Вариант 8 дифур (Дифференциальные уравнения (Кузнецов Л.А.))
Описание файла
PDF-файл из архива "Дифференциальные уравнения (Кузнецов Л.А.)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "кузнецов (высшая математика)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Скачано с http://antigtu.ru1.Найти общий интеграл диф. уравнения (ответ представить в видеF ( x, y ) C ):1 x2y y1 0 ;1 y2Решение:y 1 y2y 1 x2;dy 1 y 2;dx y 1 x 2Следовательно:ydydx;1 y21 x2ydydx 1 y 2 1 x 2 ;Вычислим интегралы, и найдем общее решение диф. уравнения:ydysin t cos tdt1) |ysintdycostdt| sin tdt cos t C1 cos t1 y2 cos(arcsin y ) C1 ;cos tdtdx2) |xsintdxcostdt| t C 2 arcsin x C 2 ;cos t1 x2Получаем: cos(arcsin y ) arcsin x C 2 C1;Ответ: cos(arcsin y ) arcsin x C 2 C1 ;2. Найти общий интеграл диф. уравнения:xy 2 x 2 y 2 y ;Решение:22222 x y y 2 x yyy2 yy 2 1 2 ;xxxxxyxdUПусть U (x) , тогда y U ( x) :xdxxdU 2 1U 2 U ;dxdUdx;x2 1U 21dUdx ;22 1UxРешив данные интегралы, получаем:U1ln(U ) ln( x) ln C ;2U C 2 x2 ;Получаем:y C 2 x3 ;Ответ: y C 2 x 3 ;4.
Найти решение задачи Коши:y y UV ;dUdVy VU;dxdxdUdVUVVU sin x ;dxdxxdU UdVV( )U sin x ;dxxdxСледовательно:dUU ;dxxdU dxxdU UdxUxy1 sin xy ( ) ;xРешение:dUdxUx ln U ln xdVdV 1U sin x* sin xdV x sin xdx ;dxdx xV x sin xdx | x A dx dA sin xdx dB B cos x | x cos x cos xdx x cos x sin x C ;1U ;xysin xC cos x ;xxПодставим значение y ( ) 1 С 1 ; Ответ: y 1, и вычислим значение переменной С:Следовательно, С 0sin x cos x ;x5. Найти решение задачи Коши:(104 y 3 x ) y 4 y ;Решение:dy4y;dx 104 y 3 x4ydx() 1;3104 y x dydx 104 y 3 x;dy4ydx dUdVVU:dy dydydUdV104 y 3 UVVU;dydy4ydUdVUVVU 26 y 2 0;dydy4ydV VdUU( )V 26 y 2 0 ;dy 4 ydydV V;dy4ydVdy;V 4y1V ;4ydU 1* 26 y 2 ;dy 4 ydU 104 y 3 dy ;U 26 y 4 C ;Cx 6,5 y 3 ;4yПусть x UV , тогдаТ.к.
x=8 и y=1, то найдем С:y (8) 1 ;8 6.5 C;4x 6.5 y 3 C 6;3;2yОтвет: x 6.5 y 3 3;2y6. Найти решение задачи Коши:2 y y cos x y 1 cos x (1 sin x )Решение:cos x(1 sin x);2 y y cos x y2 yy y 2 cos x cos x(1 sin x) ;dUdVy UV y VU;dxdxdUdV2UV (VU ) U 2V 2 cos x cos x(1 sin x) ;dxdxdUdV2UV 2 2U 2V U 2V 2 cos x cos x(1 sin x ) ;dxdxdUdVUV 2 (2 U cos x ) 2U 2V cos x (1 sin x ) ;dxdxdU2 U cos x ;dx2dU cos xdx ;UdU2 cos xdx ;U2 ln U sin x ;U e sin x2;dV2e sin xV cos x(1 sin x) ;dxcos x (1 sin x)dxVdV ;2e sin xcos x(1 sin x)dxVdV;2e sin xV2(1 sin x )d (1 sin x);22e sin xПусть 1 sin x t , тогда sin x 1 t ;y (0 ) 1 ;tdt te t 1dt ;1 teПусть t 1 k , тогда t k 1, dt dk ;V 2 (k 1)e k dk | k 1 u dk du e k dk dvV2 v ek |= (k 1)e k e k dk (k 1)e k e k C (t 1 1)e t 1 e t 1 C (1 sin x)e sin x e sin x C ;V (1 sin x)e sin x e sin x C e sin x sin x C ;ye sin x sin x C sin x e sin xТ.к.
y (0) 1 , тогда С 1y sin x Ответ:1esin xsin x C;e sin x;1esin x;7. Найти общий интеграл диф. уравнения:(sin 2 x 2 cos( x y ))dx 2 cos( x y )dy 0 ;Решение:M sin 2 x 2 cos( x y ) ;N 2 cos( x y ) ;dNdMdM dN 2 sin( x y ) ;; 2 sin( x y ) ;dxdydydxU (sin 2 x 2 cos( x y ))dx 2 cos 2 x 2 sin( x y ) f ( y ) ;dU 2 cos( x y ) f ( y ) ;dy 2 cos( x y ) f ( y ) 2 cos( x y ) ;f ( y ) 0 ;f ( y) C ;U 2 cos 2 x 2 sin( x y ) C ;Ответ: 2 cos 2 x 2 sin( x y ) C ;8.
Для данного диф. Уравнения методом изоклии построить интегральнуюкривую, проходящую через точку G:xy 2 y G (2;3) ;Решение:dy 2 y;dx xПостроим поля направлений для данного диф. уравнения. Изоклины,соответствующие направлениям поля с угловым коэффициентом, равным k,1есть лучи y kx ;2График будет выглядеть примерно так:Интегральные кривые имеют вид парабол, которые задаются уравнениямивида y Cx 2 ;3Т.к. G (2;3) , то уравнение примет вид: y x 2 ;410. Найти общее решение дифф. уравнения:x 3 y x 2 y 1 ;Решение:dUdVПусть y UV , тогда y VU;dVdUdUdVx3V x3U x 2UV 1 ;dxdxdUdVV (x3 x 2U ) x 3U 1;dxdxdUdU dx1x U ; ; U ;dxUxxdVx2 1;dxdx1C 1dV 2 ; V C ; y 2 ;xxx xdxdx1y C 2 C ln( x) C1 ;xxxdxy C ln( x)dx C1dx Cx ln( x) Cx ln( x) C1x C 2 ;xОтвет: Cx ln( x ) Cx ln( x ) C1x C 2 ;11. Найти решение задачи Коши:4 y 3 y 16 y 4 1y (0) Решение:Пусть z dydzи y z , тогда:dxdydz 16 y 4 1 ;dy(16 y 4 1)dyzdz ;4y31zdz (4 y 3 )dy ;4y1 3 zdz 4 y 4 y dy ;z2y 22 2y C1 ;28y 222z 4y C1;4dy1( ) 2 4 y 2 2 C1 ;dx4y12Т.к.
y (0) и y (0) , то:2211 2 С1 ; С1 2 ;221z2 4y2 2 2;4y16 y 4 8 y 2 1z2 ;4y24y2 1p;2ydy 4 y 2 1;dx2y2 ydy dx ;4y2 1ydy;x 2 24y 14 y3z22y (0) 1;21 ydy;2 y2 141d(y2 )14 ;x 4 y2 1411x ln y 2 C 2 ;442Т.к. y (0) , то:21 1C 2 ln ;4 411 1 1x ln y 2 ln ;44 4 41x ln 4 y 2 1 ;41Ответ: x ln 4 y 2 1 ;4x12. Найти общее решение диф. уравнения:y V y IV 2 x 3 ;Решение:t 5 t 4 0 ; t1, 2,3, 4 0 ; t 5 1 ;y C1 C 2 x C 3 x 2 C 4 x 3 C 5e x ;f * ( x) ( Ax B) x 5 ;f * ( x) 6 Ax 5 5 Bx 4 ;f * ( x) 30 Ax 4 20 Bx 3 ;f * ( x ) 120 Ax 3 60 Bx 2 ;f IV * ( x ) 360 Ax 2 120 Bx ;f V * ( x ) 720 Ax 120 B ;x (720 A 120 B) 120 B 2 x 3 ;51A ;B;18405x 6 x5*f ( x) ;18 40y C1 C 2 x C 3 x 2 C 4 x 3 C 5e x 5x 6 x5;18 40Ответ: y C1 C 2 x C 3 x 2 C 4 x 3 C 5e x 5x 6 x5;18 4013.
Найти общее решение диф. уравнения:y 2 y y (18 x 21)e 2 xРешение:t 2 , 3 1 ;t1 0 ;t3 t2 t 0 ;xy C1 C 2e C 3 xe x ;f * ( x ) ( Ax B )e 2 x ;f * ( x) Ae 2 x 2( Ax B )e 2 x Ae 2 x 2 Axe 2 x 2 Be 2 x ;f * ( x ) 2 Ae 2 x 2 Ae 2 x 4 Axe 2 x 4 Be 2 x 4 Ae 2 x 4 Axe 2 x 4 Be 2 x ;f * ( x ) 8 Ae 2 x 4 Ae 2 x 8 Axe 2 x 8 Be 2 x 12 Ae 2 x 8 Axe 2 x 8 Be 2 x ;12 Ae 2 x 8 Axe 2 x 8 Be 2 x 8 Ae 2 x 8 Axe 2 x 8 Be 2 x Ae 2 x 2 Axe 2 x 2 Be 2 x ( Ax B )e 2 x ;A 1; B 0 ;f * ( x ) xe 2 x ;y C1 C 2e x C 3 xe x xe 2 x ;Ответ: y C1 C 2e x C 3 xe x xe 2 x ;14.
Найти общее решение диф. уравнения:y 4 y 4 y e 2 x sin 3 x ;Решение:t 2 4t 4 0 ; t1, 2 2 ;y C1e 2 x C 2e 2 x ;f * ( x ) e 2 x ( A sin 3 x B cos 3 x) ;f * ( x) 2e 2 x ( A sin 3 x B cos 3 x) e 2 x (3 A cos 3 x 3B sin 3 x ) ;f * ( x) 4e 2 x ( A sin 3 x B cos 3 x ) 2e 2 x (3 A cos 3 x 3B sin 3 x ) 2e 2 x (3 A cos 3 x 3B sin 3 x ) e 2 x (9 A sin 3 x 9 B cos 3 x) e 2 x (12 A cos 3 x 12 B sin 3 x 5 A sin 3 x 5 B cos 3 x ) ;e 2 x (12 A cos 3 x 12 B sin 3 x 5 A sin 3 x 5 B cos 3 x ) 8e 2 x ( A sin 3 x B cos 3 x) 4e 2 x (3 A cos 3x 3B sin 3 x) 4e 2 x ( A sin 3 x B cos 3 x) e 2 x sin 3 x ;e 2 x (9 A sin 3 x 9 B cos 3 x) e 2 x sin 3 x ;1A;B 0;9 e2 xf * ( x) sin 3 x ;9e2 x2x2xy C1e C 2e sin 3 x ;9e2 xОтвет: y C1e C 2e sin 3 x ;92x2x15. Найти общее решение диф.
уравнения:y 9 y 18 sin 3 x 18e 3 x ;Решение:t 2 9 0 ; t1, 2 3i ;y C1cos 3 x C 2 sin 3 x ;f *1 ( x) x( A sin 3 x B cos 3 x) ;f 1* ( x) A sin 3 x B cos 3 x x (3 A cos 3 x 3B sin 3 x ) ;f 1* ( x) 3 A cos 3 x 3B sin 3 x 3 A cos 3 x 3B sin 3 x x(9 A sin 3 x 9 B cos 3 x) 6 A cos 3 x 6 B sin 3 x x (9 A sin 3 x 9 B cos 3 x) ;6 A cos 3 x 6 B sin 3 x x (9 A sin 3 x 9 B cos 3 x) 9 x( A sin 3 x B cos 3 x ) 18 sin 3x ;6 A cos 3x 6 B sin 3x 18sin 3x ;A 0; B 3;f 1* ( x ) 3 x cos 3 x ;f 2* ( x ) Ax 2 e 3 x ;f 2* ( x) 2 Axe 3 x 3 Ax 2 e 3 x ;f 2* ( x) 2 Ae 3 x 6 Axe 3 x 6 Axe 3 x 9 Ax 2 e 3 x 2 Ae 3 x 12 Axe 3 x 9 Ax 2 e 3 x ;2 Ae 3 x 12 Axe 3 x 9 Ax 2 e 3 x 9 Ax 2 e 3 x 18e 3 x ;2 Ae 2 x 12 Axe 3 x 18 Ax 2 e 3 x 18e 3 x ;A 9 ;f 2* ( x ) 9 x 2 e 3 x ;y C1cos 3 x C 2 sin 3 x 3 x cos 3 x 9 x 2 e 3 x ;Ответ: y C1cos 3 x C 2 sin 3 x 3 x cos 3 x 9 x 2 e 3 x ;.