Отзыв_официального_опонента_Бортаковский_А.С. (Решение терминальных задач для аффинных систем при наличии ограничений)

отзыв официального оппонента доктора физико-математических наук, доцента Борта- ковского Александра Сергеевича на диссертацию Касаткиной Татьяны Сергеевны «Решение терминальных задач для аффинных систем при наличии ограничений», представленную на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации 1информатика, машиностроение) Актуальность темы диссертационного исследования. Теория управления является одной из самых востребованных практикой областей математики. В диссертации исследуются задачи синтеза терминального управления динамическими системами. Цель управления состоит в достижении требуемого конечного состояния.

Рассматриваются системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями аффинными по управлению. Такие модели применяются в прикладных исследованиях по управлению техническими системами, технологическими процессами в химической промышленности, в экологии и биологии. Характерным примером является задача управления периодическими процессами в химическом реакторе, которая решена в диссертации.

Задачи терминального управления востребованы в машиностроении, а также в авиационной и космической технике. Это объясняется тем, что применяемые для управления летательными аппаратами воздействия, обычно входят в уравнения движения линейно, например, тяга реактивных двигателей. В прикладных задачах траектории движения и управления, как правило, ограничены.

Поэтому существующие методы решения терминальных задач без ограничений могут оказаться неприемлемыми для практического применения, Универсального метода, учитывающего разные типы ограничений для произвольных динамических систем, не существует. Поэтому важны исследования специальных классов систем, в которых такой учет возможен. Именно такое исследование представлено в диссертации. Разработанные методы выполнения ограничений для аффинных систем отвечают потребностям практики. Степень обоснованности научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации. Обоснованность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, подтверждается: их сопоставлением с классическими результатами теории управления; публикациями основных положений диссертационного исследования в 6 статьях в рецензируемых научных изданиях, из перечня журналов, рекомендуемых ВАК для публикации материалов по диссертациям.

Научная новизна результатов исследования. 1. Исследована проблема линеаризации аффинных систем при помощи замены независимой переменной. Выделены два типа замен — интегрируемые и неинтегрируемые, приводящие к системам с разными качественными характеристиками. Показано, что выполнение интегрируемых замен преобразовывает систему к виду, не допускающему линеаризацию с помощью обратной связи. Напротив, неинтегрируемые за- мены позволяют привести аффинную систему к каноническому виду. Разработана методика линеаризации аффинных систем третьего порядка со скалярным управлением, при помощи замены независимой переменной и переменных состояния.

На основе полученных результатов„относящихся к замене независимой переменной в аффинных системах со скалярным управлением, предложен подход к решению задач терминального управления для систем общего вида. Доказательство теоремы 1.2 о падении ранга матрицы управляемости показывает высокую квалификацию автора в теории управления, дифференциальных уравнениях, дифференциальной геометрии, алгебре и анализе. 2. Для канонических систем получено решение задач построения непрерывного программного терминального управления с фиксированными граничными значениями, переводящего систему из заданного начального состояния в заданное конечное.

Предложена двухэтапная процедура решения. На первом этапе строится терминальное управление без учета ограничений на состояние. Показано, что построение такой "опорной" траектории сводится к задаче поиска скалярной функции, удовлетворяющей вместе со своими производными определенным граничным условиям. На втором этапе учитываются ограничения на состояние. Для этого разработаны две модификации метода локальных вариаций, а именно: метод независимых вариаций и метод последовательных вариаций.

Обосновано применение этих методов для решения задач с фиксированным и свободным временем окончания. Работоспособность методов продемонстрирована на задаче терминального управления колебаниями маятника. Получены численные решения при различных граничных условиях на состояние и управление. Процедура решения хорошо продумана, методы вариаций детально обоснованы. Видно понимание автора особенностей приближенного решения, уверенное владения численными методами. 3. Решена прикладная задача терминального управления периодическими процессами химического реактора. Применяя интегрируемую замену независимой переменной, обеспечивается существование решения терминальной задачи. Масштабируемая функция находится методом орбитальной линеаризации„а ее параметры выбираются с учетом ограничений на состояние.

При использовании неинтегрируемой замены исходная система преобразуется к стационарной канонической системе третьего порядка. Этот способ позволяет получить параметрическое семейство решений терминальной задачи, из которого можно выбрать решение, удовлетворяющее дополнительным условиям. Достоверность результатов исследования подтверждается использованием в качестве теоретической и методической базы трудов ведущих отечественных и зарубежных ученых в области теории управления, дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений; строгими доказательствами теорем; обоснованными выводами уравнений; сравнением с известными ранее теоретическими результатами. Практическая значимость Работы заключается в том, что полученные результаты можно использовать при решении широкого круга задач, возни- кающих при моделировании химических, биологических, экологических процессов, механических, робототехнических систем, авиационной и космической техники, машин и механизмов.

Теоретические результаты можно использовать при обучении бакалавров и специалистов математических и естественнонаучных направлений и специальностей. Замечания по диссертационной работе. Наряду с достоинствами диссертационная работа имеет недостатки. 1. В исследуемых терминальных задачах не учитываются геометрические ограничения на управление на всем промежутке времени, Такие ограничения всегда присутствуют в прикладных задачах. Отсутствие ограничений на управление существенно сужает область применимости разрабатываемых методов. Наоборот, двухточечные ограничения на значения управления в начальный и конечный моменты времени, которые учитываются в работе, не имеют практического значения. Было бы полезно сформулировать рекомендации для учета геометрических ограничений на управление в общем случае, тем более что в задаче с химическим реактором (в разд.4) они учитываются.

2. Предлагаемое представление (3.10) траектории в виде многочлена высокой степени (2п+1) не является единственным и наилучшим. Высокая степень приводит, как правило, к большой вариации (большому полному изменению) управления и его высокочастотным колебаниям (см. например, график изменения управляющего момента на рис.3.3. при стабилизации маятника). Наверное, нужно было описать другие возможные представления, использование сплайнов или тригонометрических функций. 3. В предлагаемых методах независимых или последовательных вариаций изменение траектории происходит на каждом локальном промежутке, где нарушены ограничения.

Такой подход не всегда оправдан. Например, "плохие" промежутки могут "сгущаться" — быть малыми и близкими. Выправление траектории на каждом из них будет менее эффективно, чем изменение траектории на одном "большом" промежутке, охватывающем несколько маленьких. При этом возникновение "высокочастотных" колебаний управления будет маловероятным. 4. Нет описания круга задач, в которых процедура метода последовательных вариаций конечна. Не доказана сходимость этого метода в случае бесконечного числа шагов. 5, Основные результаты работы (теорема 2.2, разд.4.4), связанные с неинтегрируемой заменой, относятся к аффинной системе третьего порядка со скалярным управлением, Целесообразно обобщение этих результатов на другие аффинные системы с векторным управлением.

6. Раздел 1, не содержащий новых результатов автора, можно было бы исключить. Указанные замечания не снижают ценности диссертации. В диссертации представлено высококвалифицированное математическое исследование, выполненное на актуальную тему. Обширный теоретический материал хорошо проработан, снабжен иллюстрирующими примерами.

Решена важная приклад- ная задача управления химическим реактором, =- Бортакоаскнй Александр Сергеевич Официальный оппонент, доктор физ.-мат. наук, доцент, профессор кафедры "Математическая кибернетика" федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» 125993, Москва, Волоколамское шоссе, д.4 8-(499)-158-49-11 йер805.ги Подпись Бортаковского А.С. заверяю Декан факультета "Прикладная математика и физика" д( ' .С.С, Крылов Соответствие диссертации требованиям ВАК РФ.

Автореферат и научные публикации автора отражают содержание диссертации. Диссертационная работа в целом является логичным, законченным, самостоятельным исследованием, имеющим научную новизну, теоретическую и практическую значимость. Выводы и рекомендации достаточно обоснованы. Работа удовлетворяет всем требованиям ВАК РФ, предъявляемым к кандидатским диссертациям, а ее автор Касаткина Т.С.

заслуживает присуждения ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (информатика, машиностроение). .