А.Е. Тарасов - Конспект по спецразделам физики для РТФ, страница 21

Он теоретически вычислилотношение массы протона к массе электрона, что находилось всоответствии с экспериментом, является важным подтверждением основных идей,содержащихся в его теории. Теория Бора сыграла огромную роль в создании атомнойфизики. В период ее развития (1913–1925) были сделаны важные открытия, навсегдавошедшие в сокровищницу мировой науки.Однако, наряду с успехами, в теории Бора с самого начала обнаружилисьсущественные недостатки. Главнейшим из них была внутренняя противоречивостьтеории: механическое соединение классической физики с квантовыми постулатами.Теория не могла объяснить вопрос об интенсивностях спектральных линий. Серьезнойнеудачей являлась абсолютная невозможность применить теорию для объясненияспектров атома гелия, содержащего два электрона на орбите и тем более длямногоэлектронных атомов (рис. 3.3.14).Рис.

3.3.14Стало ясно, что теория Бора является лишь переходным этапом на пути созданияболее общей и правильной теории. Такой теорией и явилась квантовая механика.3.3.13. Квантово-механическая картина строения атома133Мы обсудили ограниченность боровской теории строения атома. Рассмотрим теперьквантово-механическую теорию атомов, гораздо более полную, чем старая теория Бора.Она сохраняет некоторые аспекты старой теории.

Например, электроны могут находитьсяв атоме только в дискретных состояниях с определенной энергией; при переходеэлектрона из одного состояния в другое испускается (или поглощается) фотон. Ноквантовая механика – не просто обобщение теории Бора. Она представляет собойгораздо более глубокую теорию и рисует совершенно иную картину строения атома.Согласно квантовой механике, не существует определенных круговых орбитэлектронов, как в теории Бора. В силу волновой природы электрон «размазан» впространстве, подобно «облаку» отрицательного заряда.(3.3.46)где Ψ(r) – волновая функция положения, зависящая от расстояния r до центра.Постоянная r1 совпадает с радиусом первой боровской орбиты. Следовательно,электронное облако в основном состоянии водорода сферически-симметрично, какпоказано на рис.

3.3.15.Рис. 3.3.15. Электронное облакоЭлектронное облако грубо характеризует размеры атома, но поскольку облако можетне иметь четко выраженных границ, атомы также не имеют ни точной границы, ниопределенного размера.Как мы увидим в дальнейшем, не все электронные облака сферически-симметричны.Обратите внимание на то, что, хотя функция Ψ(r) при больших радиусах r, как следует изприведенного выше выражения, сильно убывает, она не обращается в нуль на конечныхрасстояниях. Поэтому квантовая механика утверждает, что основная часть атома непредставляет собой пустое пространство. Т.к.только при, мызаключаем, что и во Вселенной не существует в подлинном смысле пустогопространства.Электронное облако можно интерпретировать как с корпускулярной, так и с волновойточки зрения.

Напомним, что под частицей мы понимаем нечто локализованное впространстве: в любой момент времени частица занимает вполне определенноеположение в пространстве. Следовательно, размытое в пространстве облако являетсярезультатом волновой природы электронов. Электронное облако можно такжеинтерпретировать как распределение вероятностей для данной частицы. Мы не можем134предсказать траектории, по которой будет двигаться электрон. После измерения егоположения точно предсказать, где будет находиться электрон в последующие моментывремени, невозможно. Мы можем лишь вычислить вероятность обнаружения электрона вразличных точках.

Ясно, что подобная ситуация в корне отличается от классическойньютоновской физики. Как отмечал впоследствии Бор, бессмысленно даже спрашивать,как при испускании атомом светового фотона, электрон переходит из одного состояния вдругое.Решение задачи об энергетических уровнях электрона для водорода (а такжеводородных систем: атома гелия He+, лития Li2+ и др.) сводится к задаче о движенииэлектрона в кулоновском поле ядра.Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze(для атома водорода Z = 1):(3.3.47),где r – расстояние между электроном и ядром.

Графически функция U(r) изображается нарис. 3.3.16 жирной кривой. U(r) с уменьшением r (при приближении электрона к ядру)неограниченно убывает.Рис. 3.3.16Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией Ψ,удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающему значения(3.3.47):(3.3.48),где m – масса электрона, E – полная энергия электрона в атоме.Рассмотрим энергию электрона. В теории дифференциальных уравненийдоказывается, что уравнения типа (3.3.48) имеют решение, удовлетворяющееоднозначности, конечности и непрерывности волновой функции Ψ только присобственных значениях энергии135(3.3.49),где n = 1, 2, 3,…. Т.е. имеет дискретный набор отрицательных значений энергии.Таким образом, как и в случае потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками,решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретныхэнергетических уровней. Возможные значения E1, E2, E3,… показаны на рис.

3.3.16 в видегоризонтальных полос. Самый низкий уровень E1, отвечающий минимальной возможнойэнергии, – основной (n=1), все остальные(n = 2, 3, 4,…) – возбужденные. Придвижение электрона является связанным – он находится внутри гиперболическойпотенциальной ямы. Из рис.

3.3.16 следует, что по мере роста главного квантового числа nэнергетические уровни располагаются теснее и при.При E > 0 движение электрона становится свободным, т.е. область E > 0соответствует ионизированному атому.Итак, если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то вквантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории,вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.3.3.14.

Квантовые числа. Электронный газ в металле. УровеньФермиВ квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера удовлетворяютсобственные функции, определяемые набором трёх квантовых чисел: главного n,орбитального l и магнитного m.Главное квантовое числоn характеризует расстояние электрона от ядра – радиусорбиты.Согласно (3.3.49) n определяет энергетические уровни электрона в атоме и можетпринимать любые целочисленные значения, начиная с единицы.В атомной физике состояния электрона, соответствующие главному квантовому числуn, (n = 1, 2, 3, 4,…) принято обозначать буквами K, L, M, N,….n1K2L3M4NОрбитальное квантовое число l = 0, 1, 2, ...

n–1 характеризует эллиптичностьорбиты электрона (рис. 3.3.17) и определяет момент импульса электрона.В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера удовлетворяютсобственные функции, определяемые набором трёх квантовых чисел: главного n,орбитального l и магнитного m.136Главное квантовое числоn характеризует расстояние электрона от ядра – радиусорбиты.Согласно (3.3.49) n определяет энергетические уровни электрона в атоме и можетпринимать любые целочисленные значения, начиная с единицы.В атомной физике состояния электрона, соответствующие главному квантовому числуn, (n = 1, 2, 3, 4,…) принято обозначать буквами K, L, M, N,….n1K2L3M4NОрбитальное квантовое число l = 0, 1, 2, ...

n–1 характеризует эллиптичностьорбиты электрона (рис. 3.3.17) и определяет момент импульса электрона.Рис. 3.3.17Квадрат модуля функциихарактеризует вероятность найти электрон в заданнойточке. Область пространства, в которой высока вероятность обнаружить электрон (неменее 0,95), называют орбиталью. Основные типы орбиталей обозначают буквами s, p, d,f , … (от слов sharp, principal, diffuse, fundamental).l0s1p2d3fДва типа орбиталей s (она одна), p (их три), по которым «размазан» электронныйзаряд, показаны на рис. 3.3.18.137Рис. 3.3.18.

ОрбиталиОрбитали часто называют подоболочками оболочек, поскольку они характеризуютформы разных орбит, на которых можно обнаружить электроны, находящиеся в однойоболочке (при заданном квантовом числе n).Решая последовательно задачу об электроне в прямоугольной потенциальной яме, мыдоказали, что энергия и положение электрона квантуются, т.е. принимают дискретныезначения.Решая уравнения Шредингера для атома, можно получить выражения для энергии,момента импульса и других динамических переменных электрона без привлечения какихлибо постулатов.Рассмотрим (без вывода) движение электрона в потенциальном поле.Обратимся вновь к стационарному уравнению Шредингера:(3.3.50).Так как электрическое поле – центрально-симметрично, то для решения этогоуравнения воспользуемся сферической системой с координатами (r, θ, φ), которыесвязаны с декартовыми координатами, как это следует из рис.

3.3.19, соотношениями:;;.138Рис. 3.3.19Подставим в (3.3.50) выражение оператора Лапласа в сферических координатах иполучим уравнение Шредингера в следующем виде:(3.3.51).Уравнение (3.3.51) имеет решение при всех значениях полной энергии E > 0, чтосоответствует свободному электрону. При Е < 0 электрон находится в потенциальномполе ядра:(3.3.52).Таким образом, энергия принимает дискретные значения, т.е. квантуется (n = 1, 2,3…).Вывод такой же, как и в теории Бора, но в квантовой механике этот вывод получаетсякак естественное следствие из уравнения Шредингера.В квантовой механике широко используется понятие – оператор. Под операторомпонимают правило, посредством которого одной функции φ сопоставляется другаяфункция f, т е., где– символ обозначения оператора.Используя оператор энергии, стационарное уравнение Шредингера можно записать ввиде:.Это традиционный вид записи уравнения Шредингера, здесь(3.3.53)–оператор энергии – гальмитониан.Воздействуя на волновую функцию Ψ, полученную при решении уравнения (7.2.2)оператором момента импульса (движение электрона вокруг ядра осуществляется покриволинейной траектории), можно получить выражение для момента импульса.139Для момента импульса в квантовой механике вводятся четыре оператора: операторквадрата момента импульсакоординати три оператора проекций момента импульса на оси.Оказалось, что одновременно определенные значения могут иметь лишь квадратмомента импульса и одна из проекций на координатные оси.

Две другие проекцииоказываются при этом совершенно неопределенными. Это означает, что «вектор» моментаимпульса не имеет определенного направления, и следовательно не может бытьизображен, как в классической механике с помощью направленного отрезка, прямой.Решение уравненияконечным результатом.является очень трудным. Поэтому ограничимся толькоСобственное значение орбитального момента импульса L:(3.3.54),гдеl – орбитальное квантовое число(l = 0, 1, 2, …, n – 1).Если обратиться к привычной нам модели атома, то n характеризует среднеерасстояние электрона от ядра (радиус орбиты), l–эллиптичность орбиты.Из выражения для L видно, что орбитальный момент импульса электрона в атометоже квантуется.Основным состоянием электрона в атоме водорода является s-состояние.

Есливычислить наиболее вероятное расстояние от ядра для электрона в s-состоянии, получим:– это первый боровский радиус (в СИ).Для других значений n получим выражения, соответствующие боровским орбитам.Боровские орбиты электрона представляют собой геометрическое место точек, вкоторых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон.По теории Бора, вероятность нахождения электрона при любых других значениях r,кроме r = , равна нулю (рис. 3.3.20).140Рис.

3.3.20. Вероятность нахождения электронаСогласно квантовой механике эта вероятность достигает максимального значениялишь при r = . Допускается нахождение электрона и на других расстояниях от ядра, но сменьшей вероятностью.141.