Отзыв_официального_опонента_Пестерев_А.В (Решение терминальных задач для аффинных систем при наличии ограничений)

отзыв официального оппонента доктора физико-математических наук Пестерева Александра Витальевича на диссертационнукз работу Касаткиной 1атьяны Сергеевны «Решение терминальных задач для аффинных систем при наличии ограничений», представленную на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации ~информатика, машиностроение) Диссертация Касаткиной Т.С. посвящена разработке новых методов учета ограничений на состояния и управление в задачах терминального управления для аффинных систем, а также решению терминальной задачи для аффинной системы, описывающей процессы в резервуаре порционного химического реактора. В работе изложен подход к решению терминальных задач для аффинных систем общего вида, основанный на переформулировании терминальной задачи для эквивалентной системы канонического вида.

Актуальность работы определяется тем, что задачи терминального управления для нелинейных аффинных систем при наличии ограничений возникают во многих приложениях. Большое число публикаций в этой области по- священо решению терминальных задач методами оптимального управления, которые приводят к разрывным решениям. Полученные в работе методы позволяют расширить класс управлений, являющихся решением терминальных задач для нелинейных аффинных систем.

В частности, представленные в работе подходы позволяют получать управления в классе непрерывных функций. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и выводов. Во введении раскрыта актуальность темы, сформулированы цель работы и решаемые задачи, описаны полученные в работе новые результаты. В первой главе изложены использованные в работе сведения из дифференциальной геометрии и математической теории управления.

Даны определения векторного поля, производной функции вдоль векторного поля и распределения, порожденного семейством векторных полей. Представлены определения стационарных и нестационарных аффинных систем и аффинных систем канонического вида. Приведены формулировки теорем о преобразовании аффинных систем к каноническому виду в терминах векторных полей. Во второй главе рассмотрено преобразование аффинных систем к специальной форме — каноническому виду с помощью масштабирования времени (замены независимой переменной). Приведен обзор использования техники замен независимой переменной в различных областях теории управления.

Выделены два типа замен: интегрируемые и неинтегрируемые замены независимой переменной. Показано, что эти замены обладают разными свойствами, Доказана теорема о влиянии интегрируемой замены независимой переменной на ранг матрицы управляемости и невозможности преобразования аффинных систем к каноническому виду с использованием замен этого типа. Исследовано преобразование аффинных систем третьего порядка со скалярным управлением к каноническому виду с использованием орбитальной линеаризации.

Описан подход к решению терминальных задач для аффинных систем общего вида с использованием замен переменных состояния и независимой переменной. Указаны эквивалентные формулировки терминальной задачи в случаях, когда система преобра- зуется к каноническому виду с использованием замены переменных состояния и когда для приведения системы каноническому виду требуется группа замен, состоящая из замены независимой переменной и последующей замены перемен- ных состояния.

В третьей главе представлены методы решения задач терминального управления для аффинных систем канонического вида со скалярным управлением при наличии ограничений на состояния. Для решения терминальных задач с фиксированным временем предложены методы независимых и последовательных вариаций, суть которых заключается в добавлении к функции, описывающей решение терминальной задачи при отсутствии ограничений, некоторых функций, умноженных на параметр.

Данная техника расширена на терминальные задачи со свободным временем для аффинных систем второго порядка. При этом использована зависящая от одной из фазовых координат функция, определяющая решение терминальной задачи при отсутствии ограничений. Использование методов независимых и последовательных вариаций в задачах с фиксированным временем и метода независимых вариаций в задачах со свободным временем проиллюстрировано на примере решения терминальных задач для аффинной системы, описывающей колебания однозвенного маятника. Представлены результаты численного решения терминальных задач с разными типами граничных условий и ограничений. В четвертой главе на основе полученных результатов о преобразовании аффинных систем к каноническому виду решена зада ьа терминального управ- ления для аффинной системы третьего порядка со скалярным управлением, описывающей процессы в химическом реакторе.

Описаны два подхода к решению задачи терминального управления, основанные на интегрируемой и неинтегрируемой заменах независимой переменной, которые преобразуют систему к двум различным системам канонического вида. Для каждой из построенных систем канонического вида получено решение терминальной задачи при отсутствии ограничений. В случае использования неинтегрируемой замены независимой переменной построена проекция области достижимости на фазовую плоскость начального состояния системы.

При решении задачи учтены возникающие в ходе преобразования к каноническому виду ограничения с помощью разработанного метода вариаций. Представлены результаты численного решения терминальных задач с использованием обоих типов замен независимой переменной. С помощью подхода„основанного на выполнении неинтегрируемой замены независимой переменной, получены решения терминальной задачи, удовлетворяющие на рассматриваемом множестве траекторий определенным критериям оптимальности, в качестве которых рассматривались наименьшее время движения из начального положения в конечное, наименьшее изменение температуры и наименьшее из- менение управления.

Текст диссертации иллюстрирован рисунками и графиками, содержащими подробные описания и наглядные обозначения. Новизна полученных в работе результатов заключается в следующем. 1. Исследованы свойства интегрируемых и неинтегрируемых замен независимой переменной и их влияние на внутреннюю структуру аффинной системы. Получена техника преобразования аффинных систем третьего порядка со скалярным управлением к регулярному каноническому виду.

2. Разработаны методы независимых и последовательных вариаций решения задач терминального управления для аффинных систем канонического вида со скалярным управлением, которые могут быть использованы при реше- нии задач планирования траектории и следования вдоль заданного пути.

3. С использованием полученных свойств замен независимой переменной и метода вариаций решена задача терминального управления процесса- ми в резервуаре химического реактора. Достоверность полученных в диссертации результатов не вызывает сомнений, так как обоснована корректностью исходных предпосылок, строгими доказательсгвами утверждений, а также результатами расчетов. Практическая значимость диссертационной работы состоит в том„что предложенные подходы к решению терминальных задач доведены до конструктивных методов, которые позволяют решать широкий класс задач терминального управления при наличии ограничений на состояния и управление.

Автореферат полностью отражает содержание диссертации, а публикации соответствуют ее теме. Полученные результаты могут быть применены специалистами по теории управления в таких научно-исследовательских и учебных институтах как Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Институт системного анализа РАН, Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН. Московский авиационный институт. Замечания по работе: 1.

На взгляд оппонента, первую главу диссертации можно было бы сократить, убрав из нее определения некоторых достаточно широко известных математических понятий, таких как, например, гладкое многообразие, производная по направлению, касательный вектор и т.п. Кроме того, некоторые из этих определений (например, определения касательного вектора, производной функции вдоль векторного поля и распределения векторных полей) сформулированы несколько небрежно или не всегда точно. 2.

Представляется излишним формулировать некоторые известные результаты сначала для общего„а потом для частного случаев. Например, каноническое представление аффинной системы вводится сначала для нестационарной системы (формула (1.8)), затем для стационарной (формула (1.9), получающаяся из первой простым вычеркиванием времени в аргументах функций) и, наконец, для частного случая скалярного управления (формула (1.10)). Аналогично, кажется излишним приведение теорем 1.2 и 1.4 после более общих теорем 1.1 и 1.3 соответственно. 3.

В разделе 2.2 следует заменить условие неравенства нулю функции Ь(х) условием ее положительности, так как обратная к ней функция ю(х) предполагается далее строго положительной. 4. Использование обозначений С,,~, Сл и Т для обозначения переменных состояния вместо иксов в Главе 4, по мнению оппонента, не удачно, так как делает изложение более громоздким и затрудняет отсылки к результатам, изложенным в предыду.щих разделах в стандартных обозначениях. Указанные замечания не менякзт общую положительную оценку диссертационной работы.