Экзаменационные билеты по МА 2020-2021 (Экзаменационные билеты по МА)

Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 (20-42).Математический анализ1-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2020-21)1. (4 балла) Сформулируйте и докажите теорему о локальной ограниченности функции, имеющейконечный предел, и теорему о единственности предела функции.cos πx + 12.

(5 баллов) Вычислить предел limπx .x→5 (5 − x) cos2√√33. (5 баллов) Доказать, что функция f (x) = x2 − x + x является бесконечно большой приx → +∞. Найти порядок роста этой функции относительно функции h(x) = x при x → +∞.14. (5 баллов) Найти точки разрыва функции f (x) = e (x−1)(x−2) и классифицировать их. Датьграфическую иллюстрацию в окрестности каждой точки разрыва.5. (6 баллов) Составить уравнение касательной к графику функции y = 3ex/2 − 2 в точкепересечения графика с осью Oy. Сделать чертёж.6.

(5 баллов) Найти асимптоты, интервалы возрастания, убывания, точки экстремума функцииf (x) = xe−x/2 . Построить график функции в окрестности полученных критических точек.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 (20-42).Математический анализ1-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2020-21)1. (4 балла) Сформулируйте и докажите теоремы о производной произведения и частного двухдифференцируемых функций.x3 − 3x + 2.x→1 x4 − 4x + 32. (5 баллов) Вычислить предел lim√3.

(5 баллов) Показать, что функции α(x) = ln(1 + xex ) и β(x) = ln(x + 1 + x2 ) являютсябесконечно малыми при x → 0. Выделить их главные части и сравнить эти функции.x2и классифицировать их. Дать(x + 1)(x − 3)графическую иллюстрацию в окрестности каждой точки разрыва.4. (5 баллов) Найти точки разрыва функции f (x) = ln5.

(6 баллов) С помощью формулы Тейлора вычислить пределcos x − e−xlimx→0x3 tg x2 /2.6. (5 баллов)√ Найти интервалы выпуклости вверх, вниз, точки перегиба графика функцииf (x) = (x − 2) 3 x. Построить график функции в окрестности точек перегиба.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 3 (20-42).Математический анализ1-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2020-21)1.

(4 балла) Сформулируйте и докажите теорему Лопиталя – Бернулли для предела отношениядвух бесконечно малых функций.3π2. (5 баллов) Вычислить предел limπ (tg x)1/ cos( 4 −x) .x→ 4arctg x1иβ(x)=являются бесконечно малыми1 + x2x2при x → +∞. Выделить их главные части и сравнить эти функции.3.

(5 баллов) Показать, что функции α(x) =4. (5 баллов) Найти точки разрыва функции1arctg, x 6 0;x+1f (x) =1, x > 0;1/x1+2и классифицировать их. Дать графическую иллюстрацию в окрестности каждой точки разрыва.5. (6 баллов) В каждой точке пересечения кривых y = x2 и x = y 2 найти угол между этимикривыми.6. (5√баллов) Найти интервалы выпуклости вверх, вниз, точки перегиба графика функции3f (x) = 8x − x2 . Построить график функции в окрестности точек перегиба.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э.

БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 4 (20-42).Математический анализ1-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2020-21)1. (4 балла) Сформулируйте и докажите теорему о пределе сложной функции.2. (5 баллов) Вычислить предел lim x1/x .x→+∞3. (5 баллов) Найти порядок малости функции f (x) = 2x4 + 3x3 + x2 + 7x относительно функцииg(x) = x: а) при x → 0; б) при x → ∞.4.

(5 баллов) Найти точки разрыва функции( 1sin , x 6 1;xf (x) =cos x, x > 1.и классифицировать их. Дать графическую иллюстрацию в окрестности каждой точки разрыва.15. (6 баллов) Разложить функцию f (x) = по формуле Тейлора в точке x0 = 1 до слагаемых 3-йxстепени с остаточным членом в форме Пеано.√36. (5 баллов) Найти асимптоты и точки экстремума функции f (x) = 2x + 3 x2 . Построитьграфик функции в окрестности точек экстремума.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э.

БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 5 (20-42).Математический анализ1-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2020-21)1. (4 балла) Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условия точки перегиба.sin 2x.2. (5 баллов) Вычислить предел limπ 2x→ 2 π − 4x2√√3. (5 баллов) Показать, что функции α(x) = sin( x + 2 − 2) и β(x) = ln(1 + x3 ) являютсябесконечно малыми при x → 0. Выделить их главные части и сравнить эти функции.14. (5 баллов) Найти точки разрыва функции f (x) =и классифицировать их. Дать1 + e1/(1−x2 )графическую иллюстрацию в окрестности каждой точки разрыва.5.

(6 баллов) Для функции f (x) = lg(1 + x2 ) записать формулу Маклорена с остаточным членомв форме Пеано, ограничившись тремя первыми ненулевыми членами разложения.6. (5 баллов) Найти асимптоты, интервалы возрастания и убывания и точки экстремума функцииx3 − 3xf (x) = 2.x −1Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 6 (20-42).Математический анализ1-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2020-21)1.

(4 балла) Выведите формулу Маклорена для функций y = sin x и y = cos x с остаточным членомв форме Лагранжа.arctgx3+ ln(1 + xex ) + x6.sin 5xr3+x13. (5 баллов) Показать, что функции f (x) =и g(x) = xявляются бесконечно3−x2 −8большими при x → 3− . Для каждой функции указать порядок роста относительно функции h(x) =1. Сравнить функции f (x) и g(x) при x → 3− .3−x11arcctg и классифицировать их.

Дать4. (5 баллов) Найти точки разрыва функции f (x) =x−1xграфическую иллюстрацию в окрестности каждой точки разрыва.2. (5 баллов) Вычислить предел limx→05. (6 баллов) Составить уравнение касательной к кривой x = 5 cos t, y = 2 sin t, котораяпараллельна прямой 2x + 5y = 0. Сделать чертеж.√6. (5 баллов) Найти асимптоты и точки экстремума функции f (x) = x 1 − x2 . Построить графикфункции в окрестности точек экстремума и асимптот.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 7 (20-42).Математический анализ1-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2020-21)1.

(4 балла) Сформулируйте и докажите теорему о сохранении функцией знака своего предела итеорему о предельном переходе в неравенстве. 3x26x2 + x + 2 2. (5 баллов) Вычислить предел lim−.x→∞ 2x + 14x1ln x√и g(x) =3. (5 баллов) Показать, что функции f (x) =являются бесконечно2(1 − x)1 − cos x − 1большими при x → 1+ . Для каждой функции указать порядок роста относительно функции h(x) =1. Сравнить функции f (x) и g(x) при x → 1+ .x−114. (5 баллов) Найти точки разрыва функции f (x) = (x − 1) sinи классифицировать их.1 − x2Дать графическую иллюстрацию в окрестности каждой точки разрыва.5.

(6 баллов) Составить уравнения касательных к кривой x2 + y 2 + 4x − 4y + 3 = 0 в точкахпересечения ее с осью абсцисс. Сделать чертеж.√6. (5 баллов) Исследовать функцию f (x) = ln x + x2 + 1 на локальный экстремум, найтиасимптоты, интервалы возрастания и убывания функции.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П.

Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 8 (20-42).Математический анализ1-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2020-21)1. (4 балла) Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа.3x + 7x2 + sin x + arctg x3√.x→∞x4 + 8x3√23. (5 баллов) Показать, что функции α(x) = ex − 1 и β(x) = 1 + sin x2 − 1 являются бесконечномалыми при x → 0.

Выделить их главные части и сравнить эти функции.2. (5 баллов) Вычислить предел lim24. (5 баллов) Найти точки разрыва функции f (x) = 1 − e−1/(x −1) и классифицировать их. Датьграфическую иллюстрацию в окрестности каждой точки разрыва.5. (6 баллов) Найти точки, в которых касательная к кривой y = ln x параллельна прямой y = x.6. (5 баллов) Найти интервалы возрастания, убывания, точки экстремума функции f (x) =p3(x2 − 1)2 . Построить график функции в окрестности полученных критических точек.Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 03.12.2020Заведующий кафедрой ФН-12(А.П. Крищенко)Московский государственный технический университет имени Н.Э.

БауманаЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 9 (20-42).Математический анализ1-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2020-21)1. (4 балла) Сформулируйте и докажите теорему о сумме конечного числа бесконечно малыхразных порядков. Приведите таблицу эквивалентных бесконечно малых функций.sin x sin x x−sinx.2. (5 баллов) Вычислить предел limx→0xx3 + x sin xx2 + x + 1√3. (5 баллов) Показать, что функции f (x) =являются бесконечноиg(x)=x+2x+ 3xбольшими при x → ∞. Для каждой функции указать порядок роста относительно функции h(x) = x.Сравнить функции f (x) и g(x) при x → ∞.24. (5 баллов) Найти точки разрыва функции f (x) = 21/(x −4) и классифицировать их.графическую иллюстрацию в окрестности каждой точки разрыва.Дать5. (6 баллов) Найти угол, под которым пересекаются параболы y = (x − 2)2 и y = −4 + 6x − x2 .6. (5√баллов) Найти асимптоты, интервалы возрастания, убывания, точки экстремума функции3f (x) = x3 − 6x2 .