ъвег)ем полстанОВкът у --(:(х)::;х (.'(х),,; ('(х) „,, — С(х) ъх =- — — --- ь(у(ь)! „)х .=. — — —,—, ВС'(х)1ъ1х -1- — '. =- х' О х' 'х",*'х -- ("(х) ==х ' =- (.'(х) = — х' -' )( —. у=(:х'' ь 8) 'ъ1х 7 Б от1ън Вы(ъ 1ьхеннн В -.

1цъонъВОдьнав ьОнствнта. 1(о уедоюио ъ () ) =- ), нъ "1его следует: В = 5 7 =-, --1-- х ',:-1: х 7' 5 (5твег: ъ:=-(- х * — 11ъ"х .Нълача 5 ( сгаить ъадач) Кгннн." ъгх + (ху — ъ ъ ) ъг1 .—, О Ъ*~ -- () П реогдраауега данное уравнен не: х'-1-хг = Ъг Это вине11нгъе лнфферен1(ыа11ыЪОС;равненне, Его рен1еннс нахолптсв с ИОХЪОЪньнь регаення соответствугющнх олнор1ълноггь н неолноролного у'равненн11. Снавава (ъе1няга стель'ю1цае гълнороляое у)ъввяснив; 1)рояятегрпруега левую н правую наепи Реьвям яеоляоролнОе уравненне: 1.)таст: х =- у Неволь Г,ем ме цъд Ва)ъиации и п)ъонзведсы след« ющу)о пг«т«'тапъъакъс ъ' =- — у((у)с" ' —: (2 (у)е' ' о — у()у)с"' ъ(' (ъу)е "' , У) ) У)с ' ' =- ъ —..- ( '1) ) = У с: —.- С) У ) = )ъу'с" ' ОУ:= :- ~ъ-с"" «11))5)'):= ~у "4е" н ) = ) 'с" ' — 2)е"" ФО бу ) =- ъ 'с '"' — 2е" ' В =--' х = ра е' ' ' — 2е" ъ В)е В ъъом выражении  — произвольная константа.

У )нтьщая. *)то х)О) =: -1 получаем В =О = к:=() '«ъ" -2с""' )е "" =- ъ." — 2 Задача б Репо)ть задачу Коп1и: у'+ 4х*'у =-411 — х")е" у у(О) = -1 Разд«лнм об«части крапленая нй у Произведем следующую замену переменнодд ж =.1) у е х' =. — — ', я(О) = — 1 вз Запишем уравнение в новых переменных: — ='+ 4х'= = 411-х')с " .=ь =' — 4х'х = -4(1 — х')е" Это неоднородное линейное днфференппальное уравнение 1-го порядка. Решат) его придется методом произвольной вариации постоянних.

суть которого заклзочается в том. ято рещается однородное уравнение. а затем константа, появившаяся в результате интегрирования. объявляется функцией х в рещается неоднородное уравненне. Найдем обц)ее решение однородного уравнения: ='-4х'= = О Перейдем к уравнению с разделяющим«)ся переменнымп, Лк учитывая. нто х' = — — '; «)а - 4Т 1ГТ брекн1ГГрнрусы лсвуГО и нрГБ1у1О нзстя трзВнсння: . =' )4т 1/1 .-О )Н Г: -- х ' + 1) =..: Я = ( 1 ' ) СБ1НХ1 Н1ОДБО)Х1;1НОС У)ХН1ИЕБНЕ: ))СВО,*1ЬТУ*'М 1ВЕ1ОД В1РНГГИНБ 11)ТО1Я11ВОЛЬНЫХ НОСТОЯБНЬ1Х Н Н)ЗОН И1СД~ 1З С11СДУ1ГЯ1(УГО ЗОДСТЗНОВКУ1 '11НД З ;.' = 4х 'б(х)е' ьб*(х)е" .-:=:4Ь'Ох)е' .ВГ(х)е' -4х1б1х)е' =-4()-х')е" =1 =-.:.

( '(.т~ = — 4() — х" 11 =- б(х) == )-4() —: ' 1С ' "дх.= — )е'' '" )(-х' Я4х) =-. — ' -'. В ' я =- ( е' '"' + В)е' () '11О11 ЗЬ1РЗГЗЕНВБ () — НООН1ВОЛЬБЗЯ КОНЕГВНТЗ. У'1НТЬИН1я, НТО =(О) = -( 1ГОяуН~Б 1 Б е ениияяьйме 1ВВнеймя. ВВ Бяйт 9. ЗЗДЗЧЗ У )(В1Г1Н О15Н11Б11 11н11.'Грзл НБфференпизльнОГО урзвн ния: (ЯГ +ЯГ 1' ИТВ(х1у — х 1' ГЗ)й1 =-0 -«ЯО трзв1ееиие В неснцях янфф1 ре11иязязх Е1О реГБСБЯГ следует Вскзеь в виде р(х.у) + б(у) =- б. 1'зсс1БОтра1Я фУНКЦГНО Р; Р =- «(ху ',- Я1 у' )1)х = 0.5 х у + 0.5х '; Г' + ~1(у) бтс1ОНВ ЯЯ1(1те1Я б(1); 1,' = х1у — х у н' + б'( 1') .= Я1 у — х 1' Г1 .—.Ф =ьб'('У) =0-= б(У) =СООЯ1 =э 0,5х у +0.5х1/тс =(' В Ятем Вырзя1еннн б — нрОБТВГ111ьизя НОБстзвтз. б1 ВОТ: Г = -С "' ,!Ь$я „!Зк БОГО дп фферс3ьнизл! БОГО у ранк еп пя методом П КЮ.ПП! ППСТРОК'П КИТС! РЗЛЬКЪ Го КРКВЪ'КЛ.

ПРОХО:ГЯГКЪГО !Зрс! !О БГЪ (ъ(! (х — .)ъ' = у. М!2.3) С!ос!и!:!ь'!)Бмся Гем, чзм Р ~й(!Т). !ГГО !! — )Тол кзклОБП кзслтъспной' к пкгсгрзлькой Ириной В задск!Бой 1)ар|гкръ я ум!л и, як ! И!Та!ем И!ГО ! Рспггь Боле нз!!Ра!Вяеккй, а кнсм п)тов!!Оти через 'Гачзннр!О ТОчкь' пнт!'Г)хглькь!О к)Б!Б) кс йаормГС!а Ггля К!С!)х!Сккя поля кзп)Та!С!Сн!ТГ! беде! Вьп 3я!Ге!'!. еле!Г къ!Го! 4 Ооразом: ".

== ! х, 2 !й ! !з) 1РП !ц пвсдекном Бкгкс рисъБке нос!Роска 3!Окомая ьк!!с!Ра,п:!Вя к)тиная Б ча!ть Веки!РОВ поля БЗ3йъзалспкй лля !Рсх тоз-!Ский уг!!ЗЪХ(ПГО„ЯЖ, т_#_2): ъй!дача О Нзйтк лккнь ч Брохолян(;то! Берез точкь МГ,. ъсзп! Отрс!Ок ПКЭООй се Корма!!Г!, ЪЗГОБОчсннмк меткд ' О!'.ямк координат. делится точзой линии а отногненнн а:Ь (счнтая от оси Оу): Мя(1.0). з:Ь вЂ” — 2!:2 уравнение нормали к фънкпин р(х) в тОчке х!к 1 у(х) =-1(х,.„) — -(х — ъъ) Г(х! ) ' Рзссмотркм Броизнольнь Го то1!къ Ы, Брикздз!Ськза!Рк! ИСКОМОЙ ЛИНИИ: М(х,!"(х)) Точки Персее !ения нормали ь пскомой кривой в Гнои точке с Осямн КООрдкнзт Ооознзчим !'1 и Р: Ь)(О.((х) — х (1 (х)) — пересе Ганне с Оу Р(х —: р!х) 1'(х),0) — пересечение с Ох По услоаюо отрезок Х)Р делится точкой М таким образом, М)ъ! а -' — = -- =- а - МР = Ь МЬ) МР Ь ТО!ЛЗ: з~я(1(х!) Г(х))! ч 1!(х) = Ьъ(х! +!(Х(Г(х))! ГЪО!!!аслам ОГ!е части поль'чигиаъГОся "равнения В кВздрзт: ° !) з ! !(Х)(1(!1'(х)) "; 11=- Ь'хГ11+! — „— 1 (, Г(х), л! Преоыразрем прзвркь !Бст Ррзанення! 1 ) 1 , ~(Г(х)) + 1 '~ Г(х),' 1 ~ (Г(х)) 1огла ппопзаедсм с!Пел!)!ОББ!е действия: х«' '3 — «'ВГЗ «)тает: Г1 х) =-1 ' --- -: --; =- агГ') х )1~Г), ))' + )1= , .:„.(Г')«))1 ',6 :', (ГТХ)Г Ь « =-, —.