Построение инвариантов для полупрямых сумм алгебр Ли, страница 3

Äåéñòâèå ha, ui òåïåðü áóäåòçàïèñûâàòüñÿ â âèäå uiζ aiζ . Ñîîòâåòñòâåííî â ôîðìóëå äëÿ A(u, v) (29) ïîëó÷èìhA(u, a), ξi = ξij uiζ ajζ = hξ, uiζ ajζ i.(40)Äàëåå íóæíî îïèñàòü ïðîåêöèþ ïîñëåäíåé ìàòðèöû íà G, íî ïîñêîëüêóïðèâåäåííûå âûøå âûêëàäêè ñïðàâåäëèâû äëÿ êàæäîãî ñëàãàåìîãî â ñóììå ïî ζ , òî îíè ñïðàâåäëèâû è äëÿ âñåé ñóììû â öåëîì.ßñíî, ÷òî åñëè ðàññìîòðåòü ìàòðèöóM(X,a),k1i1iΛ ai1Λ aik... . .

. ...  XniniΛ ai1Λ aik =a11 an1. . . . . . . . .0a1k ank(41)äëÿ íåå áóäóò ñïðàâåäëèâû òå æå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî è äëÿ ìàòðèöû M(X,a) , àèìåííî, ñóììû åå äèàãîíàëüíûõ ìèíîðîâ, ñîäåðæàùèõ ïîñëåäíèå k ñòîëáöîâ áóäóò èíâàðèàíòàìè.Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ èíâàðèàíòîâRk :Òåîðåìà 8. Èíâàðèàíòàìè ãðóïïû Rk ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíàdet(M − λE) − (−1)k λk det(X − λE)(42)Îòêàçàòüñÿ îò óñëîâèÿ íà ôîðìó Λ íå óäàåòñÿ. Åñëè ãðóïïà G ñîõðàíÿåòïðîèçâîëüíóþ áèëèíåéíóþ ôîðìó Λ íà V , òî îíà ñîõðàíÿåò îäíîâðåìåííîåå ñèììåòðè÷íóþ ÷àñòü è êîñîñèììåòðè÷íóþ ÷àñòè, ïîñêîëüêó îíè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç Λ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî èíòåðåñóþùàÿ íàñ ãðóïïà ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì äâóõ ãðóïï è ïðîåêöèÿ íà åå àëãåáðó óñòðîåíà, âîîáùå ãîâîðÿ,áîëåå ñëîæíî.Ìîæíî çàïèñàòü ýòè æå èíâàðèàíòû â âèäå ìíîãî÷ëåíà îò ìàòðèöû X :Ik =Xii(−1)σ ai0 Λiσ(0)α aα Xi1σ(1) . .

. Xikσ(k)(43)σÇäåñü ñóììà áåðåòñÿ ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì âåðõíèõ èíäåêñîâ ñ ó÷åòîì èõçíàêà, ïî êàæäîìó èíäåêñó ik ïðåäïîëàãàåòñÿ ñóììèðîâàíèå. Òàêàÿ ôîðìàçàïèñè óäîáíà, íàïðèìåð, åñëè íóæíî çàïèñàòü ñäâèãè èíâàðèàíòîâ.gl(n) +ϕ Rnso(n) +ϕk (Rn )knso(n − k) ïðè k ≤ n0 ïðè k > n0k(k+1)ïðè k ≤ n2n(n−1)− 2 , åñëè k >sp(n) +ϕkngl(n − 1) +ϕ Rn−10R2n20n(n − k + 1) ïðè k ≤ n0 ïðè k > n0 ïðè k ≤ nkn − n2 ïðè k > ngl(n − k) +ϕk (Rn−k )k ïðè k < n0 ïðè k ≥ n0 ïðè k ≤ nkn − n2 ïðè k > ngl(n) +ϕk (Rn )ksp(n) +ϕ2k−1sp(n − k) + h2(n−k) ïðè k < nR ïðè k = n0 ïðè k > n(k − 1)(2k − 1) ïðè k ≤ n4kn − 2n2 − 3n ïðè k > n(R2n )2k−1(n − k) ïðè k < n0 ïðè k ≥ nsp(n − k) ïðè k < n0 ïðè k ≥ nk(2k − 1) ïðè k < n4kn − n(2n + 1) ïðè k ≥ nsp(n) +ϕ2k (R2n )2kâû÷èñëÿåòñÿ ïî èíäóêöèèsl(n − k) +ϕ Rn−k ïðè k < n0 ïðè k ≥ n0, ïðè k < nkn − n2 + 1, ïðè k ≥ nïðè k ≤ n0 ïðè k > n£ n−k ¤21ind Ha£ n−1 ¤sl(n) +ϕk (Rn )ksp(n − 1) + h2 msl(n − 1) +ϕ Rn−10sl(n) +ϕso(n − 1)1RnHaso(n) +ϕind ϕ∗RnÀëãåáðà R+ 2 , ïðè k ≤ nkn, ïðè k > n0£ n−k ¤kr − r2 , ãäår = nmodk2k 2 − 4k + n + 1 ïðè k ≤ n4kn − 2n − n(2n + 1) ïðè k > n2k 2 − 2k + n ïðè k < n4kn − 2n2 − n ïðè k ≥ nkr − r2 + 1, ãäår = nmodkk(k+1)2n1ind R£¤1 + n−12Äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè íàéäåííûå íàìè íàáîðû ïîëíûìè, íóæíî çíàòü èíäåêñû ñîîòâåòñòâóþùèõ àëãåáð Ëè.

Ýòî ëåãêî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ðàèñà. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ, ðàññìîòðåííûõ íèæå, âû÷èñëåíèåàííóëÿòîðà ðåãóëÿðíîãî ýëåìåíòà íå ïðåäñòàâëÿåò áîëüøîé ñëîæíîñòè, ïîýòîìó òåîðåìà Ðàèñà äàåò îòâåò.6 Èíäåêñû íåêîòîðûõ àëãåáð Ëè7 Èíâàðèàíòû êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ7.1 Àëãåáðà so(n) +ϕk (Rn )kÏîñìîòðèì, êàêîé ðåçóëüòàò äàåò ôîðìóëà, ïîëó÷åííàÿ â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå.

Èíâàðèàíòû äëÿ ýòèõ àëãåáð ýòîãî âèäà áûëè îïèñàíû â ðàáîòå [6].Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïîëîâèíà èç èíâàðèàíòîâ, ïîëó÷åííûõ â ïðåäûäóùåìðàçäåëå äëÿ àëãåáðû so(n) + Rn ðàâíû íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, ìàòðèöà Mêîñîñèììåòðè÷íà:M( X, a) = Xa1 . . . an−ai..

. ,−an 0(44)à êîýôôèöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ïðè λk ðàâíû íóëþ, åñëè(n − k) íå÷åòíî. Êðîìå òîãî ÿñíî, ÷òî âñå ìèíîðû ðàçìåðà ìåíüøå 2k ,ñîäåðæàùèå ïîñëåäíèå k ñòðîê ðàâíû 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ïîëó÷àåì£ n−k ¤èíâàðèàíòîâ. Äîáàâëÿÿ ê íèì òðèâèàëüíûå èíâàðèàíòû ïîïàðíûå2£¤ k(k+1)ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ ai ïîëó÷àåì íàáîð èç n−k+ 2 èíâàðèàíòîâ,2÷òî ðàâíî èíäåêñó àëãåáðû.Ðàññìîòðèì êîììóòàòèâíûå íàáîðû, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èçýòèõ èíâàðèàíòîâ. Âûïèøåì íåñêîëüêî èíâàðèàíòîâ so(n) +ϕ Rn :I0 = (a, a),I2 = 2(a, X 2 a) − trX 2 (a, a)I4 = 4(a, X 4 a) − 2trX 2 (a, X 2 a) + (trX 2 )2 (a, a) − trX 4 (a, a).Ñëåäóÿ ìåòîäó Áðàèëîâà 6, ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü ñäâèãè ýòèõ èíâàðèàíòîâ íà ýëåìåíò M ∈ G∗ è ïîëó÷èòü ïîëíûå íàáîðû äëÿ äëÿ àëãåáðû.Íàïðèìåð, äëÿ so(4) + R4 ïîëó÷èì ñëåäóþùèé íàáîð:I0 = 2(a, X 2 a) − trX 2 (a, a)f0 = −2(Xa, N a) − trN X(a, a)fi = xi , i = 1, .

. . , 4Èíòåðåñíî, ÷òî èìåííî òàêîé íàáîð ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ñëåäîâàòü ìåòîäó Ñàäýòîâà.  ðàáîòå Ì.Ì. Æäàíîâîé [7] â ÿâíîì âèäå ïîñòðîåí ìåòîäîìÑàäýòîâà ïîëíûé êîììóòàòèâíûé íàáîð äëÿ àëãåáðû Ëè so(4)+R4 . Îí òàêæå ñîâïàäàåò ñ íàáîðîì, ïîëó÷àåìûì ìåòîäîì Áðàèëîâà. Åñòü ñëåäóþùàÿãèïîòåçà:Ãèïîòåçà 2. Äëÿ âñåõ àëãåáð Ëè so(n) +ϕ Rn ïîëíûé íàáîð, ïîñòðîåííûéìåòîäîì Ñàäýòîâà ñîâïàäàåò ñ íàáîðîì, ïîñòðîåííûì ìåòîäîì Áðàèëîâà.7.2 Àëãåáðà Ëè sp(n) +ϕ R2nÊàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ñðåäè èíâàðèàíòîâ, êîòîðûå äàåò ôîðìóëà42 ìíîãèå îáðàùàþòñÿ â 0. Ìîæíî ïðîâåðèòü (íàïðèìåð äëÿ ôîðìóëû 43),÷òî êîýôôèöèåíòû ïðè λk ðàâíû íóëþ, åñëè 2n − k ÷åòíî.

Òàêèì îáðàçîììû ïîëó÷àåì ðîâíî n èíâàðèàíòîâ.ßâíûå âû÷èñëåíèÿ äàþò ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ èíâàðèàíòîâ:I1 = ω(a, aX),I3 = 2ω(a, aX 3 ) − ω(a, aX)trX 2 ,I5 = 4ω(a, aX 5 ) − 2ω(a, aX 3 )trX 2 + ω(a, aX)((trx2 )2 − trX 4 ).Òåïåðü íåòðóäíî âûïèñàòü ïîëíûå êîììóòàòèâíûå íàáîðû. Ñäåëàåì ýòî,íàïðèìåð, äëÿ àëãåáðû Sp(2) + R4 . Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì öåïî÷åêïîäàëãåáð ïîëó÷èìI1 = ω(a, aX),I3 = 2ω(a, aX 3 ) − ω(a, aX)trX 2 ,f1 = trX 2 , f2 = trX 4 , f3 = trXN,f4 = trX 3 N, f5 = 2trX 2 N 2 + tr(XN )2 , f6 = trXN 3Ìåòîä Áðàèëîâà äàåò ñëåäóþùèé îòâåò:I1 = ω(a, aX),I3 = 2ω(a, aX 3 ) − ω(a, aX)trX 2 ,f1 = a1 , f2 = a2 , f3 = a3 , f4 = a4 , f5 = (a, aN ),f6 = 2ω(a, a(X 2 N + XN X + N X 2 )) − 2ω(a, aX)trXN − ω(a, aN )trX 2 .7.3 Àëãåáðà sl(n) +ϕk (Rn )kÄëÿ òîãî, ÷òîáû îïèñàòü èíâàðèàíòû äëÿ àëãåáðû sl(n) +ϕk (Rn )k íóæíîíàéòè ÿâíûé âèä Ad∗ äëÿ ýòîé àëãåáðû Ëè.

Êàê è â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõáóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ãðóïïà SL(n) +ϕ (Rn )k âëîæåíà â sl(n + k) ñëåäóþùèìîáðàçîì:ÃCu1 . . . uk0, . . . , 0E!,C ∈ SL(n), ui ∈ Rn . Êîàëãåáðó óäîáíî ïðåäñòàâèòü â âèäåX 0...0 a1.. . .0 ak(45)(46)Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî1Ad∗ (C,u) (X, a) = (Ad∗ C X + ua − tr(ua)E, aC −1 ).n(47)Äëÿ ïðîâåðêè ýòîé ôîðìóëû íóæíî ïðîñòî óáåäèòüñÿ, ÷òî ìàòðèöa λEîðòîãîíàëüíà sl(n):hλE, Xi = trλEX = λtrX = 0.(48)Òåîðåìà 9.

Åäèíñòâåííûì èíâàðèàíòîì êîïðèñîåäèíåííîãî äåéñòâèÿ ãðóïïû SL(n) +φ Rn ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû M , ñîñòàâëåííîé èçñòðîê a, aX , aX 2 , . . . , aX n−1 , òî åñòü îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, íàòÿíóòîãî íà ýòè âåêòîðû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà ïðîâåðèì, ÷òî det M íå ìåíÿåòñÿ ïðè ñîïðÿæåíèè ýëåìåíòîì (C, 0). Ïðè ñîïðÿæåíèè ýòèì ýëåìåíòîì ýëåìåíò êîàëãåáðû(X, a) ïåðåõîäèò â ýëåìåíò (CXC −1 , aC −1 ). Ïðè ýòîì â ìàòðèöå M êàæäàÿñòðîêà óìíîæàåòñÿ ñïðàâà íà C −1 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðèöà M ïåðåõîäèòâ M C −1 , íî det M C −1 = det M det C −1 = det M .Òåïåðü ðàññìîòðèì, ÷òî ïðîèñõîäèò ïðè ñîïðÿæåíèè ýëåìåíòîì (0, u).Êîâåêòîð (X, a) ïðè ýòîì ïåðåõîäèò â (X + va − tr(va)E).

Ïîñìîòðèì,êàê ïðè ýòîì èçìåíÿåòñÿ ìàòðèöà M . Ïåðâàÿ ñòðîêà ìàòðèöû îñòàåòñÿíåèçìåííîé. Âòîðàÿ ñòðîêà èìååò âèä a(X +va−tr(va)E). Óäîáíî çàïèñàòüýòî âûðàæåíèå, èñïîëüçóÿ òåíçîðíûå îáîçíà÷åíèÿ:1n−1 iai (Xji + v i aj − v i ai δji ) = ai Xji +ai v aj .nn(49)Äàëåå íå òðóäíî ïî èíäóêöèè ïðîâåðèòü, ÷òî â k -îé ñòðîêå ìàòðèöûM áóäåò ñòîÿòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ïåðâûõ k ñòðîê ïðåäûäóùåé ìàòðèöû, è ïðè ýòîì k -àÿ ñòðîêà èñõîäíîé ìàòðèöû âõîäèò â ýòó ëèíåéíóþêîìáèíàöèþ ñ êîýôôèöèåíòîì 1.a(X + va − tr(va)E)k = a(X + va − tr(va)E)k−1 (X + va − tr(va)E). (50)Ïîëüçóÿñü ïðåäïîëîæåíèåì èíäóêöèè, ïîëó÷àåì, ÷òî a(X+va−tr(va)E)k−1 =aX k−1 + b, ãäå b ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ïåðâûõ k − 2 ñòðîê.

Îòñþäàa(X + va − tr(va)E)k = (aX k−1 + b)(X + va − tr(va)E) = aX k + c, (51)ãäå c ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ïåðâûõ k − 1 ñòðîê èñõîäíîé ìàòðèöû. Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû íå ìåíÿåòñÿ.Òî, ÷òî èíâàðèàíò åäèíñòâåíåí ëåãêî ïîêàçàòü èç òåîðåìû Ðàèñà.Òåîðåìà 10. Ïóñòü n = kd+r, r < k . Òîãäà äëÿ ãðóïïû SL(n)+ϕ (Rn )k èíâàðèàíòàìè êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ áóäóò îïðåäåëèòåëè ìàòðèö Mi1 ...ir , ñîñòàâëåííûõ èç ñëåäóþùèõ ñòðîê: a1 , .

. . , ak , a1 X, . . . ak X, . . . , a1 X d−1 , . . .è r ñòðîê âèäà air X d . Ýòè èíâàðèàíòû íå áóäóò íåçàâèñèìû, íî èç íèõìîæíî âûáðàòü ïîëíûé íàáîð íåçàâèñèìûõ èíâàðèàíòîâ.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîñòüþ ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî äëÿñëó÷àÿ SL(n) + Rn . Ïðè äåéñòâèè ýëåìåíòà âèäà (C, 0) ìàòðèöà Mī óìíîæàåòñÿ ñïðàâà íà C −1 , ÷òî íå ìåíÿåò åå îïðåäåëèòåëÿ.Ïðè äåéñòâèè ýëåìåíòà âèäà (0, u) ñòðîêè âèäà ai X q çàìåíÿþòñÿ íà ñòðîêè ai X q +P. . . , ãäå ïîä ñóììîé ñòîèò ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ ak X s ,0 ≤ s < q . Òàêàÿ çàìåíà íå ìåíÿåò îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû.8 Ðåçóëüòàòû ðàáîòå ïðåäëîæåí êðèòåðèé ïðèìåíèìîñòè ìåòîäà öåïî÷åê ïîäàëãåáð äëÿàëãåáð, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå ïîëóïðÿìîé ñóììû ñ êîììóòàòèâíûì èäåàëîì.

Ýòîò êðèòåðèé ñâîäèò âîïðîñ ïîëíîòû íàáîðà, ïîëó÷åííîãî ìåòîäîìöåïî÷åê ïîäàëãåáð ê àíàëîãè÷íîìó âîïðîñó äëÿ àëãåáð ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè.Ïðåäëîæåíà îáùàÿ êîíñòðóêöèÿ, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò îïèñàòü èíâàðèàíòû äëÿ àëãåáð G +φk V k , ãäå G îäíà èç àëãåáð so(n), so(p, q), sp(n), à φ ïðåäñòàâëåíèå ìèíèìàëüíîé ðàçìåðíîñòè.Îïèñàíû èíâàðèàíòû äëÿ àëãåáð sl(n)+φk (Rn )k , sp(n)+R2n .

ßâíûé âèäèíâàðèàíòîâ ïîçâîëÿåò â ÿâíîì âèäå ïðåäúÿâèòü ïîëíûå êîììóòàòèâíûåíàáîðû äëÿ ýòèõ àëãåáð Ëè.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1] À.Ñ. Ìèùåíêî, À.Ò. Ôîìåíêî. Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà íà êîíå÷íîìåðíûõàëãåáðàõ Ëè. Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. ñåð. ìàòåì. 1978. 42, 2. 396-415.[2] Â.Â. Òðîôèìîâ, À.Ò. Ôîìåíêî. Àëãåáðà è ãåîìåòðèÿ èíòåãðèðóåìûõãàìèëüòîíîâûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ì.: Ôàêòîðèàë, 1995.448ñ.[3] Òðîôèìîâ Â.Â., Ôîìåíêî À.Ò. Ãåîìåòðèÿ ñêîáîê Ïóàññîíà í ìåòîäûèíòåãðèðîâàíèÿ ïî Ëèóâèëëþ ñèñòåì íà ñèììåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ. ÂÈÍÈÒÈ, Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè.

Íîâåéøèå äîñòèæåíèÿ. Òîì 29, 1986 ã.[4] À.Â. Áîëñèíîâ, Ïîëíûå èíâîëþòèâíûå íàáîðû ïîëèíîìîâ â ïóàññîíîâûõ àëãåáðàõ:äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Ìèùåíêî-Ôîìåíêî// Òð. ñåìèíàðà ïî âåêò.è òåíç.àíàëèçó.Âûï.26. Ì.: Èçä-âî ìåõ.-ìàò. ôàê-òà ÌÃÓ.2005.[5] Ñ.Ò. Ñàäýòîâ, Äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Ìèùåíêî-Ôîìåíêî. Äîêë.ÐÀÍ. 2004. 397. 6. 751-754.[6] À. Ãóñåéíîâ Äèïëîìíàÿ ðàáîòà. Èíâàðèàíòû êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáð Ëè so(n) +ϕ Rn , so(n) +ϕ (Rn )k , gl(n) + (Rn )k .[7] Ì.Ì.

Æäàíîâà Äèïëîìíàÿ ðàáîòà. Ïîñòðîåíèå ïîëíûõ êîììóòàòèâíûõ íàáîðîâ äëÿ ïîëóïðÿìûõ ñóìì ìåòîäîì Ñàäýòîâà..