Вариант 3 дифур (Дифференциальные уравнения (Кузнецов Л.А.))

u.ru5 _ 01_ 034 + y 2 dx − y dy = x 2 y dy− уравнение с разделяющимися переменными4 + y 2 dx = ( x 2 + 1) y dy1dx =x +1∫x2y4 + y2dyy1dx = ∫dy+14 + y2arctg x = 4 + y 2 + CСкачаносarctg x − 4 + y 2 = Cantigt2x+ y− уравнение, приводящиеся к однородномуx− yдифференциальному уравнениюy' =u.ru5 _ 02 _ 031+ y / x− однородное дифференциальное уравнение1− y / xy/ x = u ⇒ y' = u'x +uy' =1+ u1− udu1 + u2x=− уравнение с разделяющимися переменнымиdx1− u1− udxdu =2x1+ u11 2udx∫ (1 + u 2 − 2 ⋅ 1 + u 2 ) du = ∫ xln(1 + u 2 )= ln x + Carctg u −2y ln( x 2 + y 2 )=Carctg −x2Скачаносantigtu'x +u =u.ru5 _ 03 _ 033y − x − 4y' =3x + 3заменаСкачаносantigt⎧x = u −1⇒ y' = v'⎨⎩y = v +13(v + 1) − (u − 1) − 4 3v − uv' ==3(u − 1) + 33u3v / u − 1− однородное дифференциальное уравнениеv' =3v / u = t ⇒ v ' = t 'u + t3t − 1t 'u + t =3dt1u = − − уравнение с разделяющимися переменнымиdu3du∫ −3 dt = ∫ uC − 3t = ln uvln u + 3 ⋅ = Cuy −1ln( x + 1) + 3 ⋅=Cx +1y '+ y cos x =1sin 2 x − уравнение Бернулли2y (0) = 0y = uv ⇒ y ' = u ' v + uv 'u ' v + uv '+ uv cos x = sin x cos xv(u '+ u cos x) + uv ' = sin x cos xu.ru5 _ 04 _ 03antigt⎧ du⎧ du⎧u ' = −u cos x⎪ = −u cos x⎪ = − cos x dx⇒ ⎨ dx⇒⎨u⇒⎨⎩uv ' = sin x cos x ⎪uv ' = sin x cos x ⎪uv ' = sin x cos x⎩⎩⎧u = e − sin x⎧ln u = − sin x⇒⎨⇒⎨⇒⎩uv ' = sin x cos x ⎩uv ' = sin x cos x(1) ⎧u = e − sin x⎧⎪u = e − sin x⎪⇒ ⎨ − sin x⇒⎨sin xv ' = sin x cos x ⎪⎩v = e ( sin x − 1) + C⎪⎩e⎧ y = uv = sin x − 1 + Ce − sin x⇒ C =1⎨⎩ y (0) = 0y = sin x − 1 + e − sin x − решение задачи Коши(2)∫esin x(2)sin x cos xsin xexxv = esin x (sin x − 1) + Csincos=⇒e − sin xос(1) e − sin x v ' = sin x cos x ⇒ v ' =sin x cos x dx =t = sin xdu = cos x dt= ∫ et ⋅ t dt = v = etачан= et ⋅ t − ∫ et dt = et ( t − 1) + C = esin x (sin x − 1) + CСкdv = et dtu = t ;du = dt=u.ru5 _ 06 _ 032( xy '+ y ) = xy 2 , y (1) = 2.2 xy '+ 2 y = xy 22x2⋅ y '+ = x2yy−1y'y2−2 xz '+ 2 z = xz = uv ⇒ z ' = u ' v + uv '−2 xuv '− 2 xu ' v + 2uv = xu (−2 xv '+ 2v) − 2 xu ' v = xantigtz = 1/ y ⇒ z ' =dv (1)⎧⎧v = x⎧v = x⎧2v = 2 xv '⎧v = x⎪v = x ⋅⎪⎪⇒⎨⇒⎨dx ⇒ ⎨−1 ⇒ ⎨⎨− ln xu=+C⎩−2 xu ' v = x ⎪−2u ' v = 1 ⎩−2u ' x = 1 ⎪u ' =⎪2x⎩2⎩⎩− x ln xz = uv =+ Cx = 1/ y22⎧⎪y =2Cx − x ln x ⇒ C = 1/ 2⎨⎪⎩ y (1) = 222=x − x ln x x(1 − ln x)dvdv dxdvdx⇒=⇒∫=∫⇒ ln v = ln x ⇒ v = xvxvxdxСкачан(1) v = xосy=(3x 2 + 4 y 2 ) dx + (8 xy + e y ) dy = 0P ( x, y ) = 3 x 2 + 4 y 2 ⇒ Py' = 8 yQ( x, y ) = 8 xy + e y ⇒ Qx' = 8 yPy' = Qx' ⇒ это уравнение полных дифференциаловF ( x, y ) = ∫ P dx + ϕ ( y ) = x 3 + 4 xy 2 + ϕ ( y )Скачаносx3 + 4 xy 2 + e y = CantigtFx' = 8 xy + ϕ ' = Q ⇒ ϕ ' = e y ⇒ ϕ = e y + Cu.ru5 _ 07 _ 03u.ru5 _10 _ 032 xy ''' = y ''− дифференциальное уравнение высшего порядка,2 xp ' = pdpp=dx 2 xdp 1 dx=p 2 xln xln p =+ ln C2p = C x = y ''2 3/ 2Cx + C134y = ∫ y 'dx = Cx 5 / 2 + C1 x + C215Скачаносy ' = ∫ y ''dx =antigtдопускающее понижение степениy '' = p ⇒ y ''' = p 'u.ru5 _11_ 03p 2 / 2 = 32 / y 2 + C⎧ p 2 = 64 / y 2 + C⎧C = 0⎪⇒⎨⎨ p (0) = 2⎩y' = 8/ y⎪ y (0) = 4⎩dy 8=dx yy dy = 8dxy 2 = 16 x + C⎧ y 2 = 16 x + C⇒ C = 16⎨⎩ y (0) = 4antigty '' y 3 + 64 = 0, y (0) = 4, y '(0) = 2это дифференциальное уравнение высшего порядка , допускающее понижение степениdpy ' = p ⇒ y '' = pdydp −64= 3pdyydyp dp = −64 3yСкачаносy = 4 x +1u.ru5 _13 _ 03y '''− y ''− y '+ y = (3 x + 7)e 2 x − линейное неоднородное дифференциальное уравнениехарактеристическое уравнение(1)k 3 − k 2 − k + 1 = 0 ⇒ k1 = −1; k2,3 = 1общее решение линейного однородного дифференциального уравненияyобщ = C1e − x + e x (C2 + C3 x)yчас = e 2 x (ax + b)antigtчастное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения′ = e 2 x ⋅ 2(ax + b) + e 2 x ⋅ a = e 2 x (2ax + a + 2b)yчас′′ = e 2 x ⋅ 2(2ax + a + 2b) + e 2 x ⋅ 2a = 4e 2 x (ax + a + b)yчас′′′ = 4 ( e 2 x ⋅ 2(ax + a + b) + e 2 x ⋅ a ) = 4e 2 x ( 2ax + 3a + 2b )yчас′′′ − yчас′′ − yчас′ + y1 = (3 x + 7)e 2 xyчас4e 2 x ( 2ax + 3a + 2b ) − 4e 2 x (ax + a + b) − e 2 x (2ax + a + 2b) ++ e 2 x (ax + b) − (3 x + 7)e 2 x = 0e 2 x ( 8ax + 12a + 8b − 4ax − 4a − 4b − 2ax − a − 2b + ax + b − 3 x − 7 ) = 0e 2 x ( x ( 8a − 4a − 2a + a − 3) + 12a + 8b − 4a − 4b − a − 2b + b − 7 ) = 0ос⎧−7 + 7 a + 3b = 0⎧a = 1⇔⎨e 2 x ( x ( 3a − 3) + 7 a + 3b − 7 ) = 0 ⇒ ⎨⎩−3 + 3a = 0⎩b = 0yчас = xe 2 xy = yобщ + yчас = C1e − x + e x (C2 + C3 x) + xe2 x(1)анвозможные корни данного уравнения : k = ±1x = −1 − корень уравненияk3−k 2k+k−2k 2−k−2k−2 k3−k2k +1+1k − 2k + 122+1+1ачk+1kСк0y ''+ 2 y ' = −2e x (sin x + cos x)характеристическое уравнениеk 2 + 2k = 0 ⇔ k = 0; k = −2общее решениеyобщ = C1 + C2 e −2 xчастное решениеantigtyчас = e x (a sin x + b cos x)u.ru5 _14 _ 03′ = e x (a sin x + b cos x) + e x (a cos x − b sin x) =yчас= e x ((a − b) sin x + (a + b) cos x)′′ = e x ((a − b) sin x + (a + b) cos x) + e x ((a − b) cos x − (a + b) sin x) =yчас= 2e x (a cos x − b sin x)′′ + 2 yчас′ = −2e x (sin x + cos x)yчас2e x (a cos x − b sin x) + 2e x ((a − b) sin x + (a + b) cos x) + 2e x (sin x + cos x) = 02e x ( a cos x − b sin x + (a − b) sin x + (a + b) cos x + sin x + cos x ) = 0⎧ 2a + b + 1 = 0⇒2e x ( cos x ( a + a + b + 1) + sin x ( −b + a − b + 1) ) = 0 ⇒ ⎨⎩a − 2b + 1 = 0⎧ 2a + b + 1 = 0⎧ 2 a + b + 1 = 0 ⎧ a = −3 / 5−3e x sin x e x cos x⇒⎨⇒⎨⇒⎨⇒ yчас =+55⎩2a − 4b + 2 = 0 ⎩5b − 1 = 0⎩b = 1/ 5ос3e x sin x e x cos x+55Скачанy = yобщ + yчас = C1 + C2 e −2 x −y '''− y ' = 2e x + cos xk 3 − k = 0 ⇔ k = −1; k = 0; k = 1общее решениеyобщ = C1e − x + C2 + C3 e xчастное решениеyчас = axe x + b sin x + c cos xantigt′ = ae x + axe x + b cos x − c sin xyчасu.ru5 _15 _ 03′′ = ae x + ae x + axe x − b sin x − c cos x = 2ax + axe x − b sin x − c cos xyчас′′′ = 2ae x + ae x + axe x − b cos x + c sin x = 3ae x + axe x − b cos x + c sin xyчас′′′ − yчас′ = 2e x + cos xyчас3ae x + axe x − b cos x + c sin x − ( ae x + axe x + b cos x − c sin x ) − 2e x − cos x = 0⎧ 2a − 2 = 0⎧a = 1⎪⎪e ( 2a − 2 ) + cos x ( −1 − 2b ) + 2c sin x = 0 ⇒ ⎨−1 − 2b = 0 ⇒ ⎨b = −1/ 2⎪ 2c = 0⎪c = 0⎩⎩xyчас = xe x −sin x2sin x2Скачаносy = C1e − x + C2 + C3 e x + xe x −y ′′ + 4 y = 8ctg 2 x, y (π 4 ) = 5, y ′ (π 4 ) = 4.k 2 + 4 = 0 ⇒ k = ±2iyобщ = C1 sin 2 x + C2 cos 2 xчастное решение будем искать методом вариацииu.ru5 _16 _ 03 _1произвольных постонных.Пусть C1 = C1 ( x), C2 = C2 ( x)y1 = sin 2 x; y1′ = 2 cos 2 xy2 = cos 2 x; y2′ = −2sin 2 xantigtf = 8ctg 2 x⎧C1′ sin 2 x + C2′ cos 2 x = 0⎧C1′ ⋅ y1 + C2′ ⋅ y2 = 0⎪⇒⎨⎨cos 2 x ⇒⎩C1′ ⋅ y1′ + C2′ ⋅ y2′ = f⎪⎩ 2C1′ cos 2 x − 2C2′ sin 2 x = 8 sin 2 xy y2sin 2 xcos 2 x== −2sin 2 2 x − 2 cos 2 2 x = −2W = 1y1′ y2′2 cos 2 x −2sin 2 x− y2 ⋅ f − cos 2 x ⋅ 8ctg 2 xcos 2 2 x==4⇒ C1 = 2(cos 2 x − ln cos x + ln sin x) + C3WWsin 2 xy ⋅ f sin 2 x ⋅ 8ctg 2 xC2′ = 1== −4 cos 2 x ⇒ C2 = −2sin 2 x + C4WWy = ( 2(cos 2 x − ln cos x + ln sin x) + C3 ) sin 2 x + ( −2sin 2 x + C4 ) cos 2 xC1′ =ос11⎛⎞y ' = ⎜ 2 ( ( − sin 2 x ) ⋅ 2 ) −⋅ ( − sin x ) +⋅ cos x ⎟ sin 2 x +cos xsin x⎝⎠+ ( 2 ( cos 2 x − ln cos x + ln sin x ) + C3 ) ⋅ cos 2 x ⋅ 2 + ( −2 cos 2 x ⋅ 2 ) cos 2 x ++ ( −2sin 2 x + C4 ) ⋅ ( − sin 2 x ) ⋅ 2ππ⎧⎧C3 = 5⎧ y (π / 4) = 5⎪2(− ln cos 4 + ln sin 4 ) + C3 = 5⇒⎨⇒⎨⎨⎩ y '(π / 4) = 4 ⎪ 2 ( ( −1) ⋅ 2 ) + 1 + 1 + ( −2 + C ) ⋅ ( −1) ⋅ 2 = 4 ⎩C4 = 04⎩y = (2 ln tg x + 5) sin 2 x)Скачан(u.ru5 _16 _ 03 _ 2проверкаy (π / 4) = (2 ln tg (π / 4 ) + 5) sin (π / 2 ) = (2 ln1 + 5) ⋅ 1 = 5⎛ 11 ⎞y' = ⎜2⋅⎟ sin 2 x + ( 2 ln tg x + 5 ) ⋅ cos 2 x ⋅ 2 =2⎝ tg x cos x ⎠1⎛⎞= ⎜2⎟ ⋅ 2sin x cos x + 2 ( 2 ln tg x + 5 ) ⋅ cos 2 x = 4 + 2 ( 2 ln tg x + 5 ) ⋅ cos 2 x⎝ sin x cos x ⎠antigty ' (π / 4 ) = 4 + 2 ( 2 ln tg (π / 4 ) + 5 ) ⋅ cos (π / 2 ) = 4 + 2 ( 2 ln tg (π / 4 ) + 5 ) ⋅ 0 = 4Скачанос⎛11 ⎞cos 2 xy '' = 2 ⎜ 2 ⋅⋅− 4 ( 2 ln tg x + 5 ) ⋅ sin 2 x⎟ cos 2 x + 2 ( 2 ln tg x + 5 ) ⋅ ( − sin 2 x ) ⋅ 2 = 42sin x cos x⎝ tg x cos x ⎠cos 2 xcos 2 xy ′′ + 4 y = 4− 4 ( 2 ln tg x + 5 ) ⋅ sin 2 x + 4(2 ln tg x + 5) sin 2 x = 4=sin x cos xsin x cos xcos 2 xcos 2 x=8=8= 8ctg 2 x2sin x cos xsin 2 x.